微分幾何練習題庫及答案

1、微積分幾何復習題本科第一部分：練習題庫及答案一、填空題(每題后面附有 關鍵詞;難易度；答題時長 )第一章61 .已知a (1,1, 1),b (1,0, 1),則這兩個向量的夾角的余弦cos =32 .已知a (0,1, 1),b (1,0, 1),求這兩個向量的向量積 a b (-1,-1,-1) .3 .過點P(1,1,1)且與向量a (1,0, 1)垂直的平面方程為 x-z=04.求兩平面1 : x y z0與 2 ： x y 2zx 1 y z 11的交線的對稱式方程為31211 / 195.計算 lim(3t1 2 1)it3jk 13i 8j k .6 .設 f(t) (sint)

2、i2tg(t) (t 1)i ej,求 ltimo(f(t) g(t) 07.已知r(u, v)(uv,uv,uv),其中 u t2,drv sint ,貝U(2t cost,2t cost,2vt ucost)dt 8.已知9.已知4r(t)dt2t2,則 d， dt61,2,3), r(t)dt4(a sincos 2at cos sin , asin sin 2at cos cos , acos )(2,1,2),求r(t)dt brdt(3, 9,5),其中 a (2,1,1), b (1,1,0)10.已知r (t)a ( a為常向量)，求r(t) ta c已知r (t)12.已知f

3、 (t)(2 t)j (log t)k , g(t) (sin t)i (cost)j , t4 d0,則 一(f g)dt 2 6cos4 . o dt、第二章13.曲線 r(t)(2t,t3,et)在任意點的切向量為(2,3t2,et)14.曲線 r(t)(acosht,asinh t, at)在 t 0點的切向量為(0, a, a)15.曲線 r(t)(acost,asint,bt)在t 0點的切向量為(0,a,b)1y -t2, ,、一 x e 7 e16.設有曲線C :xt,z t25.正螺面r(u,v) (ucosv,usinv,bv)的平均曲率為 0.(正螺面、第一基本量、第二基

4、本量；中； 3分鐘) 2.26.萬向(d) du : dv是漸近萬向的充要條件是n(d) 0支Ldu 2Mdudv Ndv 0§u：W 共軻的充要條件是 II (dr, &) 0或 Ldu u M (du cv dv §u) Ndv v 0E LF M28.函數(shù)是主曲率的充要條件是0F MG NEdu Fdv Ldu Mdv 29.方向(d) du :dv是主方向的充要條件是0Fdu Gdv Mdu Ndv30.根據(jù)羅德里格定理，如果方向(d) (du:dv)是主方向，則dn ndr ,其中n是注方向的法曲率31.旋轉極小曲面是平面一或懸鏈面第四章32 .高斯方程是

5、rij鼠 Ljn_i,j 1,2,魏因加爾吞方程為niLikgkjri - i, j 1,2kj ,k,當t 1時的切線方程為 e e 117 .設有曲線x et cost, yet sin t, z S，當t0時的切線方程為 x 1第三章18 .設rr(u,v)為曲面的參數(shù)表示，如果 ru入 0 ,則稱參數(shù)曲面是正則的；如果 r:G r(G)是 一一的 ，則稱參數(shù)曲面是簡單的.19 .如果u 曲線族和v曲線族處處不相切，則稱相應的坐標網為正規(guī)坐標網 .(坐標網；易;3分鐘)20 .平面r (u, v) (u,v,0)的第一基本形式為 du2 dv2,面積元為dudv2221 .懸鏈面 r(u

6、, v) (cosh ucosv,cosh usin v,u)的第類基本重是 E cosh u,F 0G cosh u_222 .曲面zaxy上坐標曲線 xXo, yy0的交角的余弦值是 ax0y0.(1 a . )(1 a y。)2, 2. 2、 . 223 .正螺面 r (u, v) (u cosv,u sin v, bv)的第一基本形式是 du (u b )dv .24 .雙 曲拋物面 r(u,v) (a(uv),b(u v),2uv) 的 第一基 本 形 式 是222222222227.兩個方向(d) du:dv和(S)(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv (a2 b2

