高等數(shù)學(xué)II(微積分龔德恩范培華)22函數(shù)極限極限的基本性質(zhì)

1、1 上一節(jié)討論了數(shù)列的極限，由于數(shù)列上一節(jié)討論了數(shù)列的極限，由于數(shù)列實際上可以看成是定義域為正整數(shù)域的函實際上可以看成是定義域為正整數(shù)域的函數(shù)數(shù), ,( )nxf nnz，所以所以, ,可望將數(shù)列的極限理論可望將數(shù)列的極限理論推廣到函數(shù)推廣到函數(shù)中中, ,并用極限理論研究函數(shù)的變化情形并用極限理論研究函數(shù)的變化情形. .2第二章 極限與連續(xù)2.1 2.1 數(shù)列極限數(shù)列極限2.2 2.2 函數(shù)極限函數(shù)極限 極限的基本性質(zhì)極限的基本性質(zhì)2.3 2.3 無窮大與無窮小無窮大與無窮小2.4 2.4 極限的運算法則與復(fù)合函數(shù)的極限極限的運算法則與復(fù)合函數(shù)的極限2.5 2.5 極限存在定理與兩個重要的極限

2、極限存在定理與兩個重要的極限2.6 2.6 函數(shù)連續(xù)性函數(shù)連續(xù)性32.2 函數(shù)極限函數(shù)極限0,( )一一、時時的的極極限限xxf x ,( )二二、時時的的極極限限xf x 三、三、 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)4( )f x關(guān)關(guān)于于函函數(shù)數(shù)的的極極限限所所討討論論的的無無限限變變化化過過程程，有有六六種種情情況況：00(1) ()xxxx自自變變量量 無無限限接接近近于于有有限限值值記記作作時時，函函數(shù)數(shù)值值( )f x 的的總總的的變變化化趨趨勢勢；還還包包括括：(2) (|)xxx 自自變變量量 的的絕絕對對值值無無記記作作時時限限增增大大，函函數(shù)數(shù)值值,( )xxfx 的的總總的的變變

3、化化趨趨勢勢。還還包包括括。000,xxxxxx 且且 趨趨于于記記作作：000,xxxxxx 且且 趨趨于于記記作作：。522(1)1 ( )1xxf xx考考察察時時函函數(shù)數(shù)的的變變化化趨趨勢勢 1x 函函數(shù)數(shù)雖雖然然在在處處無無定定義義，從從圖圖形形上上可可見見：0 , ( ) xxf x函的極限一一、當(dāng)當(dāng)時時數(shù)數(shù) 1, ( )4xf x 當(dāng)當(dāng)從從無無限限接接近近于于 時時 對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)右右側(cè)側(cè)y42o12 (1)yxx 1, ( ) 4; xf x當(dāng)當(dāng)從從無無限限接接近近于于 時時 對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)左左側(cè)側(cè)6函數(shù)極限的定義：函數(shù)極限的定義：0( )()yf xxdx 給給定

4、定函函數(shù)數(shù)，假假設(shè)設(shè)去去點點的的某某一一心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)0( )xxfaxa當(dāng)當(dāng)時時如如果果存存在在常常無無數(shù)數(shù) ，使使得得，函函數(shù)數(shù)限限接接近近于于值值，0( )af xxx則則稱稱為為函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時時的的極極限限，記記作作00lim( )( ),xxf xaf xaxx或或當(dāng)當(dāng)0 ( )yf xx 不不要要求求函函數(shù)數(shù)在在定定點點處處注注義義中中并并有有定定義義。2112(1) lim( )lim41xxxf xx70( )()0,yf xxdx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在 的的某某空空心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，00,0,xx當(dāng)當(dāng)時時 恒恒有有|( )|f xa 0( )f xxxa則則當(dāng)當(dāng)時時

5、極極限限為為稱稱。000(, )1 xo x 對對于于任任意意小小的的，總總有有，使使得得當(dāng)當(dāng)注注時時，2 上上面面定定義義中中的的 一一般般與與預(yù)預(yù)先先任任意意給給定定的的注注有有關(guān)關(guān)。( )( , )f xo a 。函數(shù)極限嚴(yán)格的定義：函數(shù)極限嚴(yán)格的定義： 語語言言80( )()0,yf xxdx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在 的的某某空空心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，00,0,xx當(dāng)當(dāng)時時 恒恒有有|( )|f xa 0( )f xxxa則則當(dāng)當(dāng)時時極極限限為為稱稱。函數(shù)極限嚴(yán)格的定義：函數(shù)極限嚴(yán)格的定義： 語語言言00|( )|lim( )3 xxxxf xf x如如果果當(dāng)當(dāng)時時，隨隨之之無無限限

