小波與多分辨率變換-展示模板ppt課件

1、小波分析 深圳大學信息工程學院 小波與多分辨率分析小波與多分辨率分析Wavelet and Multiresolution Analysis信號分析工具信號分析工具41822年Fourier變換,在頻域的定位最準確，無任何時域定位能力。4 函數(shù)，時域定位完全準確，頻域無任何定位能力41946年Gabor變換，STFT，窗函數(shù)的大小和形狀與時間和頻率無關而保持固定不變。不構成正交基。41982年Burt提出金字塔式圖像壓縮編碼，子帶編碼(subband coding),多采樣率濾波器組(multirate sampling filter bank).41910年Harr提出規(guī)范正交基。41981

2、年Stormberg對Harr系進行改進，證明了小波函數(shù)的存在。41984年,Morlet提出了連續(xù)小波41985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出離散的小波基41986年,Meyer證明了不可能存在時域頻域同時具有正則性的正交小波基，證明了小波的自正交性。41987年,Mallat統(tǒng)一了多分辨率分析和小波變換，給出了快速算法。41988年，Daubecies在NSF的小波專題研討會進行了講座。小波分析 深圳大學信息工程學院 小波的應用4J.Morlet，地震信號分析。4S.Mallat，二進小波用于圖像的邊緣檢測、圖像壓縮和重構4Farge，連續(xù)小波用于渦流研究4Wi

3、ckerhauser，小波包用于圖像壓縮。4Frisch噪聲的未知瞬態(tài)信號。4Dutilleux語音信號處理4H.Kim時頻分析4Beykin正交小波用于算子和微分算子的簡化信號處理、圖像處理、模式識別、語音識別、量子物理、地震勘探信號處理、圖像處理、模式識別、語音識別、量子物理、地震勘探流體力學、電磁場、流體力學、電磁場、CT成象、機器視覺、機械故障診斷、分形、數(shù)值計算成象、機器視覺、機械故障診斷、分形、數(shù)值計算小波分析 深圳大學信息工程學院 軟件包4Math Works:Wavelet Toolbox4Standford: Wave Tool4Yale:WPLab4MathSoft:S+W

4、AVELETS4Aware:WaveTool4Rice: Wavelet ToolBox 小波分析 深圳大學信息工程學院 A.Brice, D.Donoho, H.Y.Gao, Wavelet Analysis, IEEE Spectrum, 33(10),2019距離空間距離空間RndttytxyxnRZCRZ)()(,內積為歐氏空間表示表示正整數(shù)集合表示復數(shù)集合表示實數(shù)集合表示整數(shù)集合為距離的距離空間。為以之間的距離，和為則稱有三角不等式：對稱性：時，當且僅當非負性：而且滿足都對應一個實數(shù)是任一集合，設),(),(),(),(),(,. 3),(),(. 2. 0)

5、,(0),(. 1),(,yxXyxyxyzzxyxXzyxxyyxyxyxyxyxXyxX距離空間距離空間常用的距離空間常用的距離空間22/11221212222/122222/12121,)(),(: ),(. 4)(,)()(),()(: )()()(. 3,;,)()(max),(,)(: )(,. 2)(),(,.),(. 1lyxyxyxxxxxxllRLyxdttytxyxdttxtxRLRLbaCyxbattytxyxbatxtxbaCbaCyxyxRyxxxxxnRniiiiinRRniiinnn定義距離平方可和離散序列空間定義距離能量有限空間平方可積函數(shù)空間定義距離上的連續(xù)

6、函數(shù)是連續(xù)函數(shù)空間定義距離的全體所組成的集合維向量維歐氏空間小波分析 深圳大學信息工程學院 函數(shù)空間小波分析 深圳大學信息工程學院 來定義其長度。量，用范數(shù)對于線性空間的任一向結合律及分配律。并且滿足加法或數(shù)乘的運算），素的加法和元素的數(shù)乘中定義了線性運算（元是任一非空集合，在設xXX線性空間線性空間線性賦范空間線性賦范空間xyyxyxyxXyxxxRxxxxXxX),(,. 3,. 200, 0. 1,距離定義為時，當且僅當與之對應，滿足存在非負實數(shù)為一線性空間，設Banach空間空間空間。為完備的線性賦范空間稱中，該空間為完備的。都在都有極限，并且此極限中的任一序列設空間BanachXxX