7、4u2)dv233 . gj 用 gj 表示為(gj )1 g22det(gj)gi2gl2g1i35.222g, n之間的關系是g n34 .測地曲率的幾何意義是曲面 S上的曲線（C）有_P點的測地曲率的絕對值等于（C）有_P_點的切平面 _上的正投影曲 線（C ）的曲率36.如果曲面上存在直線，則此直線的測地曲率為 037.測地線的方程為d2ukds2k dui duj ij ds ds0,k 1,2k38.高斯-波涅公式為Kd ? gds (i) 2GGi 139.如果 G是由測地線組成，則高斯-波涅公式為KdG、單選題第一章40.已知a （ 1,0, 1）, b （1,2, 1）,則這

8、兩個向量的內積 ab為（C）.（內積；易；2分鐘）A 2B 1C 0D 141.求過點P（1,1,1）且與向量a （ 1,0, 1）平行的直線l的方程是（ A ）.（直線方程；易；2分鐘）x zAy 1C x 1 y z 1x 1yB -z123D x yz 142.已知 a (1,1, 1),b (1,0, 1),c (1,1,1),則混合積為(A 2B 1C 1D 2D ）.（混合積；較易；2分鐘）43.已知 r(t)(eMt,e t),則 r (0)為(a）.（導數(shù)；易；2分鐘）A (1,0,1)C (0,1,1)44.已知 r (t) r(t),B （-1,0,1）D （1,0, -

9、1 ）為常數(shù)，則代）為（C ）.（導數(shù)；易；2分鐘）A ta b a ce ta上述a為常向量.45.已知 r(x, y) (x,y,xy),求 dr(1,2)為(Dd e a（微分；較易；2分鐘）A (dx,dy,dx 2dy)B (dx dy,dx dy,0)第二章46 .圓柱螺線r （cost,sin t,t）的切線與z軸（C ）.（螺線、切向量、夾角；較易、 2分鐘）A 平行B 垂直C有固定夾角_4D 有固定夾角一347 .設有平面曲線 C:r r（s）, s為自然參數(shù),% B是曲線的基本向量.下列敘述 錯誤的是（C ）.Aa為單位向量C & B48 .直線的曲率為（B ）.（

10、曲率；易；2分鐘）ATB 0Cl49 .關于平面曲線的曲率 C: r r（s）不正確的是（D ）.（伏雷內公式；較易;2分鐘）A (s)&(s)B (s)&(s),為 a(s)的旋轉角c (s) a &D (s) | 6(s)|50 .對于平面曲線，“曲率恒等于0”是“曲線是直線”的（D ）.（曲率；易；2分鐘）A充分不必要條件C既不充分也不必要條件必要不充分條件充要條件51 .下列論述不正確的是（D（基本向量；易；2分鐘）Aa, R 丫均為單位向量B0cBC0 丫Da/ 052 .對于空間曲線C,“曲率為零”是“曲線是直線”的（ D）.（曲率；易；2分鐘）A充分不必要

11、條件B必要不充分條件C既不充分也不必要條件D充要條件53 .對于空間曲線 C, “撓率為零”是“曲線是直線”的（ D ）.（撓率；易；2分鐘）A充分不必要條件B必要不充分條件C既不充分也不必要條件D充要條件54 . x a（t sin t）, y a（1 cost）, z 4asin 士 在點 t 的切線與 z 軸關系為（ D ）.22A 垂直B 平行C 成一的角D 成一的角34第三章222, x y z55 .橢球面 1的參數(shù)表不為(C ).(參數(shù)表不；易；2分鐘) a b cA (x,y,z) (cos cos ,cos sin ,sin )B (x, y,z) (acos cos , b

12、cos sin ,sin )C (x,y,z) (a cos cos , bcos sin ,csin ) D (x, y, z) (acos cos ,bsin cos , csin 2 ) 222 xy z56 .以下為單葉雙曲面 1的參數(shù)表本的是(D).(參數(shù)表不；易；2分鐘)a b cA (x, y,z) (a coshu sin v,bcosh ucosv,sinh u)B (x, y, z) (cosh ucosv,cosh usin v,sinh u)C (x, y,z) (asinh u cosv,bsinh u sin v, ccoshu)D (x, y, z) (acosh

