可靠度設(shè)計(jì)基礎(chǔ)

1、2 可靠度設(shè)計(jì)基礎(chǔ)2.1可靠度理論的應(yīng)用與發(fā)展 土木工程可靠度理論的應(yīng)用與發(fā)展 巖土工程可靠度理論的發(fā)展?fàn)顩r 2.2 可靠度基本概念可靠性 可靠度可靠度設(shè)計(jì)水準(zhǔn) 失效概率 可靠指標(biāo) 標(biāo)與安全系數(shù) K 的關(guān)系指標(biāo)與分頂系數(shù)的關(guān)系 2.3可靠度計(jì)算方法2.3.1均值一次二階矩法（中心點(diǎn)法） 改進(jìn)的一次二階矩法（驗(yàn)算點(diǎn)法） JC法 蒙特卡羅法（Monte Carlo法）2.4巖土工程可靠度計(jì)算案例 2.4.1 地基變形的可靠度分析 2.4.2承載力可靠度分析 土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性可靠性分析 2.1可靠度理論的應(yīng)用與發(fā)展 2.1.1 土木工程可靠度理論的應(yīng)用與發(fā)展 美國、加拿大： 研究與實(shí)用化研究都較早。

2、歐洲: 普遍范采用了以概率理論為基礎(chǔ)的極限狀態(tài)設(shè)計(jì)法。 日本: 工程結(jié)構(gòu)安全和可靠性相關(guān)規(guī)范、標(biāo)準(zhǔn)逐步與國際標(biāo)準(zhǔn)相協(xié)調(diào)。 中國：應(yīng)用早發(fā)展快。50 年代 數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法確定超載系數(shù)和材料強(qiáng)度系。1984 年建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，明確規(guī)定結(jié)構(gòu)可靠度應(yīng)采用概率極限狀態(tài)設(shè)計(jì)法來確定。編制和頒布了第一層次的工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)(GB50153 - 92) 第二層次的建筑結(jié)構(gòu)、港口工程結(jié)構(gòu)、水利水電工程結(jié)構(gòu)、鐵路公路結(jié)構(gòu)和公路工程結(jié)構(gòu)的可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范改革、修訂的準(zhǔn)則。2.1.2 巖土工程可靠度理論的發(fā)展?fàn)顩r 1巖土工程可靠性問題的特點(diǎn) （1）巖土性質(zhì)的特點(diǎn) 復(fù)雜性，多變性；同地點(diǎn)的

3、土性質(zhì)可以差別很大；取樣、代表性樣品選擇、樣品數(shù)量、試驗(yàn)方法等增加測值的變異性，變異系數(shù)可以達(dá)到 0.30.5 以上，可靠度分析的精度在更大的程度上依賴于土性參數(shù)統(tǒng)計(jì)分析的精度。恰當(dāng)?shù)貙r土特性參數(shù)進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)分析，是巖土工程，尤其是地基工程最重要的問題，它對巖土可靠度分析的影響極大。 （2）巖土工程的特點(diǎn) 1）失效驗(yàn)算原則方面 2）極限狀態(tài)含義方面3）工程規(guī)模方面 4）極限狀態(tài)方程的非線性 5）土性指標(biāo)的相關(guān)性 巖土工程的系統(tǒng)可靠度問題、全概率問題與廣義可靠度問題，和其他工程結(jié)構(gòu)相比，也具有更復(fù)雜的特點(diǎn)。 2巖土工程可靠度理論的發(fā)展?fàn)顩r 2.2 可靠度基本概念2.2.1可靠性 工程結(jié)構(gòu)在規(guī)定

4、的時間內(nèi)，在規(guī)定的條件下，所達(dá)到的安全性、適用性和耐久性總稱為工程結(jié)構(gòu)的可靠性。 2.2.2可靠度 工程結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時間內(nèi)，在規(guī)定的條件下，完成預(yù)定功能的概率稱為工程結(jié)構(gòu)的可靠度。 可靠度概念中的“規(guī)定時間”通常指設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期。工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期與使用壽命之間是相互聯(lián)系而又不完全等同的兩個概念。當(dāng)工程結(jié)構(gòu)的使用年限超過設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期時，表明它的失效概率可能會增大，不能保證其目標(biāo)可靠指標(biāo)，但不等于其喪失所要求的功能甚至報廢。例如，某建筑的設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期定義為 T=50 年，但到了 50 年時不一定該建筑就不能使用了。一般來說，使用壽命長，設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期也可以長一些，使用壽命短，設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期應(yīng)短一些，通常設(shè)計(jì)基

5、準(zhǔn)期應(yīng)小于壽命期。目前國際上對設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期的取值尚不統(tǒng)一，一般取50120 年。我國建筑結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期統(tǒng)一取為 50 年，屬于適中時域。不同的設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期，對應(yīng)不同的荷載統(tǒng)計(jì)參數(shù)及其代表值，但為了便于統(tǒng)計(jì)分析和工程設(shè)計(jì)，同一工程結(jié)構(gòu)體系的設(shè)計(jì)一般取用統(tǒng)一的設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期。 2.2.3可靠度設(shè)計(jì)水準(zhǔn) 通常將可靠度設(shè)計(jì)劃分為三個水準(zhǔn)，即水準(zhǔn) I、水準(zhǔn)II 和水準(zhǔn)III。 水準(zhǔn) I半概率設(shè)計(jì)法 特點(diǎn)：在荷載和材料強(qiáng)度上分別考慮了概率原則，分項(xiàng)安全系數(shù)主要依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)確定，為半概率設(shè)計(jì)法。目前，我國大部分現(xiàn)行公路橋梁結(jié)構(gòu)和路面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范所采用的設(shè)計(jì)理論都屬于這一水準(zhǔn)。 半概率設(shè)計(jì)法三個步驟： （1）按照概

6、率取值原則，確定極限功能函數(shù)中抗力變量 R和荷載變量S 的標(biāo)準(zhǔn)值； （2）半概率地（根據(jù)工程實(shí)際經(jīng)驗(yàn)）確定材料設(shè)計(jì)強(qiáng)度及設(shè)計(jì)荷載； （3）由材料設(shè)計(jì)強(qiáng)度值計(jì)算出截面抗力，由設(shè)計(jì)荷載計(jì)算出荷載效應(yīng)，并進(jìn)行判斷。 水準(zhǔn) II近似概率設(shè)計(jì)法 特點(diǎn)：運(yùn)用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，對工程結(jié)構(gòu)、構(gòu)件或截面設(shè)計(jì)的“可靠概率”做出較為近似的相對估計(jì)。分析中忽略了或簡化了基本變量隨時間變化，將一些復(fù)雜的非線性極限狀態(tài)方程線性化。仍然只是一種近似的概率方法，在現(xiàn)階段它確實(shí)是比較合理且可行的方法。 工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)（GB 50153-92）、建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)（GB 50068-2001）、鐵道工程