7、ZiiHilbert空間空間空間完備的內積空間稱為，距離稱為內積空間。范數(shù)中的內積，為稱時當且僅當，滿足，中定義了函數(shù)到，從為復數(shù)域上的線性空間設HilbertyxyxyxxxxXXxxxxxzyzxzyxCzyyxXzyxCXXX,),(,. 0,0, 0,. 3,. 2,. 1,基底基底小波分析 深圳大學信息工程學院 張成張成spankkkkkkkkkkkteatgXtgespanXteXZkRatteaXteXte)()(,)()(,);()()(有即張成的線性空間：為由序列稱成的集合，即所有可能的線性組合構表示為為一個函數(shù)序列，設基底基底為空間的基底是唯一的，稱式系數(shù)是線性無關的，使得

8、上如果Zkkkkteate)()(正交正交yxyxyxXyx正交，記作與稱中的兩個元素，若為內積空間, 0,標準正交系標準正交系中的標準正交系為空間，則稱滿足：內積空間中元素列Xenmnmeeennmn10,完全的標準正交系完全的標準正交系. 0,xexZnXxeXnn，必有若，中的標準正交系內積空間雙正交基雙正交基對偶系之間。正交性體現(xiàn)在展開系和但是滿足不一定滿足正交關系，基底)()(),(klteteeklnHilbert空間小波分析 深圳大學信息工程學院 1122,. 4,. 3. 2.1, 2 , 1;), 2 , 1(nnnnnnnneexxXxexxXxXMXenespanMHil

9、bertne的完全標準正交系是則四個條件等價空間的標準正交系，為設1)(),()(nnnetetxtxParseval的形式：表示為一個付里葉級數(shù)空間的任意元素均可以一種正交系，則的本質聯(lián)系。只要找到定理和付里葉展開之間完全標準正交系、框架及緊框架框架及緊框架 Frame & Compact Frame小波分析 深圳大學信息工程學院 稱為框架。中的元素也能夠展開為是相關的，空間函數(shù)序列)()()(),()()(1ttttxtxXtknkkkZjjjZjjZjjZjjZjjfAffAfBABAtfBffABAHfHtHilbertH,)(,0,)(122222由此式可推得稱此框架為緊框架

10、，則如果分別框架的上、下界。為一個框架，稱稱使得下述不等式成立：中的一個函數(shù)序列，為空間，為一個VvvvvvvveVCvvVeeeCHjj232321232123,),()21,23(),21,23(),1 , 0(,2221221221223122213212有即二維向量空間，取小波分析小波分析小波分析 深圳大學信息工程學院 dadbabtbaWaCtfdtabttfafbaWRLtfZkjkttaRbaabtattWaveletMothertdCRLtfR RRbafjjkjbaR)(),(11)()()(1,),()()(),)(2(2)()0,)(1)()(),()()()(),()(

11、2,22/,22其逆變換的連續(xù)小波為任意的函數(shù)離散化，小波序列為可以得到小波序列：經過伸縮和平移后，就將母函數(shù)小波為一個基本小波或者母稱滿足允許條件，付里葉變換小波分析 深圳大學信息工程學院 小波分析與付里葉變換的比較小波分析與付里葉變換的比較數(shù)。常是數(shù)因質品的波小小。越值的中換變葉里付于當相大越值的度尺中，析分波小力。能化部局有沒換變葉里付中，域時是在但式，形的和加疊的分成率頻各為示表號信把易容很換變葉里付號，信性定確的單簡分成率頻于對是別特力，能化部局的好較有具換變葉里付中，域頻在點。難個一的中用應析分波小是用選的數(shù)函波小性，一唯不有具數(shù)函波??；函數(shù)只有付里葉變換用到的基本所構成的空間上去

12、。信號分解到小波變換的實質是把該為正交基的空間上去，分解到以限的信號付里葉變換是把能量有 ffQ . 5 . 4 . 3 sin(. 2)(. 1CatWetfjtj連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換小波分析 深圳大學信息工程學院 jjjjfR RRafBAdtttdadataWaCtfdtattfafaWRLtf222,2)2()()()2()()()(),(11)()()(1,),()()(對偶小波和穩(wěn)定性條件要滿足滿足允許條件外，一般其逆變換的連續(xù)小波為任意的函數(shù)),()(),()(. 3).,()(),()(. 2),(),(),(,),()(),(1002121221aWCWTtxaWCWTt