13、 ucosv,bcoshusin v, csinh u)222 xy z 一 .57.以下為雙葉雙曲面 J -21的參數(shù)表本的是(A ).(參數(shù)表不；易；2分鐘)a b cA (x, y,z) (asinh u cosv,bsinh u sin v, ccoshu) B (x, y, z) (acoshucosv,bsinh u sin v,ccoshu)C (x, y, z) (a cosh u cosv, b cosh u sin v, csinh u) D (x, y, z) (cosh ucosv,cosh usinv,sinh u)2258.以下為橢圓拋物面 二 冬 2z的參數(shù)表示的

14、是(B ).(參數(shù)表示；易；2分鐘) a b22A (x, y,z) (u cosv, u sinv,)b (x, y, z) (au cosv, busin v,)222C (x, y,z) (au coshv,bu sinh v,)d (x, y, z) (acosv, bsin v,v)22259.以下為雙曲拋物面與 2z的參數(shù)表示的是（C ）.（參數(shù)表示；易；2分鐘） a bA (x, y,z) (a coshu,bsinh u, u) B (x, y, z) (coshu,sinh u,u)D (x,y,z) (au,bv,u v)C (x,y,z) (a(u v),b(u v),2

15、 uv)，一22 33、 .、_一，. 一_.、一 一60.曲面 r (u, v)2分鐘）（2u v,u v ,u v ）在點M （3,5,7）的切平面萬程為（B ）.（切平面萬程；易;A 21x 3y 5z 20 0B 18x 3y 4z 41 0C 7x 5y 6z 18 0D 18x 5y 3z 16 061.球面r(u,v) (Rcosucosv,Rcosusin v, Rsinu)的第一基本形式為(D ).(第一基本形式；中；2分鐘) _2222_2222A R (du sin udv )B R (du cosh udv )2222C R (du sinh udv )2222D R

16、(du cos udv )62正圓柱面r（u,v） （Rcosv, Rsinv,u） 的第一基本形式為（C） （第一基本形式；中；2 分鐘）A du2 dv2 B du2 dv2C du2 R2dv2D du2 R2dv222263 .在第一基本形式為I（du,dv） du sinh udv的曲面上，方程為 u v（v1 v v2）的曲線段的弧長為（B ） .（弧長；中；2 分鐘）A cosh v2 cosh v1B sinh v2 sinh v1C cosh v1 coshv2D sinh v1 sinh v23264 .設M為R中的2維C正則曲面，則 M的參數(shù)曲線網為正交曲線網的充要條件是

17、（ B）.A E 0B F 0C G 0D M 065以下正確的是（D） （魏因加爾吞變換；較易；2 分鐘）A dn W（dr）B dn W（dru）C dnu W （drv）D dn W （dr）66以下正確的是（C） （魏因加爾吞變換；較易；2 分鐘）A I(dr,W(&) II (dr, r) B I(dr,W(&) I(W(&),dr)Cl(dr,W(*) I(W(dr),&) Dl(dr,W(Sr)II (W(dr), rr)67以下正確的是（A） （魏因加爾吞變換；較易；2 分鐘）A I(dr,W( Sr)II (dr, rr)B I(dr,W(&a

18、mp;) II (W(dr), &)C I(dr,W(§r)I(W(dr), &) D II (dr,W)II (W(dr), &)68高斯曲率為常數(shù)的的曲面叫（C ） （高斯曲率；易；2 分鐘）A 極小曲面B 球面C 常高斯曲率曲面D 平面 第四章B 69 gij gji （第一基本形式；易；2 分鐘）i,jA 1B 2C 0 D -1B 70 gkj lj （第一基本形式；易；2 分鐘）A gkjB gklC gki D gij.（克氏符號；較易;2分鐘）i ki, gn2g %gji uigj) ui ki/ gn5 g (gji uigj) ui ki