7、結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)（GB 50216.2-94）以及公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)（GB/T 50283-1999）等，采用的以概率理論為基礎(chǔ)的一次二階矩極限狀態(tài)設(shè)計(jì)方法就屬于這一水準(zhǔn)的設(shè)計(jì)方法。水準(zhǔn) III全概率設(shè)計(jì)法 特點(diǎn)：影響工程結(jié)構(gòu)可靠度的各種因素用隨機(jī)變量的概率模型描述。考慮了隨時間變化的特性，采用隨機(jī)過程模型加以描述，以工程結(jié)構(gòu)的失效概率作為工程結(jié)構(gòu)可靠度的直接度量。是完全的、真正的概率方法。目前，這還只是值得開拓的研究方向，真正達(dá)到實(shí)用還需經(jīng)歷較長的時間。 在上述的后兩種水準(zhǔn)中，水準(zhǔn)是水準(zhǔn)的近似。在水準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，再進(jìn)一步發(fā)展就是運(yùn)用優(yōu)化理論的最優(yōu)全概率法。 2.2.4失效概率

8、 1失效概率的定義 若在規(guī)定的時間內(nèi)和在規(guī)定的條件下，結(jié)構(gòu)不能完成預(yù)定的功能，則稱相應(yīng)的概率為工程結(jié)構(gòu)的失效概率，用表示。 假設(shè)抗力（或強(qiáng)度）和荷載效應(yīng)（或應(yīng)力）為兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量，且服從某種分布形式，并設(shè)荷載和抗力為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)分別為和，當(dāng)抗力 小于作用在其上的荷載效應(yīng) 時則認(rèn)為發(fā)生失效。 失效概率可表示為： Pf=P(RS)=P(R-S0)=P(R/S1)由概率理論可知 Pr+Pf=1Pf=1-Pr圖中陰影表示兩曲線的重疊部分，稱為干涉區(qū)，它是工程結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)失效的區(qū)域。 干涉區(qū)的面積越小，可靠度越高；反之，可靠度越低。 2失效概率的計(jì)算表達(dá)式 根據(jù)干涉區(qū)進(jìn)行可靠度計(jì)算

9、的理論稱為荷載抗力干涉理論。 設(shè)施加有某一定值荷載s0，在該荷載的鄰域內(nèi)，取一寬度為ds的小區(qū)間，在此小區(qū)間上，荷載值出現(xiàn)的概率等于該小區(qū)間的面積，即 抗力R大于定值荷載效應(yīng)S0的概率為 荷載效應(yīng)和抗力為兩變量獨(dú)立， 是兩個獨(dú)立的隨機(jī)事件。它們同時發(fā)生的概率等于兩個事件單獨(dú)發(fā)生的概率的乘積，即 該概率即為荷載效應(yīng)處在ds小區(qū)間內(nèi)由于干涉所引起的可靠概率。顯然，對于式中s0的任意取值均應(yīng)成立，故對于荷載效應(yīng)的所有可能值，抗力大于荷載的概率（可靠概率）為 上式也可以寫成如下的等價形式 式中 FR ( · )抗力的概率分布函數(shù)。 失效概率的計(jì)算公式 如果 R和 S 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 f

10、RS (r,s)，則失效概率為 概率極限狀態(tài)設(shè)計(jì)的基本思想：用概率理論來分析工程結(jié)構(gòu)的可靠性，綜合考慮投資風(fēng)險和社會、經(jīng)濟(jì)后果，當(dāng)失效概率小到人們可以接受的程度，則認(rèn)為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是可靠的。 2.2.5可靠指標(biāo) （1）可靠指標(biāo)的表示方法 直接應(yīng)用數(shù)值積分方法計(jì)算失效概率是相當(dāng)困難的，因此工程中引入了可靠指標(biāo)的概念，采用近似方法表示工程結(jié)構(gòu)的可靠度。 設(shè) R和S 均服從正態(tài)分布，其平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為R 、S 、R和R 、s且極限狀態(tài)方程Z=R-S=0。則 Z 也服從正態(tài)分布，其平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為 將 Z 的正態(tài)分布 N（Z , Z ）變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N（0，1），引入標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量t(Z =

11、0, Z =1),即t= ,而dZ=Z dt。當(dāng) 當(dāng) 將以上結(jié)果代入后得 式中 （·）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值。 令 可得到 Pf =(-)而 Pr=1-Pf =1-(-)= () 以上為失效概率Pf、可靠度Pr與可靠指標(biāo)之間的關(guān)系。通常稱為“可靠指標(biāo)”。 有時，為了計(jì)算方便，可靠指標(biāo)改寫為如下形式 式中，R =R/R 和S =S/S，分別稱為抗力和荷載效應(yīng)的變異系數(shù)。 （2）可靠指標(biāo) 與失效概率Pf的關(guān)系 可靠指標(biāo) 與失效概率Pf或可靠度Pr之間存在著一一對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，當(dāng)功能函數(shù)Z的分布確定之后， 與Pf的關(guān)系就確定了。 若Z為正態(tài)分布，則 與Pf的數(shù)值可以前式換算，主要數(shù)據(jù)如下表。

12、可靠指標(biāo) 與失效概率Pf的關(guān)系從圖可見，在橫坐標(biāo)軸Z上，從坐標(biāo)原點(diǎn)（z=0，失效點(diǎn)）到密度函數(shù)曲線的均值Z 處的距離為.Z 。若.Z 大，則陰影部分的面積就小，失效概率Pf就小，相應(yīng)地可靠度Pr就增大。因此， 值可以直接用來表征工程結(jié)構(gòu)的可靠性。 對于不同的正態(tài)分布，只要各自均值i 和標(biāo)準(zhǔn)差i 的比值相等，那么失效概率Pf就相等。對于某些非正態(tài)分布，如對數(shù)正態(tài)分布、極值I型分布等，若服從同一分布類型的不同隨機(jī)變量各自的均值i和標(biāo)準(zhǔn)差i的比值i 相等，則其分布函數(shù)Fi (i -ii )同樣也相等。不過，此時Fi(0)就不能理解為失效概率Pf，因?yàn)閕 與i 的意義有所不同。 圖-2 可靠指標(biāo) 與均

13、值z 的關(guān)系如圖 -2 所示，功能函數(shù)為某一概率密度函數(shù)fz（z）時，由 = z/z可知，當(dāng)z 常量時，只隨均值z 而變。而當(dāng) 增加時，會使概率密度曲線由于z 的增加而向右移動（如圖中的虛線所示），即失效概率Pf將變小，變?yōu)镻f '， 可靠概率增大。 通常，抗力的均值 大于施加于結(jié)構(gòu)上的荷載效應(yīng)均值s ，故絕大多數(shù)情況的可靠度Pr值均大于0 .5。當(dāng)R -S 為定值時，標(biāo)準(zhǔn)差R 、s 越大，失效概率也越大，即抗力及荷載的離散性越大，可靠性就越低。若r =s ，因?yàn)閞 s = 0，則可靠度Pr 0.5，而且與標(biāo)準(zhǔn)差r 、s 無關(guān)。若R <s ，即R -s <0，可靠度Pr &