13、xtaWCWTttxaWCWTtxaWkaWkaWRkkRLtytxxxxxyxykxk為的，則為的尺度變換為的，則為的時移不變性、線性連續(xù)小波變換的再生核連續(xù)小波變換的再生核小波分析 深圳大學信息工程學院 尺度和位移的連續(xù)變化的連續(xù)小波基函數(shù)構成了一組非正交的過渡完全基，小波展開系數(shù)之間有相關關系，采用如下描述RaadtttCaaK)()(1(),;,(,1.CWT系數(shù)具有很大的冗余，計算量比較大2.利用冗余性可以實現(xiàn)去噪和數(shù)據恢復的目的。重建核方程daaKaWadaaWff),;,(),(),(000200常用的連續(xù)小波常用的連續(xù)小波小波分析 深圳大學信息工程學院 Morlet Wavel

14、etmorl(x) = exp(-x2/2) * cos(5x)No Orthogonal, No Biorthogonal,No Compact SupportEffective support=-4 4, Symmetry-5-4-3-2-1012345-1-0.8-0.6-0.4-0.60.81Morlet Wavelet-5-4-3-2-101234502468101214FFT of Morlet WaveletMorlet小波是一種復數(shù)小波，時頻均具有很好的局部性。Mexican hat Waveletmexh(x) = c * exp(-x2/2) * (1-

15、x2)where c = 2/(sqrt(3)*pi1/4)No Orthogonal, No Biorthogonal,No Compact SupportEffective support=-5 5, Symmetry常用的連續(xù)小波常用的連續(xù)小波小波分析 深圳大學信息工程學院 -5-4-3-2-1012345-0.500.51Mexican Hat Wavelet-5-4-3-2-1012345024681012141618FFT of Mexican Hat WaveletMexican Hat小波是Gaussian二階導數(shù)，時頻均具有很好的局部性。小波分析 深圳大學信息工程學院 Dau

16、bechies WaveletGeneral characteristics: Compactly supported wavelets with extremal phase and highest number of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are minimum-phase filters.Orthogonal,Biorthogonal,Compact SupportSupport width 2N-1, No Symmetry常用的正交連續(xù)小波常用的正交連續(xù)小波051

17、015-0.3-0.2-8th Order Daubechies Wavelet05101500.811.21.4常用的正交連續(xù)小波常用的正交連續(xù)小波小波分析 深圳大學信息工程學院 Meyer WaveletGeneral characteristics: Infinitely regular orthogonal waveletOrthogonal,Biorthogonal,No Compact SupportEffective support=-8 8,Symmetry -8-6-4-202468-0.60.811

18、.2Meyer Wavelet01020304050607000.511.522.533.54FFT of Meyer WaveletMeyer小波是在頻域具有緊支集和任意階正則性，時頻缺乏很好的局部性。Symlets WaveletsGeneral characteristics: Compactly supported wavelets with least assymetry and highest number of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are near line

19、ar-phase filters.Orthogonal,Biorthogonal,Compact Support(width 2N-1)Near Symmetry 0246810121416-0.2-0.6Symlets Wavelet024681012141600.811.21.4FFT of Symlets Wavelet常用的正交連續(xù)小波常用的正交連續(xù)小波小波分析 深圳大學信息工程學院 離散小波變換(Discrete Wavelet Transform)小波分析 深圳大學信息工程學院 )()()()()()()(1,002/0000

20、2/0,0000tCCtfdtttfCktaaakatataZjkaaaakjkjkjkjjjjjjkjjj逆變換為離散化的小波系數(shù)為，分別離散化，取和平移參數(shù)參數(shù)在連續(xù)小波中，將尺度二進小波二進小波Dyadic Wavelet數(shù)學顯微鏡）數(shù)學顯微鏡）。二進小波仍然是冗余的不會破壞平移不變性。平移保持了連續(xù)變換，對尺度進行了離散化，取. 2. 1)()(1, 202/0,00ktaatbajjkj尺度空間和尺度函數(shù)尺度空間和尺度函數(shù)(Scaling Space)小波分析 深圳大學信息工程學院 kjkkjkjjjkjkjjkjkkkkkkkktatfVtfZktspanVVtjtktttatfV

21、tfZktspanVVRLtkkttkttRLt)2()(,)(),2()2()2()2(2)(,)()(,)(),(,)()()()(),()()()()(02/,00022有任意，可以張成空間，固定得到伸縮對于尺度函數(shù)進行尺度有任意稱為零尺度空間空間張成一個之空間在定義由滿足移系列為尺度函數(shù)，其整數(shù)平定義函數(shù)尺度尺度j越大，尺度函數(shù)定義域變大，實際平移間隔也變大，越大，尺度函數(shù)定義域變大，實際平移間隔也變大，不能反映函數(shù)小于該尺度的細微變化。不能反映函數(shù)小于該尺度的細微變化。多分辨率分析多分辨率分析(Multi-Resolution Analysis)小波分析 深圳大學信息工程學院 的正交