19、, gii2g (Fgjiuigj) uklgiiu jgji uigj) u72.曲面上直線（如果有的話）的測地曲率等于73.當參數(shù)曲線構成正交網時,u-曲線的測地曲率為.（劉維爾定理、測地曲率;4分鐘）i In EA 2、E ui In GC 2vE vIn E2.G vi In E2 G u74.如果測地線同時為漸進線，則它必為.（測地曲率、法曲率、曲率；中； 2分鐘）A直線B平面曲線C拋物線D圓柱螺線75.在偽球面（Ki）上,任何測地三角形的內角之和.（高斯-波涅定理；中；4分鐘）B小于D不能確定三、多選題第一章76.若 ri(t)(X ，yi，Zi(t), ii,2,3為向量函數(shù)，則

20、下列論述正確的是（ AD ） .（導數(shù)；易;4分鐘）1由,yi(t),zi(t)i(x), yi(t),z1(t)(xi(t),yi(t),z1(t) (xi(t),yi(t),zi(t)(ri(t),r2(t),3(t)(ri(t),r2(t),3(t)(ri(t),r2(t),3(t)(ri(t),r2(t),3(t) (ri(t),r2(t),3(t)(ri(t),r2(t),3(t)(ri(t),r2(t),3(t)(ri(t),r2(t),3(t)77.m,n為常向量，r（t）為向量函數(shù)，則下述正確的是（ABC（積分的性質；中；4分鐘）bbm r(t)dt m r(t)dtr(t)d

21、tbr(t)dtac (m,n,r(t)dt (m n) r(t)dt d (m,n,r(t)dt (m n) r(t)dt82.正螺面 r (u cosv, usin v,av)的(AC（切平面、法線；中；4分鐘）13 / 19br(t)dtabe (m,n,r(t)dt (m n)a第二章78.下列曲線中為正則曲線的有（ACDE。（曲線的概念;易；4分鐘）.3A r(x) (x,x ) , x (,)C r(x) (x2,x3), x (0,)_, 、， 2 3、，、Br(x)(x , x ), x (,)D r (x) (cosx, x) , x (,) E r (x) (x, x) ,

22、 x ( 1,2)79.下列曲線中是正則曲線的有（ABCDE。（曲線的概念；易；4分鐘）A r (cost,sin t,t),t (,)Br(sin 3t,3t,0) ,t(,)2cr(cost,cos t,sint),t(,)Dr(cost,1 costsin t,sin t),t(,)22E r (2sin t, 2sin ttan t,t) ,t (,)80.下列式子正確的是（ABCE.（伏雷內公式；中；4分鐘）A 丫 a 0C &k atE &/3.第三章一一33,81.曲面z x y在點M (1,2,9)的B & aD &0（AD ）.（切平面、法線；

23、中；4分鐘）A切平面方程為3x 12y z 18 0B切平面方程為3x 14y z 8 0C法線方程為D法線方程為E法線方程為x 13x 13x 14一12y 212y 212z 91z 91z 91A 切平面方程為 xasinv yacosv zu auv 0B切平面方程為 xasin uya cosu zv auvC切平面方程為xasin uyacosu zv auv，x u cosvD法線萬程為a sin v，x u cosvE法線萬程為a sin uy usin v z ava cosv uy usinv z ava cosu83.下列二次形式中,ABD ）不能作為曲面的第一基本形式.

24、（第一基本形式；易；4分鐘）I (du,dv)du24dudvdv2I (du,dv)du24d udv4dv2I (du,dv)du24dudv6dv2I (du,dv)du24dudv2dv2I (du,dv)du24dudv5dv284. 一般螺面 r(u,v) (u cosv,u sin v, f (u)av）的第一類基本量是（BCD）.（第一基本量；易;4分鐘）-2(f(u)-21 (f (u)af(u)85.下列曲面中,(BCD )是旋轉常高斯曲率曲面.（常高斯曲率曲面；易；4分鐘）A正螺面第四章B 平面C 球面 D 圓柱面 E 懸鏈面ABC86.對于曲面上的正交坐標網，測地曲率（

25、設曲線的切方向與ru的夾角為ddsEvGucos .一sin 2E G 2G . Edds1 ln E=cos2、G1lnG .=sin2、E uds da cosgugvsindsgusingvcos31 / 19匚d一E g cosg sindsgugv87.曲面上的曲線是測地線的充分必要條件是ABCD (測地線的概念；中；4分鐘)d2uk k du1 dujA滿足方程一廠ij0的曲線ds25 j ds dsB滿足g 0的曲線C除了曲率為零的點外，曲線的主法線重合于曲面的法線D滿足 0的曲線E滿足n 0的曲線四、敘述題第三章3 .一.388 .曲面。解設G是初等區(qū)域，S R ,如果存在一個

