函數(shù)周期性的判別法

1、函數(shù)周期性的判別法一、周期函數(shù)的基本概念函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，也是學(xué)好微積分的重要基礎(chǔ)。函數(shù)的基本特性主要包括五種，一是函數(shù)的單值性與多值性，二是奇(偶)性，三是單調(diào)性，四是有界性，五是周期性。現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中，很少甚至沒(méi)有對(duì)函數(shù)周期性的判別展開研討。為了較為詳細(xì)地研討函數(shù)周期性的判別，我們首先必須明確什么叫做周期函數(shù)？怎樣求出周期函數(shù)的周期？然后再結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步討論函數(shù)周期性的幾個(gè)判定方法。定義：設(shè)函數(shù)y=f(x),如果有一正數(shù)c存在，對(duì)屬于定義域的任意x,x+-x-I總有等式：f(x)=f(±L)(1)成立，則稱f(x)為周期函數(shù)。等式(1)要是成立，容易推知，不論x是屬于

2、定義域的什么值，x+kc也都屬于定義域，且有f(x)=f(x±c)=f(x+c)±L=f(x±2L)=f(x±kc)其中k為任意整數(shù)?？梢姖M足(1)式的正數(shù)C有無(wú)窮多個(gè)，在這無(wú)窮多個(gè)C中的一個(gè)最小的正數(shù)T,就稱為周期函數(shù)y=f(x)的周期。例如，正弦函數(shù)y=sinx是周期為2兀的周期函數(shù)，因?yàn)閟in(2兀+x)=sinx；正切函數(shù)y=tanx是周期為兀的周期函數(shù)，因?yàn)閠an(兀+x)=tanx。又例如，函數(shù)f(x)=sin2x是周期為兀的周期函數(shù)，因?yàn)?。二、函?shù)周期性的判別法定理1:若f(x)是周期為T的周期函數(shù)，則f(ax+b)是周期為T/a的周期函數(shù)

3、，其中a與b為常數(shù)且a>0。證：根據(jù)周期函數(shù)的定義f(x+T)=f(x),只要證明等式成立就可以了。因此f(ax)是周期為T/a的周期函數(shù)。例1.求函數(shù)f(x)=sin4x+cos4x的最小周期。解：因?yàn)橛嘞液瘮?shù)cosx是周期為2兀的周期函數(shù)，由定理1可知函數(shù)f(x)的最小周期為T=2兀/4=兀/2。在電子技術(shù)中，最為常見的正弦函數(shù)f(t)=Asin(at+)是周期為2兀/3的周期函數(shù)，其中A,3,為常數(shù)且3中0。定理2：設(shè)f1(x)與f2(x)設(shè)是定義在同一數(shù)集上且周期分別為T1與T2(T1與T2是可通約的)的兩個(gè)周期函數(shù)，則(1)兩函數(shù)之和f1(x)±f2(x)也是周期函數(shù)

4、，周期為T是T1與T2的最小公倍數(shù)。(2)兩函數(shù)之積fl(x)?f2(x)也是周期函數(shù)，周期為T是 T1 與 T2 的最小公倍數(shù)。證(1)：因?yàn)門1與T2是可通約的，即T1/T2=m/n，于是有nT1=Mt2=T,其中n,mN且互質(zhì)，設(shè)F(x)=f1(x)±fl(x)，則故兩個(gè)函數(shù)之和fl(x)±f2(x)是一個(gè)周期為T的周期函數(shù)，且T是T1與T2的最小公倍數(shù)，記作T=T1,T2o故兩個(gè)函數(shù)之積fl(x)?f2(x)是一個(gè)周期為T的周期函數(shù)，且T是T1與T2的最小公倍數(shù)。定理3：設(shè)f(x)在任一有限區(qū)間上都是有界的，且存在一點(diǎn)列xn,使，則f(x)不是周期函數(shù)。定理4：若f

5、(x)中a(a為常數(shù))，且，則f(x)不是周期函數(shù)。如函數(shù)且不是周期函數(shù)。判定函數(shù)f(x)不是周期函數(shù)還有其它一些方法，這里不再一一舉例。例2.判別下列函數(shù)的周期性并求其周期。 1) 2) 2)解(1):由定義可知，正切函數(shù)tanx的周期是兀，由定理1可知函數(shù)的周期是；函數(shù)的周期是。由定理2可知，函數(shù)也是周期函數(shù)，且周期T是4兀與6兀的最小公倍數(shù)12兀,即T=4兀，6兀。解(2)：由定義可知，函數(shù)與函數(shù)都是最小周期為2兀的周期函數(shù)，而由定理1可知這兩函數(shù)之積的最小周期是T=2兀/2=兀。例3.試證f(x)=sinx2不是周期函數(shù)。證明：用反證法證明。假設(shè)f(x)=sinx2是周期函數(shù)，則應(yīng)存在

6、與x無(wú)關(guān)的正數(shù)T,使下式成立：sin(x+T)2=sinx2。則當(dāng)x=0時(shí)，有sinT2=0，得到(k，n均為正整數(shù))，因?yàn)閗/n是有理數(shù)，而不是有理數(shù)，這與假設(shè)矛盾，所以f(x)=sinx2不是周期函數(shù)。三、結(jié)束語(yǔ)要判別一個(gè)函數(shù)是不是周期函數(shù)，關(guān)鍵在于要找到不為零的常數(shù)To現(xiàn)將求解或判別已給函數(shù)周期性的方法歸之如下：一是根據(jù)周期函數(shù)的定義判別，即若存在不為零的常數(shù)T，使f(x)=f(x+T)成立，則f(x)就是周期函數(shù)，而且最小正數(shù)T就是它的周期。二是根據(jù)定理1來(lái)判別，即若.的周期為T,則f(ax+b)的周期為兀/|a|(a,b均為常數(shù)且a*0)。三是根據(jù)定理2來(lái)判別，即若fl(x)與f2(x)的周期分別為T1與T2(T1*T2),則和的函數(shù)f(x)=f1(x)±f2(x)或積的函數(shù)的周期T是T1與T2的最小公倍數(shù)。我們看到，具有相同周期T的兩個(gè)函數(shù)fl(x)與f2(x),它們之和fl(x)±f2(x)或之積fl(x)?f2(x)仍以T為周期的周期函數(shù)，但當(dāng)T是兩個(gè)已給周期函數(shù)的最小周期時(shí)，它們的和或積其T可能不再是新周期函數(shù)的最小周期了。例如fl(x)=3sinx+2,f2(x)=2-3sinx,它們都是最小周期為2兀的周期函數(shù)，但其和f1(x)+f2(x)=4卻沒(méi)有最小周期。又例如也都是最小周期為2兀的周期函數(shù)，但其