（推薦）備戰(zhàn)2010高考數(shù)學難重點精講11求圓錐曲線方程

1、難點11 求圓錐曲線方程求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查學生識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求同學們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法.難點磁場1.()雙曲線=1(bN)的兩個焦點F1、F2，P為雙曲線上一點，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_.2.()如圖，設圓P滿足：截y軸所得弦長為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長比為31，在滿足條件、的所有圓中，求圓心到直線l：x2y

2、=0的距離最小的圓的方程.案例探究例1某電廠冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分，繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A是雙曲線的頂點，C、C是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B是下底直徑的兩個端點，已知AA=14 m，CC=18 m,BB=22 m,塔高20 m. (1)建立坐標系并寫出該雙曲線方程.(2)求冷卻塔的容積(精確到10 m2,塔壁厚度不計，取3.14).命題意圖：本題考查選擇適當?shù)淖鴺讼到⑶€方程和解方程組的基礎知識，考查應用所學積分知識、思想和方法解決實際問題的能力，屬級題目.知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程；點在曲線上，點的坐標適合方程；積分法求體積.錯解分析

3、：建立恰當?shù)淖鴺讼凳墙鉀Q本題的關(guān)鍵，積分求容積是本題的重點.技巧與方法：本題第一問是待定系數(shù)法求曲線方程，第二問是積分法求體積.解：如圖，建立直角坐標系xOy,使AA在x軸上，AA的中點為坐標原點O，CC與BB平行于x軸.設雙曲線方程為=1(a0,b0),則a=AA=7又設B(11,y1),C(9,x2)因為點B、C在雙曲線上，所以有由題意，知y2y1=20,由以上三式得：y1=12,y2=8,b=7故雙曲線方程為=1.(2)由雙曲線方程，得x2=y2+49設冷卻塔的容積為V(m3),則V=,經(jīng)計算，得V=4.25×103(m3)答：冷卻塔的容積為4.25×103m3.例2

4、過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關(guān)于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設計新穎，基礎性強，屬級題目.知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題.錯解分析：不能恰當?shù)乩秒x心率設出方程是學生容易犯的錯誤.恰當?shù)乩煤脤ΨQ問題是解決好本題的關(guān)鍵.技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜率的等式.解法二，用韋達定理.解法一：由e=,

5、得,從而a2=2b2,c=b.設橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設AB中點為(x0,y0),則kAB=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,設l的方程為y=x+1.右焦點(b,0)關(guān)于l的對稱點設為(x,y),由點(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2=.所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(

6、x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=.直線l：y=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k=1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關(guān)于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一.例3如圖，已知P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點，求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程.命題意圖：本題考查待定系數(shù)法求雙曲線的方程以及綜合運用所學知識分析問題、解決

7、問題的能力，屬級題目.知識依托：定比分點坐標公式；三角形的面積公式；以及點在曲線上，點的坐標適合方程.錯解分析：利用離心率恰當?shù)卣页鲭p曲線的漸近線方程是本題的關(guān)鍵，正確地表示出P1OP2的面積是學生感到困難的.技巧與方法：利用點P在曲線上和P1OP2的面積建立關(guān)于參數(shù)a、b的兩個方程，從而求出a、b的值.解：以O為原點，P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標系.設雙曲線方程為=1(a0,b0)由e2=，得.兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=x設點P1(x1, x1),P2(x2,x2)(x10,x20),則由點P分所成的比=2,得P點坐標為(),又點P在雙曲線=1上，所以=

8、1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1.錦囊妙計一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟.定形指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.定式根據(jù)“形”設方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設方程為mx2+ny2=1(m0,n0).定量由題設中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小.殲滅難點訓練一、選擇題1.()已知直線x+2y3=0與圓x2+y2+x6y+m=0相交于P、Q兩點，O為坐標原點，若OPOQ，則m等于