26、連續(xù)一一映射r:G R使得r(G) S,則稱S是一張曲面，而r r(x)叫S的參數(shù)表示.89 .坐標曲線?！窘狻壳鍿:r r(u,v),(u,v) G, r(u,v0)的像叫u 曲線，r(u0,v)的像叫v 曲線，u 曲線和v 曲線都叫坐標曲線.2290 .第一基本形式?！窘狻糠Q二次型I (du,dv) Edu 2Fdudv Gdv (其中E好九，F(xiàn) "、，G )為 曲面的第一基本形式.而 E、F、G叫曲面的第一類基本量.91 .內蘊量?！窘狻坑汕娴牡谝活惢玖克鶝Q定的量叫曲面的內蘊量.92 .第二基本形式?！窘狻糠Q二次型 II (du,dv) Ldu2 2Mdudv Ndv2

27、(其中 L ruu n , M ruv n , N rvv n )為曲面的第二基本形式.而L , M , N為曲面的第二類基本量.293 .【解】若在P點有LN M 2 0 ,則稱P點為曲面的橢圓點.94 .法曲率?！窘狻拷o定曲面 S上一點P處的一 個切向量(d) du:dv,則P點沿方向(d)的法曲率 定義為n(d) II (dr,d r) / I(dr,d r).95 .主曲率?！窘狻渴狗ㄇ蕁(d)達到極值的方向叫曲面在該點的主方向，而主方向的法曲率叫該點的主曲率.96 .高斯曲率。【解】曲面的兩個主曲率之積K 1 2叫曲面的高斯曲率.97 .極小曲面?！窘狻科骄蔋 0的曲面叫極小曲

28、面.五、計算題第二章98 .求旋輪線x a(t sint), y a(1 cost)的0 t 2 一段的弧長.(弧長；中；5分鐘)【解】旋輪線r (t) (a(tsin t), a(1cost)的切向量為 r (t) (a acost,asin t),則它的 0 t2 一段的弧長為:2s r (t) dt02V2aV1COS7dt 8 a .o99.求曲線 x tsin t, ytcost,z tet在原點的切向量、主法向量、副法向量.(基本向量；中；10分鐘【解】由題意知r (t) (sint tcost,cost tsint,et tet),r (t) (2cost tsin t, 2si

29、n t t cost, 2et tet),在原點時有又所以有r (0) (0,1,1),r (0) (2,0,2)。(r ,r )r (r ,r )r r r，Y r r rr r100.圓柱螺線為r(t)(acost, asint,bt)。(基本向量、曲率、撓率；中;15分鐘)求基本向量oc, B, 丫；求曲率和撓率 ；【解】由題意有r (t) ( asin t,acost,b), y (t) ( a cost, asint,0), r又由公式 a,r(r r )r (r r )r, Yr r r由一般參數(shù)的曲率公式第三章1(asin t, a cost, b), a2 b2B ( cost

30、, sint,0),122 (bsint, bcost, a)., a b(t)-一3一及撓率公式(t) (r ,r ,r2)有rr r2,2a b101.求正螺面r(u,v) (u cosv, usin v, bv)的切平面和法線方程.(切平面、法線；中；5分鐘)【解】ru(cosv,sin v,0) , rv ( u sin v,u cosv,b),切平面方程為cosvsin v00usin vu cosvb法線方程為x ucosvy u sin vbsin vb cosvx u cosv y usin v z bvz bvubsin v x bcosu y uz buv 0,102.求球

31、面r( , ) (acos cos ,acos sin , asin )上任一點處的切平面與法線方程. 【解】r(asin cos , asin sin , a cos ),r( a cos sin , a cos cos ,0),ee2Qr rasincosasinsinacosacossina coscos02 a cos(coscos,cossin ,sin )球面上任意點的切平面方程為(x a cos cos , y a cos sin , z asin )2a cos ( cos cos , cos sin , sin ) 0,即 cos cos x cos sin y sin z