14、lt;0.5，失效概率大于 0.5。通常，可靠度低于 0.5 是一種人們難以接受的工程結(jié)構(gòu)，在工程設(shè)計(jì)中應(yīng)絕對避免，對于現(xiàn)存的工程結(jié)構(gòu)，也不宜繼續(xù)使用。 （3）可靠性指標(biāo) 的幾何意義 1）兩個正態(tài)變量 R 和 S 的標(biāo)準(zhǔn)方差相等的情況 設(shè)兩個正態(tài)變量 R 和 S 的均值分別為R 和s ，標(biāo)準(zhǔn)差相等即R =s= ，極限狀態(tài)方程為Z =R -S =0，在直角坐標(biāo)系 ROS 中，其失效邊界是一條直線，如圖-3 所示。 圖-3 R 和S 的標(biāo)準(zhǔn)方差相等時的失效邊界Z 的標(biāo)準(zhǔn)差為 而可靠性指標(biāo) 值為 均值點(diǎn)到失效邊界上的最短距離為： 即是 的 倍。由此可見，若 為一個單位，則均值點(diǎn)到失效邊界上的最短距離

15、 就是 值。 兩個特征點(diǎn)：M點(diǎn)和P* 點(diǎn)。M由R和S的均值確定；P*是與設(shè)計(jì)規(guī)定值對應(yīng)的點(diǎn)，它位于失效邊界上，是與最大可能失效概率對應(yīng)的點(diǎn)，通常稱之為設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)。對Z為一般正態(tài)分布和變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的情況，其P* 點(diǎn)和M點(diǎn)位置如圖-4 所示。 圖-4 P 點(diǎn)和M點(diǎn)位置（a）一般正態(tài)分布；（b）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布2）兩個正態(tài)變量 R 和 S 的標(biāo)準(zhǔn)差不相等的情況 按如下方式建立新的坐標(biāo)系：首先在 ROS 中進(jìn)行平移，原點(diǎn)由O點(diǎn)移到（M點(diǎn)處）；然后通過數(shù)學(xué)變換，使R 和s 都變成一個單位量。 圖-5 新坐標(biāo)系中的 位置 根據(jù)前面第（1）種情況，在新的坐標(biāo)系中的原點(diǎn)到失效邊界上的最短距離 就是 值，如圖

16、 -5 所示。 在新坐標(biāo)系下，令新變量和分別為 由于均值R 、S 和標(biāo)準(zhǔn)差R 、S 都是常量，因此可以證明和的平均值為0 而標(biāo)準(zhǔn)差等于 1。經(jīng)過上述坐標(biāo)系變換，實(shí)質(zhì)上是把正態(tài)分布 N(， )標(biāo)準(zhǔn)化為N(0，1）。 得到代人極限狀態(tài)方程 Z R-S=0，得 （-11）變換后的坐標(biāo)系如圖-6 所 極限狀態(tài)方程式還可以用直線的法線式表示為 (-12)法線與各坐標(biāo)向量的方向余弦為 (-13)將極限狀態(tài)方程（-11）各項(xiàng)除以 ,并把方向余弦式代入，整理后得 (-14)比較式（ (-15)在圖-6 所示的情況中，設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)P*即為直線與極限狀態(tài)直線的垂直交點(diǎn)。在坐標(biāo)系中，P*的坐標(biāo)為 =coss ， =

17、cosR換算到原始坐標(biāo)系 ROS 中，則有 S* =s +cosss R* =R +cosRR可見，可靠指標(biāo)是新坐標(biāo)系原點(diǎn)到失效邊界線的最短距離。因此，求解可靠指標(biāo),實(shí)際上就是求解線段長度 的問題。 3）多個正態(tài)變量和標(biāo)準(zhǔn)方差不相等的情況 當(dāng)功能函數(shù)Zg（X1，X2，Xn）中的X1，X2，Xn為相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，極限狀態(tài)方程Zg（X1，X2，Xn）=0 在n維歐氏空間中，它表示一個非線性失效邊界曲面，如圖-7 所示。 圖-7 三個正態(tài)變量的失效邊界曲面將空間分為可靠區(qū)和失效區(qū)兩部分。作坐標(biāo)變換，即把正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化，用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量X 來代替正態(tài)隨機(jī)變量X（i1，2，n），即

18、 (-18)則極限狀態(tài)方程變換為 （-19）當(dāng)極限狀態(tài)方程中包含多個正態(tài)分布隨機(jī)變量時，根據(jù)由兩個隨機(jī)變量情形得出的定義，此時求可靠指標(biāo)即為求一新坐標(biāo)體系中由原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的法線距離。與式（-13）相似，在新坐標(biāo)系中，極限狀態(tài)曲面在P* 點(diǎn)的法線 對坐標(biāo)向量的方向余弦為 （-20）式中 表示偏導(dǎo)數(shù)在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)P* 處賦值。 P*點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 而P*點(diǎn)在原始坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 類似于兩個正態(tài)隨機(jī)變量的情況，此時可靠指標(biāo) 是新的空間坐標(biāo)系中原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最短距離 （P* 為設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)），如圖-7 所示。 標(biāo)與安全系數(shù) K 的關(guān)系 傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)原則是總抗力不小于總荷載效應(yīng)，其可靠性用

19、安全系數(shù)來表示。用平均值表達(dá)的單一平均安全系數(shù) K 定義為 相應(yīng)的設(shè)計(jì)表達(dá)式為 用安全系數(shù)來進(jìn)行工程設(shè)計(jì)存在兩方面的問題： 它沒有定量考慮抗力和荷載效應(yīng)的隨機(jī)性，往往靠經(jīng)驗(yàn)或工程判斷的方法取值； K 值只與 R 和 S 的相對位置（ 的比值）有關(guān)，而與 R 和 的離散程度（R 、S 值）無關(guān)。 假定抗力R和荷載效應(yīng)S均服從正態(tài)分布，相應(yīng)的變異系數(shù)分別為R 和，功能函數(shù)為Z =R-S 。利用前述的可靠度概念，可推導(dǎo)出中心安全系數(shù) K可靠度指標(biāo) 的關(guān)系為 或 同樣方法，可得到R、S服從對數(shù)正態(tài)分布時，安全系數(shù)與可靠性指標(biāo)的關(guān)系 由上式可見，可靠性指標(biāo) 和安全系數(shù) K的關(guān)系與隨機(jī)變量R和S的變異系數(shù)

