高中數(shù)學(xué)職稱論文中學(xué)數(shù)學(xué)職稱論文：從一道職考題看高中數(shù)學(xué)教師學(xué)與教的缺憾

1、高中數(shù)學(xué)職稱論文中學(xué)數(shù)學(xué)職稱論文:從一道職考題看高中數(shù)學(xué)教師學(xué)與教的缺憾上海市 2008 年高中數(shù)學(xué)教師晉升高級(jí)職稱考試試題中有這樣一道題 :已知 ,(3為銳角.(1)求證:sin % +sin B 半 sin( % + B )；(2)若 sin2 % +sin2 B =sin( % + B ),求證： + B =兀 2.參加考試的都是從教十年以上的數(shù)學(xué)教師,許多還是各校、區(qū)的中青年骨干,但對(duì)這道題的解答卻不容樂觀.許多教師能較好地解答第(1)問 ,不能完整地解答第(2)問 .這里我們從大部分教師的解題失敗出發(fā) ,找出失敗的原因, 逐步分析出正確的解法,與大家共同經(jīng)歷一個(gè)思維的過程,并以小見大

2、地分析教師在解題學(xué)習(xí)與教學(xué)中的缺憾.一、教師學(xué)的缺失首先,大部分教師能用反證法,結(jié)合和差化積知識(shí)證明第(1)問:(1 )反設(shè):sin % +sin B =sin( % + B ),則2sin % + B 2cos 2=2sin % + B 2cos又 + Bp2£ (0,兀 2),+ + B 2 6 (0，兀 2), % - B 2 6 (-兀 4,兀 4), + B 2=- % - B 2,或 + B 2= % - B 2,. % =0 或 B =0 與 , B 6 (0,兀 2)矛盾.sin a +sin B 半 sin( % + B ).對(duì)第 (2)問也延續(xù)第(1)問的方法,處

3、理成:1-cos2 % 2+-Cos2 B 2=sin( % + (3 ), 即 1-cos(a + B )cos( a - B ) =sin( % + B ).發(fā)現(xiàn)不能消去 -B和1,無法求得 +B的三角函數(shù)值，或使式子 變得單純,證明陷入困境.很多人無法調(diào)整,又不能回頭追尋新的方法,結(jié)果無功而返.1. 缺乏解題分析的自覺性上述過程中,問題(2)沒有解決,也很少有教師能自覺地分析自身解題的成敗得失,吸取教訓(xùn),挖掘有利因素,逐步向目標(biāo)靠攏.事實(shí)上,事物往往具有兩面性，我們不能消去 - (3,就應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步注意結(jié)論中的“1”，聯(lián)想sin(% + B)的有界性，向目標(biāo)靠近一大步.思路 1 由 sin

4、( % + B ) w 1,得 cos( % + B )cos( % - B ) n。，又 X + B 6(0,兀), - B 6 (-兀 2,兀 2),cos(% + B ) A0,故 0< % + B w 兀 2.這樣， + B的范圍變小了，由兀2聯(lián)想把正、余弦互換，進(jìn)一步控制 范圍，使問題得證：由0<%w兀2-3<兀2,得0<sin % < cos 3 ;同理,0<sin B < cos% .sin2 % +sin2 B w sin % cosB +cos % sin B =sin( % + B),當(dāng)且僅當(dāng) sin%=cos3 ,sin(3=co

5、s%時(shí)，等號(hào)成立. + B =兀 2.這個(gè)方法雖千回百轉(zhuǎn),但抓住失敗的原因,突出其他有利因素,成功地完成了證明.從教師的解題失敗中,我們明顯地感覺到,這些教師很大程度上仍停留在對(duì)題型的簡單記憶和方法模仿上,思維的慣性太大,缺乏對(duì)解題過程的自覺評(píng)估、有意監(jiān)控,尤其是對(duì)不利、有利因素的全面分析,解題僅是一個(gè)“記流水賬”的過程 .上述方法最關(guān)鍵的是，將范圍縮小到0< % + (3 0兀2,然后正、余弦互換 ,成功地完成了不等式放縮.抓住了這個(gè)關(guān)鍵,我們可以省去前面的解題回路,得到更為簡潔的方法.請(qǐng)看:思路2反設(shè)0< % + B <兀2,或 + B >兀2,與思路1后面一樣分別