22、基。是子空間的正交基，則是如果的正交基，即是使得正交基存在性：存在平移不變性：伸縮規(guī)則性：漸進完全性：一致單調性：間系列性質的一系列子空多分辨率分析是指滿足jjjnjRjjZjjZjjjVnttVntmndtmtntZnntspanVVntVZnVntfVtfZjVtfVtfRLVVVVVZjV)2(2)()()()()(,),()(,. 5,)()(. 4,)2()(. 3)(;0. 2. 1,2/,00000002012V0V1V2的正交基。不能構成所以正交性。在不同的尺度下不具有空間相互包含，)()()2(2)(,2,2/,RLtnttZjVZnjnjjjnjj小波函數(shù)和小波空間小波函數(shù)

23、和小波空間小波分析 深圳大學信息工程學院 ）。的小波空間（細節(jié)空間稱為尺度為稱為小波函數(shù)，的一組正交基。構成了整個集合的一組正交基為空間，所有，那么滿足允許條件的一組正交基為空間設存在。的一系列的正交子空間構成了，所以是相互正交的。即和任意中補空間，即在為設jWtRLZkZjWZkZjtWZkWtfWtfRLWWRLnmWWWWVVWWVWVVVVWjkjjkjkjjZjjjZjnmnmjjjjjjjjjjj)()(,;,;)(;)2()()()(,2,0, 0022111V0V1V2W1 W2SW1V1W2V2 小波分析 深圳大學信息工程學院 小波函數(shù)和尺度函數(shù)的性質小波函數(shù)和尺度函數(shù)的性質

24、Poisson公式：0)2()2()()()(,);(),(. 21)2()()()()(. 12121221121221122121kRkRkFkFkkdtktfktfZkkktfktfkFkkdtktfktfZkktf那么頻域表示為：是兩組正交的函數(shù)集合設那么頻域表示為集合：是一組正交規(guī)一的函數(shù)，設小波函數(shù)和尺度函數(shù)滿足小波函數(shù)和尺度函數(shù)滿足0)2()2(. 31)2(. 21)2(. 122ZkZkZkkkkk雙尺度方程雙尺度方程小波分析 深圳大學信息工程學院 之間的內在聯(lián)系。和的基函數(shù)和函數(shù)、相鄰尺度空間和相鄰尺度空間雙尺度方程描述了兩個kjkjkjjjjjWVVV, 111,)2()

25、2()()2()2()()()()()()()(,)(,)()2()(2)()()()2()(2)()()()()()(10, 110 , 100 , 11, 101, 110, 10, 111010HHtkhttkhtkhkhktkhtkhtktkhtkhttVttVWVVkkjjkkjjkkkkkkkkk頻域表示為雙尺度方程其中來線性表示?？臻g，可以用也屬于，所以，由于濾波器系數(shù)濾波器系數(shù)h0(k)和和h1(k)的性質的性質小波分析 深圳大學信息工程學院 11010102121202010110020110101010) 1()()(. 60)()()()(1)()(1)()(. 50)2

26、(),2()()2(),2()()2(),2(. 4)2()2()(, )2()(. 3)()(0)0(, 1)0(. 20)(,2)(. 1kkkkkjjjjkkhggkhhkhHHHHHHHHlnhknhlklnhknhlklnhknhHHHHHHHkhkh，則，令頻域關系正交關系遞推關系相當于高通濾波器。相當于低通濾波器，正交小波變換的正交小波變換的Mallat快速算法快速算法小波分析 深圳大學信息工程學院 mjmmjmkjmjmkjmjmkjRjjkjkjRjjkjkjdmkhcmkhcMallatckmhdckmhcMallatdtkttfttfddtkttfttfc,1,0, 1,1, 1,0, 12/,2/,)2()2()2()2()2(2)()(),()2(2)()(),(塔式快速重建塔式快速分解CM+2CMCM+1dM+1dM+2CM+2CMCM+1dM+1dM+2(a)分解(b)重建離散信號的多分辨率分析與正交小波變換離散信號的多分辨率分析與正交小波變換小波分析 深圳大學信息工程學院 對應的濾波器為mjmk