20、R 、S 有關(guān)，即可靠性指標(biāo) 反映了 R和 S 的離散程度。因此，與安全系數(shù) K 相比，可靠性指標(biāo)更好地反映了工程安全度的實(shí)質(zhì)。 指標(biāo)與分頂系數(shù)的關(guān)系 分項(xiàng)系數(shù)表達(dá)式：考慮廣大工程技術(shù)人員習(xí)慣，采用概率可靠度方法確定的基本變量標(biāo)準(zhǔn)值和設(shè)計(jì)系數(shù)表達(dá)的實(shí)用表達(dá)式。 分項(xiàng)系數(shù)表達(dá)式的形式與傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)表達(dá)式相似，但不采用單一的安全系數(shù)而是對應(yīng)各基本變量的分項(xiàng)系數(shù)，其中的各變量分項(xiàng)系數(shù)是根據(jù)概率可靠度設(shè)計(jì)方法確定的。例如，某巖土對象的作用為永久荷載SG （標(biāo)準(zhǔn)值SGK ）和可變荷載SQ （標(biāo)準(zhǔn)值SQK ），抗力為R（標(biāo)準(zhǔn)值RK），則其分項(xiàng)系數(shù)設(shè)計(jì)表達(dá)式可表示為 式中 R 抗力分項(xiàng)系數(shù)； G 永久荷載分項(xiàng)

21、系數(shù)； Q 可變荷載分項(xiàng)系數(shù)。 可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系：可以由計(jì)算可靠度的一次二階矩（FOSM）方法導(dǎo)出。 根據(jù)一次二階矩（FOSM）方法，驗(yàn)算點(diǎn)座標(biāo)表示為式（-22）所示。取驗(yàn)算點(diǎn)為設(shè)計(jì)控制點(diǎn)，即設(shè)計(jì)值等于驗(yàn)算點(diǎn)座標(biāo)，即 根據(jù)我國規(guī)范對設(shè)計(jì)值的定義，對于作用項(xiàng)，設(shè)計(jì)值為作用分項(xiàng)系數(shù)與荷載標(biāo)準(zhǔn)值的乘積；對于抗力項(xiàng)，設(shè)計(jì)值為抗力分項(xiàng)系數(shù)的倒數(shù)與抗力標(biāo)準(zhǔn)值的乘積。 于是，作用項(xiàng)分項(xiàng)系數(shù)S 為 Sd 為荷載設(shè)計(jì)值；Sk為荷載標(biāo)準(zhǔn)值；S* 為荷載變量驗(yàn)算點(diǎn)座標(biāo)。 而抗力分項(xiàng)系數(shù)R 為 Rd 為抗力設(shè)計(jì)值；Rk 為抗力標(biāo)準(zhǔn)值；R*為抗力變量驗(yàn)算點(diǎn)座標(biāo)。 荷載標(biāo)準(zhǔn)值與其平均值關(guān)系： 根據(jù)建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)統(tǒng)一

22、標(biāo)準(zhǔn)，荷載標(biāo)準(zhǔn)值Sk 與其平均值s有如下關(guān)系 Sk =s 式中統(tǒng)計(jì)修正系數(shù)，可根據(jù)相關(guān)規(guī)范確定。 按上述取值原則，荷載的分項(xiàng)系數(shù)表達(dá)式為 式中，S 為荷載變異系數(shù)；方向余弦cosS 為正值，故S 大于1。 抗力標(biāo)準(zhǔn)值可根據(jù)不同情況，采用兩種方法： 取均值作為標(biāo)準(zhǔn)值，如按試樁結(jié)果取用場地的平均值； 取概率分布的某一置信概率的分位值，按下式計(jì)算 式中ta 當(dāng)=0.05 時的學(xué)生氏分布分位值； R 抗力R的平均值； R 抗力R的變異系數(shù)。對于取均值作為標(biāo)準(zhǔn)值的情況，抗力分項(xiàng)系數(shù)為 對于取分位值作為標(biāo)準(zhǔn)值的情況，抗力分項(xiàng)系數(shù)為 式中的方向余弦cosR 為負(fù)值，故R 也大于1 。2.3 可靠度計(jì)算方法

23、可靠度分析的主要方法： 一次二階矩方法、二次二階矩方法、蒙特卡羅模擬法和概率有限法等。一次二階矩方法是目前最常用的方法之一，國際標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)可靠性總原則以及我國第一層次和第二層次的結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)如工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)和建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)等，也都推薦采用一次二階矩方法。一次二階矩方法（First-Order Reliability Method，簡稱FORM）最初是根據(jù)線性功能函數(shù)和獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量二階矩所提出的計(jì)算方法。這一方法的基本原理是： 假定功能函數(shù)Z =g(x1,x2,xn)是基本變量Xi（i1，2，n)的線性函數(shù)，基本變量均服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布，且各基本變量之

24、間相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則可以由基本隨機(jī)變量Xi（i1，2，n)的一階矩、二階矩計(jì)算功能函數(shù)Z的統(tǒng)計(jì)均值z和標(biāo)準(zhǔn)差z，進(jìn)而確定狀態(tài)方程的可靠性指標(biāo)值。對于非線性功能函數(shù)，可將功能函數(shù)Z=g(x1,x2,xn)展開成Taylor級數(shù)，保留線性項(xiàng)，將Z近似簡化成基本變量Xi（i1，2，n)的線性函數(shù)，計(jì)算Z的統(tǒng)計(jì)均值z和標(biāo)準(zhǔn)差z，再計(jì)算可靠性指標(biāo)值。如果基本變量為非獨(dú)立和非正態(tài)變量，則需要先對基本變量進(jìn)行相應(yīng)的處理，然后計(jì)算可靠性指標(biāo)值。根據(jù)功能函數(shù)線性化點(diǎn)的取法不同以及是否考慮基本隨機(jī)變量的分布類型，又分為均值一次二階矩法（中心點(diǎn)法）、改進(jìn)的一次二階矩法（驗(yàn)算點(diǎn)法）和JC法等。2.3.1均值一次二階矩法

25、（中心點(diǎn)法） 設(shè)基本變量Xi（i1，2，n)均服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布，且各基本變量之間相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，功能函數(shù)為Z=g(x1,x2,xn)，相應(yīng)的極限狀態(tài)方程為Z=g(x1,x2,xn)=0線性功能函數(shù)情況：當(dāng)功能函數(shù)Z=g(x1,x2,xn)是基本變量Xi（i1，2，n)的線性函數(shù)時，即這里，a1、a2、an為常數(shù)。而Z的統(tǒng)計(jì)均值z和標(biāo)準(zhǔn)差z為ix、ix分別為變量Xi的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。而可靠性指標(biāo)值為其破壞概率Pf為 （）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。若功能函數(shù)可以表示為荷載效應(yīng)S與抗力R的線性關(guān)系，即狀態(tài)方程當(dāng)荷載效應(yīng)S與抗力R均服從正態(tài)分布時，可靠性指標(biāo)值為 R、S分別為荷載效應(yīng)S與抗力R的變異系