6、可得 :sin2 % +sin2 B <sin( % + B ),sin2 % +軻尚題謂語循. + B =兀 2.2 . 缺乏對(duì)反證法的全面認(rèn)識(shí)第 (1)問的結(jié)論以否定形式出現(xiàn),教師都想到了反證法,證明奏效了.第 (2) 問以肯定的形式出現(xiàn),反證法意識(shí)明顯弱化. 反證法往往是正面證明有困難時(shí)更需要想到的,我們常謂“正難則反”就是這個(gè)道理.現(xiàn)在(2)的正面突破有困難,你為什么不“反”呢?一反就很容易形成上面的思路2 了 .其實(shí) ,結(jié)論中也有解題信息.對(duì)于(1)我們也不要因?yàn)榉穸ㄐ问骄鸵欢ㄓ梅醋C法,從正面思考,自然會(huì)問:不等!那是 “恒大于?” “恒小于?”抑或“時(shí)大時(shí)小 ?” .如果是“

7、恒大于”或“恒小于”直接證明也許更簡單.于是產(chǎn)生:思路 3 (1) : ,B 6 (0,兀2),0<cos% ,cos3 <1,sin a +sin B >sin % cos B +cos % sin B =sin( % + B )，顯然 sin % +sinB 半 sin( % + B ).這個(gè)過程對(duì)問題(2)的方法暗示程度更高,更有借鑒的價(jià)值!可見 ,大部分教師對(duì)反證法的理解也只停留在語言形式的表象上,沒有從結(jié)論的本質(zhì)上去認(rèn)識(shí)反證法.3 .缺乏對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的辯證思考數(shù)學(xué)對(duì)象的深刻認(rèn)識(shí),就建立在對(duì)其多角度的觀察上,是辯證思考的結(jié)果.證明的開始,大家就陷入了習(xí)慣思維的窠臼,都只

8、想從繁到簡,從左到右,一個(gè)勁地埋頭向右,連抬頭看左的時(shí)間都沒有.其實(shí),誰都明白對(duì)一個(gè)公式(比較重要的等式)就有正用、逆用,證明也常從左到右、從右到左或左右開弓.對(duì)這個(gè)問題,如果我們辯證地處理,從右向左,很容易想到解題目標(biāo)和放縮法,方法顯得更加統(tǒng)一、自然.思路4 將思路3倒過來書寫即可.(2)sin( % + B )=sin % cos(3 +cosa sin B ,要等于 sin2a +sin23,顯然要比較 sin % 與 cos 3 ,sin3 與 cos%的大小.化同名后，就發(fā)現(xiàn)要比較與兀2- B的大小，這樣就很自 然地形成了反證法思路2 或與之相仿的正面討論.4 .缺乏數(shù)形溝通的能力許

9、多教師也試圖從幾何圖形上給出(2)的證明，但只知道把角0c和 B放在同一個(gè)三角形中，利用補(bǔ)角兀-(% + B )形成sin( % + B )，沒能夠挖 掘 (2)所蘊(yùn)涵的代數(shù)結(jié)構(gòu)與幾何結(jié)構(gòu)的關(guān)系,解題同樣未能奏效.參照“結(jié)論(% + (3 =兀2)中的解題信息”，則的條件滿足sin2 0c +sin2 (3 =sin( % + B ) =sin2( % + B )，是勾股定理(余弦定理)結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到構(gòu)造的 圖形不僅應(yīng)考慮到角，出現(xiàn) , B , % + B，也要考慮邊，出現(xiàn)sin % ,sin B ,sin(口 + B )，利用單位圓或斜邊長為1的直角三角形，就容易構(gòu)造出如下的幾何方法.思路 5

10、 如右圖，OA =1,/ACO =/ABO =90 ，則 AB=sin % ,AC =sin (3，且O,B,A,C四點(diǎn)在以O(shè)A為直徑的圓上. BC =2Rsin( % + B ) =sin( a +A ABC 中，由余弦定理，得 sin2( % + B ) =sin2 % +sin2 B +2sin % sin B cos( % + B ), sin2( a + B ) =sin( % + B )+2sin % sin B cos(% + B ), 2sin% sin B cos(% + B ) =sin( % + B )sin( % + B )-1 w 0, cos( % + B ) w

11、0.在 OBC 中，由余弦定理，得 sin2( a + B 尸cos2 % +2cs2 庫 cos B cos( %-+in()=2 + B )-2cos a cos B cos( % + (3 ), 2cos% cos3 cos(a + B ) =2-sin( % + B )-sin2( a + 3 )>0,cos(a + B ) >0.cos(a + B ) =0,即得 + + B =兀 2.在AABC中的一個(gè)附帶結(jié)論就是sin %+sin B >sin( % + B ),這個(gè)圖 形能將問統(tǒng)一在一起，進(jìn)一步說明以sin % ,sin (3 ,sin( % + B )為邊