32、a 0,法線方程為(x a cos cos , y acos sin , z asin )2a cos ( cos cos , cos sin , sin ),即 x a cos cos y acos sin z a sincos coscos sinsin103.求旋轉拋物面 z a(x 2Gryry14a y,I (dx,dy) (1 4a2x2)dx2 8a2xydxdy (1 4a2y2)dy2 .104.求正螺面r(u,v) (u cosv, usin v, bv)的第一基本形式.(第一基本形式；中； 5分鐘)y2)的第一基本形式.(第一基本形式；中；5分鐘)【解】參數(shù)表示為r (x

33、, y)(x, y,a(x2 y2),rx (1,0,2ax), ry(0,1,2ay),2 22Erxrx14a x, F rx ry4a xy,【解】n (cosv,sin v,0) , rv ( u sin v,u cosv,b),2/ L2Z"_21- 2Eru ru1 , F " % 0 , G 1 入 u b ,2222I (du,d v) du (u b )dv .105 .計算正螺面r (u, v) (u cosv,u sin v, bv)的第一、第二基本量.(第一基本形式、第二基本形式；中； 15分鐘)【解】ru(cosv,sin v,0) , rv (

34、u sin v,u cosv,b),ruu(0,0,0) , ruv ( sinv,cosv,0) , rvv ( u cosv, usinv,0),ru rvi j kcosvsin v 0(bsinv, b cosv,u),usin v ucosv bru rv(bsin v, bcosv,u)ru rv |. b2 u221 2E ru ru 1 , F ru rv0, Grv rvu b ,L ruu n 0 , M j n,b2-u2 22(高斯曲率、平均曲率；中； 15分鐘)106 .計算拋物面z x y的圖斯曲率和平均曲率.【解】設拋物面的參數(shù)表示為r (x, y) (x, y,

35、 x2 y2),則rx (1,0,2x), ry (0,1,2y),rxx (0,0,2), rxy ryx (0,0,0) ,(0,0,2),i j krx ry 1 0 2x ( 2x, 2y,1), 0 1 2yrxry|rx ry|(2x, 2y,1) .4x2 4y2 122E rx rx 1 4x , F 葭 ry 4xy, G ry ry 1 4y ,2L rxx n, M rxy n 0,xx22xy'4x 4y 12,4x2 4y2 1222 0K LN M4x2 4y2 1EG F2(1 4x2)(1 4y2) (4xy)2(4x2422 ，4y2 1)21 GL

36、2FM H EG FEN4x2 4y2 223(4x2 4y2 1)2107 .計算正螺面r(u, v)(u cosv, u sin v, bv)的高斯曲率（高斯曲率；中；15分鐘）【解】直接計算知E 1, F0, GM.a,u2一，N 0,2 a第四章108.求位于正螺面 x2a2(u aucosv, y率.（測地曲率、劉維爾定理；中;【解】因為正螺面的第一基本形式為正交網的坐標曲線的測地曲率得)2u sin v, z15分)I du2av上的圓柱螺線x u0 cosv, yu0sin v, z av （u0=常數(shù)）的測地曲(u2a2）dv2,螺旋線是正螺面的.一, 一 d 一 .v-曲線u

37、 u0,由 一得 0 .由2 dsGu_2G EUo22Uoa六、證明題第二章109 .證明曲線r （etcost,etsint,0）的切向量與曲線的位置向量成定角.（切向量、夾角；較易； 5分鐘）【證】對曲線上任意一點，曲線的位置向量為r（et cost, et sin t,0）,該點切線的切向量為：r(et (cost sin t), et(sin t cost),0),貝U有:cose2t222 2et et2故夾角為一。由所取點的任意性可知，該曲線與曲線的切向量成定角. 4（曲率；中；10分鐘）110 .證明：若r和r對一切t線性相關，則曲線是直線.【證明】若r和r對一切線性相關，則存

38、在恒不同時為0 的 f(t),g(t)使f(t)r (t) g(t)r (t) 0。r (t) r 0 tot O于是該曲線是直線.r r _又(t)3-,故 k(t) 0 r111 .證明圓柱螺線 x a cost, y a sin t, z bt的主法線和z軸垂直相交.(主法線、夾角；中；10分鐘)【證明】由題意有r (t) ( asin t, acost, b), r (t) ( a cost, a sin t,0) °由 0 (r ,r )r(r 'r )r 知 B ( cost, sint,0)。另一方面 z軸的方向向量為 a (0,0,1),而 a 0 0,故 a