26、數(shù)。非線性功能函數(shù)情況：可先進(jìn)行線性化處理。中心點(diǎn)法選取在隨機(jī)變量的均值點(diǎn)（即中心點(diǎn)）iX（i1，2，n），展開成Taylor級數(shù)，并取其線性項(xiàng)（一次項(xiàng)）作為功能函數(shù)Z的簡化表達(dá)式。將功能函數(shù)的基本變量Xi（i1，2,，n）在其均值點(diǎn)iX（i1，2，n）處展開成Taylor級數(shù)，保留線性項(xiàng)，則有極限狀態(tài)方程為 式中， 表示功能函數(shù)g對隨機(jī)變量Xi求導(dǎo)后，用平均值iX（i1，2，n）代入后的計(jì)算值，因此為常數(shù)。通過式（-9）計(jì)算功能函數(shù)Z的均值Z和標(biāo)準(zhǔn)差Z為 可靠指標(biāo)â可表示為當(dāng)功能函數(shù)Z為線性函數(shù)，且隨機(jī)變量Xi（i1，2,，n)為相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量時，上式給出的可靠指標(biāo)是精確的

27、。而對于非線性功能函數(shù)，且隨機(jī)變量為非獨(dú)立和非正態(tài)分布，其計(jì)算結(jié)果一般會產(chǎn)生較大的誤差。在此情況下，需要對隨機(jī)變量作正態(tài)化和獨(dú)立性預(yù)處理，再利用此方法進(jìn)行計(jì)算。2.3.2 改進(jìn)的一次二階矩法（驗(yàn)算點(diǎn)法）Hasofer和Lind引入了驗(yàn)算點(diǎn)的概念，提出了改進(jìn)的一次二階矩法即驗(yàn)算點(diǎn)法。驗(yàn)算點(diǎn)法對中心點(diǎn)法的改進(jìn)主要在于線性化點(diǎn)選取位置的改變，由中心點(diǎn)法選在均值點(diǎn)，改為選在最大可能失效概率所對應(yīng)的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)P*上，以此克服中心點(diǎn)法所產(chǎn)生的問題。設(shè)功能函數(shù)為非線性函數(shù)，其中隨機(jī)變量Xi為正態(tài)分布且相互獨(dú)立的基本變量。對功能函數(shù)進(jìn)行線性化，線性化點(diǎn)選在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)，則其功能函數(shù)為因?yàn)樵O(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)位于極限狀態(tài)面

28、上，故則功能函數(shù)變?yōu)槎鳽的均值的近似值為當(dāng)基本變量相互獨(dú)立時，Z的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為引入系數(shù)，將上式的右端根式進(jìn)行線性化，得式中，=稱為基本變量的敏感系數(shù)或方向余弦。表示基本變量對整個標(biāo)準(zhǔn)差的相對影響，反映了各個基本變量對可靠性指標(biāo)的影響權(quán)數(shù)，以下式表示：于是，可靠性指標(biāo)的表達(dá)式可寫為經(jīng)整理得到隨機(jī)變量的驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)為需要注意的是，在求解之前，的坐標(biāo)未知，故的計(jì)算只能采用迭代法。采用迭代法進(jìn)行可靠指標(biāo)的計(jì)算步驟如下：（1）選取設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)為中心點(diǎn)，即坐標(biāo)的初值（2）由式（-7）計(jì)算的值，根據(jù)的坐標(biāo)計(jì)算值；（3）由式（-8）計(jì)算；（4）由式（-9）求出新的坐標(biāo)點(diǎn)；（5）以新的坐標(biāo)點(diǎn)代替第（1）步中的點(diǎn)

29、，重復(fù)步驟（2）（4），前后兩次算出的值之差小于允許誤差。2.3.3 JC法一種適合非正態(tài)分布的R-F算法即Rackwitz（拉克維茨）-Fiessler（菲斯勒）算法。該方法已被國際安全度聯(lián)合委員會(JCSS)推薦采用，故也稱JC法。我國工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)和建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)中都規(guī)定采用本法。JC法基本原理：首先把非正態(tài)分布變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化，然后利用一次二階矩驗(yàn)算點(diǎn)法求解可靠度指標(biāo)。所謂當(dāng)量正態(tài)化，就是把原來隨機(jī)變量的非正態(tài)分布用正態(tài)分布代替。具體做法是對代替的正態(tài)分布函數(shù)在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處有兩個要求：在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處，當(dāng)量正態(tài)隨機(jī)變量（其平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為）的分布函數(shù)值與原隨機(jī)

30、變量(其平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為)的分布函數(shù)值相等；在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處，當(dāng)量正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)值與原隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)值相等。由條件則由條件則當(dāng)量正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為式中，中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。將非正態(tài)隨機(jī)變量當(dāng)量正態(tài)化后，即可按照上述的一次二階矩驗(yàn)算點(diǎn)法計(jì)算可靠性指標(biāo)和設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)。得到要求解的方程是相互制約的，一般采用迭代法計(jì)算。JC法的具體計(jì)算流程如下：（1） 確定統(tǒng)計(jì)參數(shù)，如，假定初值；（2） 給設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)賦初值，一般??；（3） 將非正態(tài)隨機(jī)變量當(dāng)量正態(tài)化：求得；（4） 計(jì)算值；（5） 計(jì)算得出值；（6） 計(jì)算新的值；（7）

31、驗(yàn)證（允許誤差）；如果誤差在允許范圍內(nèi)，則計(jì)算所得值即為所求可靠性指標(biāo)，如果誤差大于允許范圍，則返回步驟（4），利用新的值進(jìn)行新一輪計(jì)算，直到得到誤差允許范圍內(nèi)的可靠性指標(biāo)值；（8）計(jì)算失效概率。JC法優(yōu)點(diǎn)：原理簡便，計(jì)算收斂快。實(shí)踐證明，該法是一種比較實(shí)用的可靠度分析方法。巖土工程中很多情況，大都可采用本法計(jì)算可靠指標(biāo)。JC法的不足：當(dāng)基本隨機(jī)變量不全部服從正態(tài)分布時，由于當(dāng)量正態(tài)化的限制較少，采用當(dāng)量正態(tài)分布代替實(shí)際的非正態(tài)分布進(jìn)行計(jì)算，會帶來一定誤差；其次，不能考慮基本隨機(jī)變量之間的相關(guān)性。只有當(dāng)巖土工程的概率極限功能函數(shù)為線性，基本隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立時，計(jì)算結(jié)果才是精確的

32、。例2-4采用JC法計(jì)算其可靠指標(biāo)已知基礎(chǔ)與地基土條件與例2-3相同，基本變量中內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角服從正態(tài)分布，荷載服從極值型分布，統(tǒng)計(jì)特征值見下表。地基承載能力仍按漢森（Hansen）公式計(jì)算，試采用JC法計(jì)算其可靠指標(biāo)。表-1 基本變量的統(tǒng)計(jì)特征基本變量符號名稱與單位分布類型平均值標(biāo)準(zhǔn)值荷載（kPa）極值I型分布20040內(nèi)聚力（kPa）正態(tài)分布101.5內(nèi)摩擦角正態(tài)分布253解 p為極值型分布，其方差為 由此求得分布參數(shù) p應(yīng)換算為當(dāng)量正態(tài)分布，當(dāng)量正態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)差為 在假定驗(yàn)算點(diǎn)處極值型分布的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)分別為 當(dāng)量正態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)差為 平均值為其余計(jì)算與迭代步驟同例2-3。