6、增增大大，則則注注不不0( )lim( )xxf xf x 存存在在，稱稱的的極極限限為為 ，并并記記作作。00|( )|(),xxf xxu x如如果果當(dāng)當(dāng)時時，隨隨之之無無限限增增大大，且且對對于于00( )0(0)lim( )(lim( )xxxxf xf xf x 或或，則則記記或或。4 lim cc 常常數(shù)數(shù)的的極極限限即即其其本本身身，即即注注。92lim() 3 241xx例例證證明明。 032,4x 要要使使證證明明，23x 只只要要，= 3 取取，02(32)4,xx當(dāng)當(dāng)時時, ,總總有有2lim(32)4xx即即100001xxxx在在定定義義 中中，既既可可以以從從，也也

7、可可以以從從趨趨右右側(cè)側(cè)近近于于左左側(cè)側(cè)，00 xxx但但有有時時只只須須考考察察當(dāng)當(dāng) 從從的的一一側(cè)側(cè)趨趨于于時時，對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值( )f x 的的變變化化趨趨勢勢。0000 ()lim( ) ()lim( ) xxxxf xf xfbf xax 右右極極限限：左左極極限限：極極左左限限極極限限與與的的關(guān)關(guān)右右，極極限限系系如如何何？11lim( )0 xxf xa 0( )xxf xa當(dāng)當(dāng)時時，0( )f xxa左左、右右極極在在的的并并限限都都存存在在均均為為 ，即即lim( )lim( )00 xxxxaf xf x 12 sgn2 0 xx 求求符符號號函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)例例時時

8、的的極極限限。1,0,sgn0,0,1,0.xxxx 符符號號函函數(shù)數(shù) 解解xyosgnyx lim( )xf x 0lim()x 01 1lim( )xf x 0limx 01 1顯然顯然, )0()0( ff所以所以不存在不存在 .)(lim0 xfx13 tan3 2yxx 求求正正切切函函數(shù)數(shù)在在點點例例處處的的極極限限。正切函數(shù)正切函數(shù)xytan yotanyx 2 lim tan2xx lim tan2xx 所以所以不存在不存在 .2lim tanxx14211 ( )lim(14) xxf xf xx ，求求例例設(shè)設(shè)。( )1( )f xxf x 函函數(shù)數(shù)在在處處確確實實沒沒有有

9、定定義義，但但是是不不表表示示函函數(shù)數(shù)注注：1x 在在處處沒沒有有極極限限。想想想想為為什什么么？-2111 lim( )= lim1xxxf xx 解解-1lim1xx（）2 00( )xf xxx研研究究函函數(shù)數(shù)的的極極限限只只考考慮慮 無無限限接接近近于于 時時的的變變化化與與在在是是否否有有定定趨趨勢勢, ,而而義義無無關(guān)關(guān). .+2111lim( )=lim1xxxf xx +1lim1xx（）2 211 lim2.1xxxf ( x ) 在點在點 x0= -1 處沒有定義處沒有定義.15(1) 左、右極限均存在左、右極限均存在, 且相等；且相等；(2) 左、右極限均存在左、右極限均

10、存在, 但不相等；但不相等；(3) 左、右極限中至少有一個不存在左、右極限中至少有一個不存在.找找例題！找找例題！ 函數(shù)在點函數(shù)在點 x0 處的左、右極限可能出現(xiàn)處的左、右極限可能出現(xiàn)以下以下三種三種情況之一：情況之一：161 , ( ) .xf xx先先考考察察當(dāng)當(dāng)時時函函數(shù)數(shù)的的變變化化趨趨勢勢1, ( ) 0;1, ( ) 0. xf xxxf xx時時 函函數(shù)數(shù)的的值值無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù)時時 函函數(shù)數(shù)的的值值也也無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù)1yxxyo,( )xf x 二二、當(dāng)當(dāng)時時數(shù)數(shù)函的極限, ,( ) 0.xf x因因此此 當(dāng)當(dāng)?shù)牡慕^絕對對值值趨趨于于無無窮窮時時的的值