39、 0, r r r即主法線與z軸垂直.、一一一，. 2，112 .證明曲線x asin t,y asintcost,z a cost的所有法平面皆通過坐標原點.(法平面；較易；5分鐘)【證明】由題意可得 r (t) (asin 2t,acos2t, asint),則任意點的法平面為2 ,asin2t0(x asin t0) acos2t0(y asint0cost0) asint0(z acost0) 0將點(0,0,0)代入上述萬程有2 ,a sin 2t0(0 a sin t°) acos2t0(0左邊asint0 cost0) asin t0 (0 a cost。) 0 右邊，

40、故結論成立.、八1 t1113.證明曲線x , y 2, z1 t 1 t1 t 11【證明】設A- B C 1 t 1 t21 t 為平面曲線，并建立曲線所在平面的方程。1 tD 0 ,整理比較兩邊同次項可得(撓率；中；10分鐘)A D 0,2A C 0, A B C D 0,則有A D, B 4D,C 2D,即曲線為直線，且有 x 4y 2z 1 0.第三章114.求證正螺面上的坐標曲線(即 U 曲線族V曲線族)互相垂直.(坐標曲線、夾角；5分鐘)【證明】設正螺面的參數(shù)表示是r(u,v) (ucosv, usin v,bv),貝Uru (cosv,sin v,0) , rv( u sin

41、v,u cosv, b),ru rv (cosv,sin v,0) ( usin v,u cosv, b) 0 ,故正螺面上的坐標曲線互相垂直.115.證明馬鞍面z xy上所有點都是雙曲點.(點的分類、第二基本量；中； 15分鐘)【證明】參數(shù)表示為r (x, y) (x, y, xy),則rx (1,0, y) , ry(0,1,x), rxx (0,0,0),rxy (0,0,1) , ryy (0,0,0),rxry(y, x,i),rxIrxry ( y, x,1)L rxxrxy1y1 2 1r yy0,LN故馬鞍面z xy上所有點都是雙曲點.116.如果曲面上某點的第一與第二基本形式

42、成比例，即II (du,dv)與方向無關,則稱該點是曲面的臍點；如果曲面上I (du,d v)(臍點；難;15分鐘)所有點都是臍點，則稱曲面是全臍的.試證球面是全臍的.【證明】設球面的參數(shù)表示為r(u,v) (Rcosvcosu, Rcosvsin u, Rsin v),貝Uru ( Rcosvsin u, Rcosvcosu,0),rv ( Rsinvcosu, Rsin vsin u, Rcosv),ruu( Rcosvcosu, Rcosvsin u,0),ruv rvu (Rsin vsin u, Rsinvcosu,。),rvv ( Rcosvcosu, Rcosvsin u, Rs

43、in v),222E ru ru R cos v , F ru rv 0, G rv rv R ,(ru,rv,ruu)EG F22Rcos v ， M(ru,rv,ruv),EG F20,(ru, rv,rvv)-EG F2R,(L,M,N)L rxx n0, Mrxy n 0, N % n 0(L,M,N)0(E, F,G),故平面是全臍的.118.設有曲面f (x, y),試證曲面的第二基本形式與函數(shù)f (x, y)的二階微分成比例.(第二基本形式；較難；10分鐘)【證明】設曲面f(x, y)的參數(shù)表示為 r(x, y) (x, y, f (x, y),則rx(IQ fx),ry(0,1, fy), rxx(0,0, fxx), rxy(0,0, fxy) , r yy (0,0, fyy) ,rxryrxx(fx,fy,1)，rx ry|rx ry |(fx, fy,1)22)fx fy 1fxx22fx fy 1rxyf xy22，f 2 f 2 11 x yf yy22f 2 f 2 1x yII1(dr,dr).fx2 fy2(fxxdx212、2 fxydxdy fyydy ).119.證明曲面x y z3的所有點為拋物點.(點的分類、第二基本量；中； 15分鐘)1/