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1、.3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差,前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差,對于二維隨機(jī)變量(對于二維隨機(jī)變量(X,Y),我們除了討論),我們除了討論X與與Y的數(shù)學(xué)期望和方差以外,還要討論描述的數(shù)學(xué)期望和方差以外,還要討論描述X和和Y之間之間關(guān)系的數(shù)字特征,這就是本講要討論的關(guān)系的數(shù)字特征,這就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù). 設(shè)設(shè)X和和Y為兩隨機(jī)變量,若為兩隨機(jī)變量,若E X-E(X)Y-E(Y) 存在,則稱之為隨機(jī)變量存在,則稱之為隨機(jī)變量X和和Y的協(xié)方的協(xié)方差差,記為記為Cov(X,Y) ,即,即 Cov(X1+X2,Y)= C
2、ov(X1,Y) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X), Cov(X,X)=D(X).一、協(xié)方差一、協(xié)方差2. 性質(zhì)性質(zhì) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常數(shù)是常數(shù)Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) 1.定義定義. Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可見,若可見,若X 與與 Y 獨(dú)立獨(dú)立, Cov(X,Y)= 0 .3. 計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡單公式計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì),可得由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì),可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(
3、Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)即即.D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)4. 隨機(jī)變量隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系和的方差與協(xié)方差的關(guān)系 協(xié)方差的大小在一定程度上反映了協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互間相互間的關(guān)系,但它還受的關(guān)系,但它還受X與與Y本身度量單位的影響本身度量單位的影響. 例如:例如:Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點(diǎn),對協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化,這就引入為了克服這一缺點(diǎn),對協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化,這就引入了了相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) .二二、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 X 和和 Y 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)
4、系數(shù) .定義定義: 設(shè)設(shè)D(X)0, D(Y)0,(,)()()XYCov X YD X D Y稱稱.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):1.| 1XY2.1XY存在常數(shù)存在常數(shù) a,b,使使 PY= a + b X=1,即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 線性相關(guān)線性相關(guān).說說 明明X與與Y之間沒有線性關(guān)系并不表示它們之間沒有關(guān)系。之間沒有線性關(guān)系并不表示它們之間沒有關(guān)系。XY相關(guān)系數(shù)是表征隨機(jī)變量與 之間線性關(guān)系緊密程度的量11XYXY當(dāng)時(shí),與 之間以概率 存在著線性關(guān)系;0XYXY當(dāng)時(shí),與之間不存在線性關(guān)系 不相關(guān) 當(dāng)當(dāng)|XY |較大時(shí)較大時(shí), 通常說通常說X,Y線性相關(guān)的程度較好線性相關(guān)
5、的程度較好; 當(dāng)當(dāng)|XY |較小時(shí)較小時(shí), 說說X,Y線性相關(guān)的程度較差線性相關(guān)的程度較差.對隨機(jī)變量對隨機(jī)變量X,Y,有如下事實(shí)等價(jià):,有如下事實(shí)等價(jià):1、Cov(X,Y)=0;2、X與與Y不相關(guān);不相關(guān);3、E(XY)=E(X)E(Y);4、D(X+Y)=D(X)+D(Y).注注:獨(dú)立性和不相關(guān)性有聯(lián)系,但又不同,獨(dú):獨(dú)立性和不相關(guān)性有聯(lián)系,但又不同,獨(dú)立性比不相關(guān)性更強(qiáng)。立性比不相關(guān)性更強(qiáng)。性質(zhì)性質(zhì):如果隨機(jī)變量:如果隨機(jī)變量X與與Y互相獨(dú)立,則互相獨(dú)立,則X與與Y不不相關(guān)。(反之不成立)相關(guān)。(反之不成立)但對下述情形,獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)但對下述情形,獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)若若(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則服從二維正態(tài)分布,則X與與Y獨(dú)立獨(dú)立X與與Y不相關(guān)不相關(guān). 2211222221212212 1212121xxyyf xye ,求:求:XY例:若
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