12、的構(gòu)造是明智的選擇.二、教師教的遺憾我們一直追求教學(xué)相長.尤其在新課程建設(shè)的今天,更應(yīng)當(dāng)突出學(xué)習(xí)能力的提高,學(xué)習(xí)自覺性的提升.教師自身在解題學(xué)習(xí)中的淺嘗輒止必然會(huì)表現(xiàn)在課堂教學(xué)中,上述問題的解決也反映教師在教學(xué)方面有許多值得改進(jìn)的地方.1 . 對(duì)教材深度閱讀的遺憾在兩角和與差的三角函數(shù)一節(jié)中,每個(gè)版本的教材都有類似于 (1)的問題 ,像人教社的大綱教材高一數(shù)學(xué)(下 )第38頁 ,課標(biāo)教材人教A版必修第139頁，北師大版必修第127頁，蘇教版必修第101頁都有，上海教師用的新課標(biāo)滬教版數(shù)學(xué)高一 第二學(xué)期第 51 頁旁白有：“一般地,sin( % + (3 )#sin % +sin B ,cos(

13、%+ B )?cos% +cosB :'遺憾的是現(xiàn)在大部分教師對(duì)教材的重視仍然不夠 ,尤其是有一定教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師,更容易陷入經(jīng)驗(yàn)主義的“想當(dāng)然”.他們認(rèn)為,依教材無法應(yīng)對(duì)高考,急功近利,盲目地堆砌題目.事實(shí)上,近年的高考特別注重“雙基”的考查,區(qū)分度較大的壓軸題的方法也多蘊(yùn)藏在書本的例、習(xí)題中 ,上海試題的表現(xiàn)尤甚.課本既然說“一般地”:,那么有沒有“特殊地”,特殊在哪?如何證明?怎樣的證明更本質(zhì)?相信善于深入研究的教師,在教這段內(nèi)容的時(shí)候很容易得到較為簡潔的思路 3.2 .對(duì)提出新問題教學(xué)的遺憾問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的驅(qū)動(dòng)力,是教師吸引學(xué)生、組織教學(xué)的關(guān)鍵.能不斷提出好的問題,就能更好地促進(jìn)

14、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).對(duì)于問題(1),相信大部分教師在課堂上,或讓學(xué)生猜想、反駁,或是自己強(qiáng)調(diào),但沒有深入,放過了一個(gè)好問題，造成了一片遺憾.如果能在針對(duì)：“一般地,sin(% + (3)?sin % +sin B ,cos(% + B戶cos % +cos3 ”的研究之后，再提出一些新問 題，作為促進(jìn)師生共同提高的手段會(huì)更好.如，提出姐妹題：“何時(shí)sin(-磁) =sin % sin B ,cos( % + B ) =cos空制范HoS濯次題:" , B 6 0,2 兀) 時(shí),sin % +sin B 與 sin(% + B )的關(guān)系如何？”“ , B 6 (0,兀 2)時(shí),sin % +si

15、nB與sin( % + B )的關(guān)系如何？”在發(fā)現(xiàn)當(dāng)認(rèn),B 6 (0,兀2)時(shí)sin認(rèn)+sin B >sin(認(rèn)+ B )后，也可以想到(0,1)上的數(shù)平方后會(huì)變小，故能提出： “sin2% +sin2 B與sin(% + B )能相等嗎？”這樣較高層次的新問題.在問題的提出和解決過程中,教師由于思維定勢(shì)的影響,往往只提出促進(jìn)正面思考的問題.如 :“這是什么類型的問題？” “這個(gè)問題和什么熟悉的問題相似？”等等.如果教師能常用:“不是這樣,又當(dāng)怎樣？”從反面提問往往會(huì)別有洞天.如對(duì)問題(2)的結(jié)論用這樣的方式處理,就很容易就 +8<兀2, % + B>兀2展開討論或反駁；對(duì)條件用這樣的方式處理，就可以形成：“sin2% +sin2 B >sin( % + B )，則 + B > 兀 2” “sin2 % +sin2 B <sin( % + B )，則 + B <兀2”兩個(gè)新問題.在課堂教學(xué)中，經(jīng)常 采用反問的手段,對(duì)于處理非常規(guī)性問題和啟迪學(xué)生思維都有很大幫助,同時(shí),對(duì)教師自身的專業(yè)水平提升也有很大效果.3 .對(duì)暴露思維教學(xué)的遺憾我們強(qiáng)調(diào)“暴露思維過程”,但從教師答題的自我調(diào)控中,可以清楚地看出教師對(duì)暴露思維過程的陌生.一個(gè)不能有效剖析自己解題過程的教師,對(duì)學(xué)生解題思維的暴露也只能停留在“結(jié)論對(duì)錯(cuò)”的評(píng)判上 ,