《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》概率論

1、.3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于二維隨機(jī)變量（對(duì)于二維隨機(jī)變量（X，Y），我們除了討論），我們除了討論X與與Y的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還要討論描述的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還要討論描述X和和Y之間之間關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù). 設(shè)設(shè)X和和Y為兩隨機(jī)變量，若為兩隨機(jī)變量，若E X-E(X)Y-E(Y) 存在，則稱之為隨機(jī)變量存在，則稱之為隨機(jī)變量X和和Y的協(xié)方的協(xié)方差差,記為記為Cov(X,Y) ，即，即 Cov(X1+X2,Y)= C

2、ov(X1,Y) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X), Cov(X,X)=D(X).一、協(xié)方差一、協(xié)方差2. 性質(zhì)性質(zhì) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常數(shù)是常數(shù)Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) 1.定義定義. Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可見(jiàn)，若可見(jiàn)，若X 與與 Y 獨(dú)立獨(dú)立， Cov(X,Y)= 0 .3. 計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(

3、Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)即即.D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)4. 隨機(jī)變量隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系和的方差與協(xié)方差的關(guān)系 協(xié)方差的大小在一定程度上反映了協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互間相互間的關(guān)系，但它還受的關(guān)系，但它還受X與與Y本身度量單位的影響本身度量單位的影響. 例如：例如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了了相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) .二二、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 X 和和 Y 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)

4、系數(shù) .定義定義: 設(shè)設(shè)D(X)0, D(Y)0,(,)()()XYCov X YD X D Y稱稱.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：1.| 1XY2.1XY存在常數(shù)存在常數(shù) a,b,使使 PY= a + b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 線性相關(guān)線性相關(guān).說(shuō)說(shuō) 明明X與與Y之間沒(méi)有線性關(guān)系并不表示它們之間沒(méi)有關(guān)系。之間沒(méi)有線性關(guān)系并不表示它們之間沒(méi)有關(guān)系。XY相關(guān)系數(shù)是表征隨機(jī)變量與 之間線性關(guān)系緊密程度的量11XYXY當(dāng)時(shí)，與 之間以概率 存在著線性關(guān)系；0XYXY當(dāng)時(shí)，與之間不存在線性關(guān)系 不相關(guān) 當(dāng)當(dāng)|XY |較大時(shí)較大時(shí), 通常說(shuō)通常說(shuō)X,Y線性相關(guān)的程度較好線性相關(guān)

5、的程度較好; 當(dāng)當(dāng)|XY |較小時(shí)較小時(shí), 說(shuō)說(shuō)X,Y線性相關(guān)的程度較差線性相關(guān)的程度較差.對(duì)隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)變量X，Y，有如下事實(shí)等價(jià)：，有如下事實(shí)等價(jià)：1、Cov(X,Y)=0;2、X與與Y不相關(guān)；不相關(guān)；3、E(XY)=E(X)E(Y);4、D(X+Y)=D(X)+D(Y).注注：獨(dú)立性和不相關(guān)性有聯(lián)系，但又不同，獨(dú)：獨(dú)立性和不相關(guān)性有聯(lián)系，但又不同，獨(dú)立性比不相關(guān)性更強(qiáng)。立性比不相關(guān)性更強(qiáng)。性質(zhì)性質(zhì)：如果隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X與與Y互相獨(dú)立，則互相獨(dú)立，則X與與Y不不相關(guān)。（反之不成立）相關(guān)。（反之不成立）但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)若若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布，則X與與Y獨(dú)立獨(dú)立X與與Y不相關(guān)不相關(guān). 2211222221212212 1212121xxyyf xye ，求：求：XY例：若