人口的預(yù)測(cè)和控制

1、 人口的預(yù)測(cè)和控制一、指數(shù)增長(zhǎng)模型二、阻滯增長(zhǎng)模型-Logistic模型三、模型的參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)和預(yù)報(bào)一、指數(shù)增長(zhǎng)模型最簡(jiǎn)單的人口增長(zhǎng)模型是人所共知的：記今年人口為X0，K年后人口數(shù)為Xk，年增長(zhǎng)率為r，則 Xk=X0(1+r)k （1）顯然，這個(gè)公式的基本條件是r保持不變。 200多年前英國(guó)人口學(xué)家T.Malthus調(diào)查了英國(guó)10多年前的人口統(tǒng)計(jì)資料，得出了人口增長(zhǎng)不變的的假設(shè)，并據(jù)此建立了著名的人口指數(shù)增長(zhǎng)模型。 記時(shí)刻t的人口為x（t），當(dāng)考察一個(gè)國(guó)家或較大地區(qū)的人口時(shí)，x（t）是一個(gè)很大的整數(shù)，為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將x（t）視為連續(xù)、可微的函數(shù)。記初始時(shí)刻（t=0）的人口為x0

2、.假設(shè)人口 增長(zhǎng)率為常數(shù)r，即單位時(shí)間內(nèi)x（t）的增量 等于r乘以x（t），于是得到x（t）滿足微分方程 =rx，x（0）=x0 （2）txddtxdd 由這個(gè)方程很容易解出 x（t）=x0ert （3）r0時(shí)，（3）式表示人口按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無(wú)限增長(zhǎng)，成為指數(shù)增長(zhǎng)模型。二、阻滯增長(zhǎng)模型-Logistic模型 分析人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后增長(zhǎng)率下降的主要原因，人們注意到，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口的增長(zhǎng)起著阻滯增長(zhǎng)，并且隨著人口的增加，阻滯作用越來(lái)越大，所謂阻滯增長(zhǎng)模型就是考慮到這個(gè)因素，對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)模型的基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的。 阻滯作用體現(xiàn)在對(duì)人口增長(zhǎng)率r的影響上，使得r隨著人口數(shù)量x的增

3、加而下降。若將r表示為x的函數(shù)，則它應(yīng)該是減函數(shù)。于是方程（2）寫作 =r(x)x，x(0)=x0 (4)對(duì)r（x）的一個(gè)最簡(jiǎn)單的假定是，設(shè)r(x)為x的線性函數(shù)，即 r(x)=r-sx (r,s0) (5)這里稱r為固有增長(zhǎng)率，表示人口很少時(shí)(理論上是x=0)的增長(zhǎng)率。為了確定系數(shù)s的意義，引入自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量xm時(shí)人口不再增長(zhǎng)，即增長(zhǎng)率r(xm)=0,代入(5)式的s=r/xm，于是r(x)=r(1-x/xm),將r(x)代入方程(4) 得 =rx(1- ) , x(0)=x0 (6)txddtxddmxx方程(6)右端的因子rx體現(xiàn)人口自身的增長(zhǎng)趨勢(shì)，因子(1- )則體現(xiàn)了環(huán)境和資源對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用。顯然，x越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增長(zhǎng)是兩個(gè)因子共同作用的結(jié)果，(6)式稱為阻滯增長(zhǎng)模型。 如果以x為橫軸，以 為縱軸作出方程(6)的圖形(如圖1-1)，可以分析人口增長(zhǎng)速