數(shù)學(xué)分析研究的基本對象是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)為此ppt課件

1、1 實(shí)數(shù) 數(shù)學(xué)分析研討的根本對象是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù).為此,我們先來學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì). 5、實(shí)數(shù)的稠密性6、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)性7、實(shí)數(shù)的絕對值與三角形不等式性3、實(shí)數(shù)的四那么運(yùn)算性質(zhì)4、實(shí)數(shù)的阿基米德性1、實(shí)數(shù)的十進(jìn)制小數(shù)表示方法2、實(shí)數(shù)大小的比較 記號與術(shù)語N:(0)自自然然數(shù)數(shù)集集 包包含含R:實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)集集Z:整數(shù)集整數(shù)集Q:有理數(shù)集有理數(shù)集: 存在存在R : 負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)集集: 任意任意+R :正正實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)集集+N :正正整整數(shù)數(shù)集集1. 任何一個實(shí)數(shù)都可以用十進(jìn)制小數(shù)表示任何一個實(shí)數(shù)都可以用十進(jìn)制小數(shù)表示.假假設(shè)設(shè)+012R ,.;nxxa a aa 則則012R ,.nx

2、xa a aa 則則., 2, 1,9, 2, 1, 0,N0 naan其中其中2. 有限小數(shù)有限小數(shù)kaaaax210. ),0( ka其其中中又可表示為又可表示為99)1(.1210 kkaaaaax. 9)1(.1210kkaaaaa一、實(shí)數(shù)的十進(jìn)制小數(shù)表示假設(shè)實(shí)數(shù)都用無限小數(shù)表示，那么表達(dá)式是獨(dú)假設(shè)實(shí)數(shù)都用無限小數(shù)表示，那么表達(dá)式是獨(dú)一的一的.即即: 假設(shè)假設(shè),.210naaaax ,.210nbbbby ., 2, 1, 0,nbayxnn那么那么用無限小數(shù)表示實(shí)數(shù)，稱為正規(guī)表示用無限小數(shù)表示實(shí)數(shù)，稱為正規(guī)表示. 742851 . 071 如如Q, xx 可用循環(huán)十進(jìn)制小數(shù)表示，可用

3、循環(huán)十進(jìn)制小數(shù)表示，3. Q|,Z,0mx xm nnn 其其中中表示有理數(shù)集表示有理數(shù)集. .,.,1210pkkkaaaaaax若若反之反之0111Q.1010110pkkjiipkj pijaaxa 則則,nmx 若若一一般般,.1210pkkkaaaaaax則則.np 其其中中4. 無理數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)無理數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù).:3.1415926;如如.1010010001. 0 x二、實(shí)數(shù)的大小00+N ,ababn 或或使使.,.11210210 nnnnbabbbbaaaa而而定義定義1 +,R ,x y 假假設(shè)設(shè)是正規(guī)的十進(jìn)制小數(shù)表示是正規(guī)的十進(jìn)制小數(shù)表示, 規(guī)定規(guī)定. yx

4、yx 規(guī)規(guī)定定,R ,x y +R ,R ,xy .0 xy規(guī)規(guī)定定012.nyb b bb 012.,nxa a aa (1),.xy xy xy 實(shí)數(shù)的大小關(guān)系有以下性質(zhì)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系有以下性質(zhì):三者必有其中之一成立，且只需其中之一成立三者必有其中之一成立，且只需其中之一成立.(2),.xyyzxz 若若則則即大小關(guān)系具有傳送性即大小關(guān)系具有傳送性.三、實(shí)數(shù)的四那么運(yùn)算實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集 R R 對加、減、乘、除除數(shù)不為對加、減、乘、除除數(shù)不為 0 0亦亦是是有理數(shù)集有理數(shù)集 Q 對加、減、乘、除除數(shù)不為對加、減、乘、除除數(shù)不為 0是是實(shí)數(shù)的四那么運(yùn)算與大小關(guān)系實(shí)數(shù)的四那么運(yùn)算與大小關(guān)系, 還滿

5、足還滿足:+(1),R,R ,.x yxyxy 若若則則.,)2(22112121yxyxyyxx 則則封鎖的封鎖的. .封鎖的封鎖的. .四、實(shí)數(shù)的阿基米德性 實(shí)數(shù)具有阿基米德性實(shí)數(shù)具有阿基米德性: : +,R ,N ,.a bnnba 使使得得理由如下：設(shè)理由如下：設(shè) N,.0210 kaaaaaan.1011 kka則則為第一個不為零的正整數(shù)為第一個不為零的正整數(shù), ,pb,.210nbbbbb 設(shè)設(shè),101 kpn令令.101anbk 則則例例1 +10,N ,.bnbn 若若則則使使得得1. bn 證證1,a 令令由由阿阿基基米米德德性性+N ,1nnb 使， 即五、實(shí)數(shù)的稠密性之間

6、，既有有理之間，既有有理與與任意兩個不相等的實(shí)數(shù)任意兩個不相等的實(shí)數(shù)ba. 2數(shù)又有無理數(shù)數(shù)又有無理數(shù). .必必有有另另一一個個之之間間與與任任意意兩兩個個不不相相等等的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù),. 1ba.2.bacc 例例如如實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)證證 +1N ,abn 若若，則則由由例例 ，存存在在使使).(211abn 的的最最大大的的正正整整數(shù)數(shù)，是是滿滿足足設(shè)設(shè)ankk .1ank 即即是是則則nknk2,1 ,21,bnknka 于于是是例例2.0,R,bababa ，則則，對對若若 證證, 0 baba ，設(shè)，設(shè)倘若倘若, ba則則.矛矛盾盾與與 ba的無理數(shù)的無理數(shù). .14kabnn而而是是與與之之間

7、間 ,ab與之間的有理數(shù)與之間的有理數(shù)六、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集 R與數(shù)軸上的點(diǎn)可建立一一對應(yīng)關(guān)系與數(shù)軸上的點(diǎn)可建立一一對應(yīng)關(guān)系. 1. 這種對應(yīng)關(guān)系，粗略地可這樣描畫：這種對應(yīng)關(guān)系，粗略地可這樣描畫：(0),PP設(shè)設(shè)是是數(shù)數(shù)軸軸上上的的一一點(diǎn)點(diǎn) 不不妨妨設(shè)設(shè)在在 的的右右邊邊若若在在01.nnan 整整數(shù)數(shù)與與之之間間，則則1( ,1,.n nPiai把把十十等等分分 若若點(diǎn)點(diǎn)在在第第個個區(qū)區(qū)間間， 則則 ,2, 3,.nan 類類似似可可得得到到對對應(yīng)應(yīng)于于令令點(diǎn)點(diǎn)這這時時p,012.na a aa反之反之, 任何一實(shí)數(shù)也對應(yīng)數(shù)軸上一點(diǎn)任何一實(shí)數(shù)也對應(yīng)數(shù)軸上一點(diǎn).2.實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系反映了實(shí)實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系反映了實(shí)數(shù)的數(shù)的完備性完備性. . 我們將在后面有關(guān)章節(jié)中作進(jìn)一步討論我們將在后面有關(guān)章節(jié)中作進(jìn)一步討論. .七、實(shí)數(shù)的絕對值與三角形不等式2. 實(shí)數(shù)的絕對值性質(zhì)實(shí)數(shù)的絕對值性質(zhì):. 0|0; 0| )1( aaaa時時當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng). |)2(aaa ,| )3(hahha .|hahha.0,0,| aaaaa|. 1aa 的的絕絕對對值值實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)定義為定義為: :| )4(bababa (三角形不等式三角