33、本例經(jīng)過四次迭代獲得可靠性指標(biāo)值為3.367，計(jì)算結(jié)果見表-1。表-1 迭代計(jì)算的結(jié)果迭代次數(shù)13.866212.59.24513.6223.552273.38.87516.3733.381296.39.10517.0643.367300.39.15617.1653.367300.89.16417.182.3.4 蒙特卡羅法（Monte Carlo法）蒙特卡羅法是通過隨機(jī)模擬統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)來求解可靠性的近似數(shù)值方法，其理論基礎(chǔ)是“大數(shù)定理”。蒙特卡羅法求解失效概率的基本思路：先對影響可靠度的隨機(jī)變量進(jìn)行大量隨機(jī)抽樣，然后把這些抽樣值代入功能函數(shù)式，得到失效概率。理論上，蒙特卡羅法模擬方法可以應(yīng)用于大

34、型的復(fù)雜系統(tǒng)，通常是當(dāng)?shù)貌坏浇馕鼋饣蚪馕鼋鉄o效時采用蒙特卡羅模擬法，蒙特卡羅模擬法通常又是唯一的檢驗(yàn)或評價近似解的方法。蒙特卡羅模擬法的基本原理在各狀態(tài)變量的概率分布已知且各自統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的條件下，根據(jù)極限狀態(tài)條件，利用蒙特卡羅方法對每個狀態(tài)變量產(chǎn)生一個符合其概率分布的隨機(jī)數(shù)，由此可以得到一組隨機(jī)數(shù)的組合，然后以之代入功能函數(shù)，就可以得到功能函數(shù)的一個隨機(jī)數(shù)。如此采用同樣的方法，就可以產(chǎn)生N組隨機(jī)數(shù)的組合，從而可以得到N個相互獨(dú)立的功能函數(shù)的隨機(jī)數(shù)。如果在這N個功能函數(shù)的隨機(jī)數(shù)中有M個不大于1（當(dāng)以安全系數(shù)為功能函數(shù)時，如邊坡問題）或不大于0（當(dāng)以安全儲備為功能函數(shù)時，如地基承載力問題），則當(dāng)模擬

35、次數(shù)足夠多時，即N足夠大時，由大數(shù)定律可知，頻率M/N近似于概率，因此土坡和地基的破壞概率可以表示為：當(dāng)N足夠大時，由功能函數(shù)的統(tǒng)計(jì)樣本，還可以精確地擬合出Z值的概率分布密度函數(shù)，并計(jì)算出其均值和標(biāo)準(zhǔn)差。此時破壞概率亦可由積分方法求得： （當(dāng)以安全系數(shù)為功能函數(shù)時） （當(dāng)以安全儲備為功能函數(shù)時）若功能函數(shù)Z值的概率分布密度函數(shù)可以擬合為正態(tài)分布，則破壞概率，其中可靠指標(biāo)（當(dāng)以安全系數(shù)為功能函數(shù)時）或（當(dāng)以安全儲備為功能函數(shù)時），為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。減小蒙特卡羅模擬結(jié)果方差的方法為提高蒙特卡羅模擬效率，減少模擬次數(shù)，或用相同模擬次數(shù)得到更精確的參數(shù)估值，必須減小模擬結(jié)果的方差。減小方差的方法很多

36、，最常用以下兩種。（1）對偶變量法設(shè)和是參數(shù)的兩個無偏估計(jì)量，現(xiàn)構(gòu)造第3個估計(jì)量：顯然Z的期望值和方差為若和具有負(fù)相關(guān)性，即，則有：將稱為的對偶變量，用來補(bǔ)償估計(jì)中的變化，這正是負(fù)相關(guān)性的概念。例如，若函數(shù)是單調(diào)的，則函數(shù)的變化更小，且具有較小的方差。為了用對偶變量法進(jìn)行隨機(jī)抽樣，即產(chǎn)生對偶隨機(jī)數(shù)與，可以?。?，1）區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)和，則有：式中為概率分布函數(shù)的反函數(shù)。因此若模擬試驗(yàn)次數(shù)為N，則對偶變量法的估值為：模擬方差及其對應(yīng)的估值為這樣，采用對偶變量法就可以提高蒙特卡羅模擬結(jié)果的精度。（2）相關(guān)抽樣法相關(guān)抽樣法對于研究同一問題兩種不同設(shè)計(jì)的均值的差異特別有效。假設(shè)設(shè)計(jì)方案A和B的功能函數(shù)

37、為和，其中為設(shè)計(jì)方案A的一組設(shè)計(jì)參數(shù)，為設(shè)計(jì)方案B的一組設(shè)計(jì)參數(shù)，是一組隨機(jī)變量。則兩個模擬試驗(yàn)方案的性能隨機(jī)變量之差為：若兩次模擬試驗(yàn)中采用同樣的隨機(jī)數(shù)，則其中模擬結(jié)果和是高度相關(guān)的，從而可以減少兩次模擬試驗(yàn)結(jié)果之差的試驗(yàn)方差。這時，Z的均值的方差為：若和是相互獨(dú)立的，則,則顯然；但是，由于和是正相關(guān)的，即，因此。用下面兩式產(chǎn)生的和將是正相關(guān)的：式中，為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，為（0，1）區(qū)間均勻分布的一組隨機(jī)數(shù)。為便于計(jì)算模擬試驗(yàn)方差估值，兩次模擬試驗(yàn)取相同模擬次數(shù)N，即有：一般情況下，巖土工程失效概率都很小，因此采用蒙特卡羅法達(dá)到較高精度需要的計(jì)算次數(shù)需要達(dá)到上萬次甚至更多，相應(yīng)的對計(jì)算資源

38、的使用和要求較高。2.4 巖土工程可靠度計(jì)算案例 2.4.1 地基變形的可靠度分析 地基變形極限狀態(tài): 建筑物基礎(chǔ)或巖土結(jié)構(gòu)物的變形已達(dá)到正常使用或耐久性能的某項(xiàng)規(guī)定限值。變形極限狀態(tài)方程: - S=0 式中 容許的變形值； S估算實(shí)際發(fā)生的變形值。變形估算值S的大小與荷載的大小、土層的變形參數(shù)、壓縮層厚度以及計(jì)算模型的誤差等因素有關(guān)。通?？紤]的隨機(jī)變量： 土的壓縮模量Es（或壓縮指數(shù)cc）、土層厚度z、基底附加壓力p0以及經(jīng)驗(yàn)修正系數(shù)s等。 1按地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范的地基沉降計(jì)算公式計(jì)算時的可靠度分析 式中s沉降計(jì)算經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，根據(jù)沉降觀測資料及經(jīng)驗(yàn)確定。當(dāng)根據(jù)沉降觀測資料時，實(shí)測沉降為S0，未加