11、值無無限限接接近近于于1 lim0.xx17 ( )|f xx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)大大于于某某一一正正數(shù)數(shù)時時有有定定定定義義義義。如如果果存存,ax 在在常常數(shù)數(shù)，對對于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) 總總存存在在著著正正數(shù)數(shù)使使得得當(dāng)當(dāng)|( )xxxf x 滿滿足足不不等等式式時時，對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值滿滿足足不不等等式式lim( )( )()xf xaf xa x 或或|( )|,f xa ( )af xx 則則常常數(shù)數(shù)叫叫做做函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時時的的極極限限，記記為為上上述述定定義義簡簡單單表表注注1 1 述述如如下下： lim( )0,0,|( )|xf xaxxxf xa 當(dāng)當(dāng)時時，有

12、有。x語語言言18 ( )|f xx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)大大于于某某一一正正數(shù)數(shù)時時有有定定定定義義義義。如如果果存存,ax 在在常常數(shù)數(shù)，對對于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) 總總存存在在著著正正數(shù)數(shù)使使得得當(dāng)當(dāng)|( )xxxf x 滿滿足足不不等等式式時時，對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值滿滿足足不不等等式式lim( )( )()xf xaf xa x 或或|( )|,f xa ( )af xx 則則常常數(shù)數(shù)叫叫做做函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時時的的極極限限，記記為為lim( ), li2 m( )xxf xaf xa類類似似的的可可以以定定義義注注。也也可可以以x 用用的的方方法法嚴(yán)嚴(yán)格格定定義義這這兩兩個個極極

13、限限。19lim ( )lim( )lim( )xxxf xaf xaf x . ,( )xf xa 當(dāng)當(dāng) ( )xf xa 趨趨于于+ + ，時時，極極限限都都存存在在并并均均為為 ，即即20 arcta n5yxx 討討論論反反正正切切函函數(shù)數(shù)在在處處例例的的極極限限。22yxyarctanx由圖容易看出：由圖容易看出： , 2arctanlimxx , 2arctanlimxx . arctan lim 不存在由定理可知：xx21 0,1,log0 ,6 aaayxxx 設(shè)設(shè)討討例例論論函函數(shù)數(shù)在在處處的的極極限限是是否否存存在在。xyalog xya1log ) 1( a1, a 0

14、lim log , axx lim log , axx 01, a0 lim log , axx lim log , axx 0 lim loglim logaaxxxx 及及不不存存在在22 .1( ) ,f x()()如如果果函函數(shù)數(shù)的的極極惟惟一一性性限限存存在在 則則極極性性限限惟惟一一質(zhì)質(zhì)00lim( )lim( ),xxxxf xafbaxb 和和則則。0 ()00lim( ),( )(),( ), .2 xxxf xamf xxxnxnf xm 或或()()如如果果那那么么存存在在一一個個 正正數(shù)數(shù)使使得得函函數(shù)數(shù)在在點點不不包包括括點點的的某某一一 個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)( (或或存

15、存在在一一個個正正數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時時) )總總有有 局局部部有有界界性性 有有極極限限的的函函數(shù)數(shù)局局 性性即即部部有有界界質(zhì)質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)230lim3( )xxf xa 局局部部保保號號性性質(zhì)質(zhì) ()()性性假假設(shè)設(shè)，0(1)(0)0 xax 如如，則則對對的的某某一一去去心心鄰鄰域域中中的的所所有有 ，有有( )0(0)f x 。0(2),(0),)0fxxx 如如對對的的某某一一去去心心鄰鄰域域中中的的所所有有則則0)0(a 。當(dāng)當(dāng) f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 時時，按照按照保號性保號性定理也只能得到定理也只能得到 a 0 ( a 0 ) 結(jié)論結(jié)論.000 lim( ),l( )(im)( ),.（3 3）若若且且在在 的的某某一一鄰鄰域域 有有, ,則則 xxxxf xagf xg xabbxx24, 0 , 1 , 0 ,)( 2xxxxf設(shè)(,)( )0 ,fxx 則則當(dāng)當(dāng)