數(shù)學(xué)分析研究的基本對(duì)象是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)為此ppt課件

1、1 實(shí)數(shù) 數(shù)學(xué)分析研討的根本對(duì)象是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù).為此,我們先來學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì). 5、實(shí)數(shù)的稠密性6、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)性7、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與三角形不等式性3、實(shí)數(shù)的四那么運(yùn)算性質(zhì)4、實(shí)數(shù)的阿基米德性1、實(shí)數(shù)的十進(jìn)制小數(shù)表示方法2、實(shí)數(shù)大小的比較 記號(hào)與術(shù)語N:(0)自自然然數(shù)數(shù)集集 包包含含R:實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)集集Z:整數(shù)集整數(shù)集Q:有理數(shù)集有理數(shù)集: 存在存在R : 負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)集集: 任意任意+R :正正實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)集集+N :正正整整數(shù)數(shù)集集1. 任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用十進(jìn)制小數(shù)表示任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用十進(jìn)制小數(shù)表示.假假設(shè)設(shè)+012R ,.;nxxa a aa 則則012R ,.nx

2、xa a aa 則則., 2, 1,9, 2, 1, 0,N0 naan其中其中2. 有限小數(shù)有限小數(shù)kaaaax210. ),0( ka其其中中又可表示為又可表示為99)1(.1210 kkaaaaax. 9)1(.1210kkaaaaa一、實(shí)數(shù)的十進(jìn)制小數(shù)表示假設(shè)實(shí)數(shù)都用無限小數(shù)表示，那么表達(dá)式是獨(dú)假設(shè)實(shí)數(shù)都用無限小數(shù)表示，那么表達(dá)式是獨(dú)一的一的.即即: 假設(shè)假設(shè),.210naaaax ,.210nbbbby ., 2, 1, 0,nbayxnn那么那么用無限小數(shù)表示實(shí)數(shù)，稱為正規(guī)表示用無限小數(shù)表示實(shí)數(shù)，稱為正規(guī)表示. 742851 . 071 如如Q, xx 可用循環(huán)十進(jìn)制小數(shù)表示，可用

3、循環(huán)十進(jìn)制小數(shù)表示，3. Q|,Z,0mx xm nnn 其其中中表示有理數(shù)集表示有理數(shù)集. .,.,1210pkkkaaaaaax若若反之反之0111Q.1010110pkkjiipkj pijaaxa 則則,nmx 若若一一般般,.1210pkkkaaaaaax則則.np 其其中中4. 無理數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)無理數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù).:3.1415926;如如.1010010001. 0 x二、實(shí)數(shù)的大小00+N ,ababn 或或使使.,.11210210 nnnnbabbbbaaaa而而定義定義1 +,R ,x y 假假設(shè)設(shè)是正規(guī)的十進(jìn)制小數(shù)表示是正規(guī)的十進(jìn)制小數(shù)表示, 規(guī)定規(guī)定. yx

4、yx 規(guī)規(guī)定定,R ,x y +R ,R ,xy .0 xy規(guī)規(guī)定定012.nyb b bb 012.,nxa a aa (1),.xy xy xy 實(shí)數(shù)的大小關(guān)系有以下性質(zhì)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系有以下性質(zhì):三者必有其中之一成立，且只需其中之一成立三者必有其中之一成立，且只需其中之一成立.(2),.xyyzxz 若若則則即大小關(guān)系具有傳送性即大小關(guān)系具有傳送性.三、實(shí)數(shù)的四那么運(yùn)算實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集 R R 對(duì)加、減、乘、除除數(shù)不為對(duì)加、減、乘、除除數(shù)不為 0 0亦亦是是有理數(shù)集有理數(shù)集 Q 對(duì)加、減、乘、除除數(shù)不為對(duì)加、減、乘、除除數(shù)不為 0是是實(shí)數(shù)的四那么運(yùn)算與大小關(guān)系實(shí)數(shù)的四那么運(yùn)算與大小關(guān)系, 還滿

5、足還滿足:+(1),R,R ,.x yxyxy 若若則則.,)2(22112121yxyxyyxx 則則封鎖的封鎖的. .封鎖的封鎖的. .四、實(shí)數(shù)的阿基米德性 實(shí)數(shù)具有阿基米德性實(shí)數(shù)具有阿基米德性: : +,R ,N ,.a bnnba 使使得得理由如下：設(shè)理由如下：設(shè) N,.0210 kaaaaaan.1011 kka則則為第一個(gè)不為零的正整數(shù)為第一個(gè)不為零的正整數(shù), ,pb,.210nbbbbb 設(shè)設(shè),101 kpn令令.101anbk 則則例例1 +10,N ,.bnbn 若若則則使使得得1. bn 證證1,a 令令由由阿阿基基米米德德性性+N ,1nnb 使， 即五、實(shí)數(shù)的稠密性之間

6、，既有有理之間，既有有理與與任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)ba. 2數(shù)又有無理數(shù)數(shù)又有無理數(shù). .必必有有另另一一個(gè)個(gè)之之間間與與任任意意兩兩個(gè)個(gè)不不相相等等的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù),. 1ba.2.bacc 例例如如實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)證證 +1N ,abn 若若，則則由由例例 ，存存在在使使).(211abn 的的最最大大的的正正整整數(shù)數(shù)，是是滿滿足足設(shè)設(shè)ankk .1ank 即即是是則則nknk2,1 ,21,bnknka 于于是是例例2.0,R,bababa ，則則，對(duì)對(duì)若若 證證, 0 baba ，設(shè)，設(shè)倘若倘若, ba則則.矛矛盾盾與與 ba的無理數(shù)的無理數(shù). .14kabnn而而是是與與之之間

7、間 ,ab與之間的有理數(shù)與之間的有理數(shù)六、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集 R與數(shù)軸上的點(diǎn)可建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系與數(shù)軸上的點(diǎn)可建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 1. 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，粗略地可這樣描畫：這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，粗略地可這樣描畫：(0),PP設(shè)設(shè)是是數(shù)數(shù)軸軸上上的的一一點(diǎn)點(diǎn) 不不妨妨設(shè)設(shè)在在 的的右右邊邊若若在在01.nnan 整整數(shù)數(shù)與與之之間間，則則1( ,1,.n nPiai把把十十等等分分 若若點(diǎn)點(diǎn)在在第第個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間， 則則 ,2, 3,.nan 類類似似可可得得到到對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于令令點(diǎn)點(diǎn)這這時(shí)時(shí)p,012.na a aa反之反之, 任何一實(shí)數(shù)也對(duì)應(yīng)數(shù)軸上一點(diǎn)任何一實(shí)數(shù)也對(duì)應(yīng)數(shù)軸上一點(diǎn).2.實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系反映了實(shí)實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系反映了實(shí)數(shù)的數(shù)的完備性完備性. . 我們將在后面有關(guān)章節(jié)中作進(jìn)一步討論我們將在后面有關(guān)章節(jié)中作進(jìn)一步討論. .七、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與三角形不等式2. 實(shí)數(shù)的絕對(duì)值性質(zhì)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值性質(zhì):. 0|0; 0| )1( aaaa時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng). |)2(aaa ,| )3(hahha .|hahha.0,0,| aaaaa|. 1aa 的的絕絕對(duì)對(duì)值值實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)定義為定義為: :| )4(bababa (三角形不等式三角