39、修正的計(jì)算沉降為S'，則S=S0/'S；若有m個實(shí)測值，就可得到s的平均值和方差2n地基變形計(jì)算深度范圍內(nèi)的土層數(shù)；p0基礎(chǔ)底面處的附加壓力（kPa），p0=p D；p基底總壓力（kPa）；D基礎(chǔ)埋置深度（m）；E基礎(chǔ)底面下第i層土的壓縮模量（MPa）；zi, z1i基礎(chǔ)底面至第i層和第i1層底面的距離（m）；Ci,Ci1基礎(chǔ)底面計(jì)算點(diǎn)至第層和第i1層底面范圍內(nèi)的平均附加壓力系數(shù)。式中 (z)豎向附加應(yīng)力系數(shù)，它是z的函數(shù)。變形極限狀態(tài)方程隨機(jī)變量：式中ES變量共有n個，zi變量共有2n 1個（其中當(dāng)i=1，2，n-1時，z i各出現(xiàn)兩次， i=n時，z i出現(xiàn)一次），加上p0

40、、S及，共有3n+2個變量 由JC法求可靠度的方法： 各個變量的一階偏導(dǎo)數(shù)由下式求得驗(yàn)算點(diǎn)的值為將驗(yàn)算點(diǎn)值代人極限狀態(tài)公式得 用迭代法計(jì)算可靠指標(biāo)。計(jì)算時可先假定驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)為各自的平均值。例2-5 地基沉降的可靠指標(biāo)和失效概率計(jì)算 已知方形基礎(chǔ)寬度B=4m，基礎(chǔ)底面以下第一層土為平均厚度2m的表土層，土層厚度的標(biāo)準(zhǔn)差為20cm；第二層為軟土層，平均厚度為18m，軟土層底面距基礎(chǔ)底面之間距離的標(biāo)準(zhǔn)差為100cm；第三層為密實(shí)砂層。第一層土的壓縮模量平均值1s =7MPa，標(biāo)準(zhǔn)差E 1s =1MPa；第二層土的壓縮模量平均值2s=4MPa，標(biāo)準(zhǔn)差2sE =0.5 MPa；沉降的容許值為=12cm，

41、標(biāo)準(zhǔn)差=1cm。若基底壓力和經(jīng)驗(yàn)修正系數(shù)都作為確定性變量，p0 =100kPa，0=1.0。假設(shè)隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布，試用迭代法計(jì)算地基沉降的可靠指標(biāo)和失效概率。平均附加壓力系數(shù)，C1=900, C2=0.0206。解：計(jì)算步驟如下：1）假定驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)p·2）計(jì)算基于驗(yàn)算點(diǎn)的沉降量S· 3）計(jì)算方向余弦4）計(jì)算驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)5）代人極限狀態(tài)方程采用試算法求得= 2.266）將求得的值代人驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)方程，求得新的坐標(biāo)值，重復(fù)第26步。將方向余弦代入驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)，然后代人極限狀態(tài)方程，采用試算法求得= 2.23，得驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)值為求得方向余弦后代入極限狀態(tài)方程，采用試算法求得=2.2

42、0，再重復(fù)計(jì)算驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)后按第2步到第6步，求出=2.20，兩次求得的值相等，故計(jì)算終止。最終求得的驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)為求得失效概率為 2沉降置信區(qū)間的估計(jì) 用概率方法預(yù)報沉降實(shí)質(zhì)上是對沉降的置信區(qū)間作出估計(jì)。由于計(jì)算沉降公式中包含許多變異因素，沉降計(jì)算是在不確定性條件下進(jìn)行的，計(jì)算的結(jié)果并不是一個確定性的數(shù)值，而是一個置信區(qū)間。實(shí)際發(fā)生的沉降將以一個大的概率落在估計(jì)的區(qū)間內(nèi)，落在這個區(qū)間以外的風(fēng)險將被限制在一個很小的概率內(nèi)。沉降的置信區(qū)間上、下限由下式求得 式中 S沉降的變異系數(shù)，估計(jì)沉降的均值； 估計(jì)沉降的方差； 風(fēng)險率為時的學(xué)生氏函數(shù)分位值。沉降的數(shù)學(xué)期望和方差由不同的沉降計(jì)算模式給出不同的表達(dá)

43、式。例2-6有一基礎(chǔ)，寬度B =6m，埋深D=lm?；赘郊訅毫0=180kPa，地基為中砂，厚10m，可劃分為三個土層，壓縮模量及變異系數(shù)如表所示。砂層以下為基巖，地下水位在基礎(chǔ)底面以下0.5m處，設(shè)p0為確定性量，試求20年后地基的沉降置信區(qū)間。編號12.06.050.1310.2021.07.520.0790.533.07.520.0780.5044.011.00.2100.27解：砂土地基可用施默特曼（Schertmann）方法來計(jì)算沉降。1）沉降均值 式中 n2B范圍內(nèi)劃分的計(jì)算土層數(shù)； p0均布荷載的基底附加壓力； Ei第i層彈性模量平均值； IXi第i層垂直應(yīng)變影響因素； i

44、zi第i層土的厚度； C1考慮埋深的修正系數(shù)，C1=1-0.5(0/p) （0為基底處的有效自重壓力）； C2考慮時間因素的修正系數(shù)，C 2=1-0.2ln(t/0.1)，t為時間（以年計(jì)）。2）沉降方差 式中 iE i第i層土模量的變異系數(shù)； 2p0p0的變異系數(shù)； 第i層沉降的平均值。沉降的變異系數(shù)為 基底處的有效自重壓力'0=18kPa，由此求得 C1=1-0.5(18/180)=0.95根據(jù)t =20年，得到C2= 1+0.2ln(20/0.1)=1.46。沉降均值和變異系數(shù)為=0.95×1.46×180×4.434×10-4=0.111

45、m=11.1cmS= 0.064對于風(fēng)險率=10%， t/2 =1.645置信上限 (1+1.645×0.064)=12.3cm 置信下限 (1-1.645×0.064)=9.9cm 可以預(yù)測地基的實(shí)際沉降值有90%的可能位于9.9cm和12.3cm之間。2.4.2樁基承載力可靠度分析 1單樁可靠度分析中的不確定性因素 樁的承載能力不確定性主要表現(xiàn)在以下幾個方面： （1）土質(zhì)與材料性能的不確定性樁側(cè)土質(zhì)與樁底土質(zhì)的變異性，勘察及試驗(yàn)的誤差，成樁過程中樁側(cè)土的擾動和密實(shí)度的變化，孔底可能出現(xiàn)的沉渣、虛土等構(gòu)成了土質(zhì)條件的不確定性，這是制約單樁承載力變異性的主要因素。樁身材料的