9、( )A.3B.3C.1D.12.()中心在原點，焦點在坐標為(0，±5)的橢圓被直線3xy2=0截得的弦的中點的橫坐標為，則橢圓方程為( )二、填空題3.()直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點P，若過點P且以雙曲線12x24y2=3的焦點作橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為_.4.()已知圓過點P(4，2)、Q(1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，則該圓的方程為_.三、解答題5.()已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個焦點為F，M是橢圓上的任意點，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對稱點M1和M2，且|M1M2|=，試

10、求橢圓的方程.6.()某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長.7.()已知圓C1的方程為(x2)2+(y1)2=,橢圓C2的方程為=1(ab0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程.參考答案難點磁場1.解析：設F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y),則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,依雙曲

11、線定義，有|PF1|PF2|=4,依已知條件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2,c2,又c2=4+b2,b2,b2=1.答案：12.解法一：設所求圓的圓心為P(a,b），半徑為r,則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|圓P截y軸所得弦長為2，r2=a2+1又由題設知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°,故弦長|AB|=r,故r2=2b2,從而有2b2a2=1又點P(a,b)到直線x2y=0的距離d=,因此，5d2=|a2b|2=a2+4b24aba2+4b22(a2+b2)=2b2a2=1,當且僅當a=b時上式等號成立，此時5d2

12、=1,從而d取最小值，為此有,r2=2b2, r2=2于是所求圓的方程為：(x1）2+(y1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2解法二：設所求圓P的方程為(xa)2+(yb)2=r2(r0)設A(0,y1),B(0,y2)是圓與y軸的兩個交點，則y1、y2是方程a2+(yb)2=r2的兩根，y1，2=b±由條件得|AB|=2，而|AB|=|y1y2|,得r2a2=1設點C(x1,0)、D(x2,0)為圓與x軸的兩個交點，則x1,x2是方程(xa)2+b2=r2的兩個根，x1，2=a±由條件得|CD|=r,又由|CD|=|x2x1|，得2b2=r2,故2b2=a2+1設圓

13、心P(a,b)到直線x2y=0的距離為d=a2b=±d,得a2=(2b±d)2=4b2±4bd+5d2又a2=2b21,故有2b2±4bd+5d2+1=0.把上式看作b的二次方程，方程有實根.=8(5d21)0,得5d21.dmin=,將其代入2b2±4bd+5d2+1=0,得2b2±4b+2=0,解得b=±1.從而r2=2b2=2,a=±=±1于是所求圓的方程為(x1)2+(y1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2殲滅難點訓練一、1.解析：將直線方程變?yōu)閤=32y,代入圓的方程x2+y2+x6y+m

14、=0,得(32y)2+y2+(32y)+m=0.整理得5y220y+12+m=0,設P(x1,y1)、Q(x2,y2)則y1y2=,y1+y2=4.又P、Q在直線x=32y上，x1x2=(32y1)(32y2)=4y1y26(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y1y26(y1+y2)+9=m3=0，故m=3.答案：A2.解析：由題意，可設橢圓方程為： =1,且a2=50+b2,即方程為=1.將直線3xy2=0代入，整理成關(guān)于x的二次方程.由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案：C二、3.解析：所求橢圓的焦點為F1(1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.欲使2

15、a最小，只需在直線l上找一點P.使|PF1|+|PF2|最小，利用對稱性可解.答案： =14.解析：設所求圓的方程為(xa)2+(yb)2=r2則有 由此可寫所求圓的方程.答案：x2+y22x12=0或x2+y210x8y+4=0三、5.解：|MF|max=a+c,|MF|min=ac,則(a+c)(ac)=a2c2=b2,b2=4,設橢圓方程為設過M1和M2的直線方程為y=x+m將代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0設M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點為(x0,y0),則x0= (x1+x2)=,y0=x0+m=.代入y=x,得,由于a24,m=0,由知x1+x2=0,x1x2=,又|M1M2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為： =1.6.解：以拱頂為原點，水平線為x軸，建立坐標系，如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標分別為(10，4）、(10，4）設拋物線方程為x2=2py,將A點坐標代入，得100=2p×(4),解得p=12.5,于是拋物線方程為x2=25y.由題意知E點坐標為(2，4)，E點橫坐標也為2，將2代入得y=0.16,從而|EE|=(0.16