46、不確定性主要受樁身材質(zhì)、混凝土澆筑質(zhì)量的制約，對于非端承樁和樁身質(zhì)量無顯著缺陷的情況下，一般不對單樁承載力起控制作用，變異性相對較小。（2）幾何參數(shù)的不確定性幾何參數(shù)的不確定性主要是指成樁截面直徑、長度尺寸偏差、樁身傾斜等引起的幾何參數(shù)的變異性。對預(yù)制樁，樁身尺寸的不確定性可以忽略不計(jì)，但對于灌注樁來說，樁身尺寸的不確定性與施工工藝、土質(zhì)條件及施工質(zhì)量等因素密切相關(guān)，其影響較預(yù)制樁大。由于場地土的埋藏條件一般都十分復(fù)雜，土層厚度的不確定性也非常復(fù)雜，應(yīng)根據(jù)勘察資料來估計(jì)其不確定性。（3）單樁承載力計(jì)算模式的不確定性計(jì)算模式的不確定性主要是指承載力計(jì)算所采用的基本假設(shè)和計(jì)算公式或計(jì)算方法不精確所

47、引起的計(jì)算值和真實(shí)值之間的差異?，F(xiàn)場靜載試驗(yàn)通常是在各種條件能較好控制的情況下進(jìn)行的，其測量結(jié)果通常是比較精確的，也就是說忽略靜載試驗(yàn)承載力測量值的不確定性是合理的。由于樁土相互作用機(jī)理的復(fù)雜性，除靜載試驗(yàn)法外，目前還沒有計(jì)算承載力的精確公式，在應(yīng)用其他估算方法時，原則上應(yīng)考慮單樁承載力計(jì)算模式的不確定性，而計(jì)算模式的不確定性通?？砂从?jì)算的承載力與實(shí)測承載力的比值來確定。樁的承載能力隨機(jī)變量的選取 從目前搜集的資料條件，主要考慮以下不確定性： 土質(zhì)參數(shù)的變異性可從實(shí)測的樁側(cè)摩阻力、端阻力或靜探曲線中分析統(tǒng)計(jì)。計(jì)算模式的不確定性用計(jì)算承載力與實(shí)測承載力的比值來確定。樁頂?shù)暮奢d效應(yīng)采用結(jié)構(gòu)荷載統(tǒng)計(jì)

48、資料。 土層厚度的不確定性、成樁過程對土層的影響等目前還難以作出定量分析。灌注樁的幾何尺寸，已有部分實(shí)測資料，但還不足以得出合理的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。目前一般將材料性能、成樁工藝和幾何尺寸的影響通過計(jì)算模式的變異性予以綜合考慮。2單樁承載力的可靠度分析 （1）抗力模型（按規(guī)范承載力表計(jì)算的方法）抗壓樁：抗拔樁：式中 Ac ，A 抗壓樁及抗拔樁場地承載力不定確性的隨機(jī)變量，根據(jù)試樁結(jié)果按場地進(jìn)行統(tǒng)計(jì)確定，即對同一場地內(nèi)的相同地質(zhì)、相同樁型條件的試樁資料進(jìn)行歸一化統(tǒng)計(jì)； Bc ，Bq 抗壓樁側(cè)阻力及端阻力計(jì)算模式不定性的隨機(jī)變量，為現(xiàn)場試樁值Ft 、qt 與規(guī)范計(jì)算值Fc 、qc;之比，即Bc = Ft/F

49、c ， B=q1/qc; B 抗拔樁計(jì)算模式不定性的隨機(jī)變量，為現(xiàn)場試樁與按規(guī)范計(jì)算值之比，即 B= Rt/Rc ； 樁側(cè)摩阻力折減系數(shù)的隨機(jī)變量，為抗拔樁總的極限側(cè)阻力F 與抗壓樁總的極限側(cè)阻力Fc 之比，即 = Fc/F； u樁的周長，定值； fi 樁側(cè)單位面積上的摩阻力，按規(guī)范計(jì)算； li 樁身在i層土的厚度，定值； q樁端土單位面積上的端阻力，按規(guī)范計(jì)算； A樁身截面積，定值； G樁的自重，定值； 式中的u，li ，A，G均近似地作為非隨機(jī)變量處理，即忽略幾何尺寸的不定性影響。當(dāng)確定場地承載力的不定性Ac ，A 困難時，也可略去不計(jì)，因?yàn)榭沽?R直接受Bc 、Bq 或B 所控制。 （2

50、）樁承載力可靠指標(biāo)的計(jì)算 樁承載力極限狀態(tài)方程為Z=g(R,s)=R-s=0式中 R，S 分別為樁的總抗力和總的荷載效應(yīng)；式中 SG 恒載產(chǎn)生的荷載效應(yīng)； SQi 第i種可變荷載產(chǎn)生的荷載效應(yīng)。 抗壓樁的極限狀態(tài)方程為 抗拔樁的極限狀態(tài)方程為 對隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)，下列研究結(jié)果可供參考： 根據(jù)國內(nèi) 41 根原型樁和 20 根模型樁的抗拔試樁資料統(tǒng)計(jì)分析，得出樁場地承載力的隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)為： A 的均值為1.0 ，變異系數(shù)為0.14 ，概率分布類型為對數(shù)正態(tài)分布?？拱螛队?jì)算模型的隨機(jī)變量B ，不同地區(qū)的影響無顯著性差異，其概率分布可以認(rèn)為服從對數(shù)正態(tài)分布，其均值為 1.22，變異系數(shù)為0.28從

51、抗壓樁來推求抗拔樁的側(cè)摩阻力折減系數(shù) ，黏性土與砂性土差別較大，其概率分布可以認(rèn)為服從對數(shù)正態(tài)分布；在黏性土中，其均值為0.735，變異系數(shù)為 0.17；在砂性土中，其均值為0.437，變異系數(shù)為0.21。 樁頂荷載效應(yīng)統(tǒng)計(jì)量的取用： 根據(jù)建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)（GB 50068-2001）和（鐵路工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，可設(shè)樁頂軸向荷載為永久荷載G和可變荷載Q。 對建筑結(jié)構(gòu)，永久荷載效應(yīng)G通常服從正態(tài)分布，變異系數(shù)G可取 0.07，可變荷載效應(yīng)Q通常服從極值I型分布，其變異系數(shù)G可取0.29。 對鐵路橋梁結(jié)構(gòu)，永久荷載G和可變荷載Q的概率統(tǒng)計(jì)特性綜合列在下表中。 例 2-7 上海 627 碼頭工程的地質(zhì)資料及樁的尺寸如圖所示，試用JC法求該抗拔樁承載力的可靠指標(biāo) 。 解：基本資料如下： 樁身自重抗拔樁的抗力模式 A、B 、 的取值如下：A ：均值 1.0，變異系數(shù) 0.14，標(biāo)準(zhǔn)方差 0.14，概率分布形式為對數(shù)正態(tài)； B ：均值1.22 ，變異系數(shù) 0.28，標(biāo)準(zhǔn)方差0.34 ，概率分布形式為對數(shù)正態(tài)； ：均值 0.735，變異系數(shù) 0.17，標(biāo)準(zhǔn)方差 0.125，概率分布形式為對數(shù)正態(tài)。 將R在均值處展成泰勒級數(shù)，取線性項(xiàng)，得近似均值及方差如下： 式中 當(dāng)不考慮A 變異性時，則 =