平面向量、函數(shù)圖象、方程曲線專題復習要點

1、平面向量、函數(shù)圖象、方程曲線專題復習要點趙春祥 河北省特級教師由于平面向量的坐標表示與代數(shù)聯(lián)系十分緊密，使它成為中學數(shù)學知識的一個交匯點和聯(lián)系多項內容的媒介，因而它經(jīng)常與函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何綜合在一起命題，這既考查了平面向量的有關知識，也考查了其它內容，體現(xiàn)了考試大綱中強調的“在知識交匯處命題”的原則函數(shù)圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn)，圖象中有非常多的信息量，比如定義域、值域、最值、奇偶性、單調性、周期性等圖象信息選擇題可以全面地考查考生的綜合素質和能力，這樣的題目解法靈活，是拉開分數(shù)檔次的一種重要題型，也是近幾年高考命題的一個熱點以基礎層次或中檔難度的試題考查函數(shù)圖象，特別是圖象的平移、對稱及伸縮

2、變換，通過對圖象的識別來考查函數(shù)的性質，在每年的高考試題中，以中等難度題型設計新穎的試題考查函數(shù)的性態(tài)即函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性和函數(shù)圖象的對稱性等，近幾年，以組合形式一題多角度考查函數(shù)的圖象與性質的高考題正成為新的熱點；“曲線”與“方程”是同一對象(即點的軌跡)的兩種表現(xiàn)形式，曲線是軌跡的幾何形式，方程是軌跡的代數(shù)形式它們在表現(xiàn)和研究軌跡的性質時，各有所長幾何形式具有直觀形象的優(yōu)點，代數(shù)形式具有便于運算的優(yōu)點，因而具有操作程序化的長處具體解題時最好將二者結合起來，這就是 “數(shù)形結合”思想所考查的數(shù)學思想方法除數(shù)形結合外，函數(shù)與方程、等件轉化、分類討論等數(shù)學思想；向量法、參數(shù)法、消元法、配

3、方法、待定系數(shù)法、換元法等數(shù)學方法；以及利用韋達定理、判別式、曲線系方程、坐標法等技巧在考卷中都充分得到體現(xiàn)AOBC例1 (2007年全國高考陜西卷理科試題)如圖，平面內有三個向量，其中與的夾角為，與的夾角為，且| = | = 1，| = 若=(，R)，則的值為解一(坐標法1)：由題意，建立以為x軸、為y軸的平面直角坐標系，AOBC| = | = 1，| = ，= (，)，= (0，1)，= (，0)，又=，(，0) =，)，1)，= 6解二(坐標法2)：由題意，建立以為x軸的平面直角坐標系，| = | = 1，| =，= (1，0)，= (，) = (，)，= (，) = (3，)，又=，(

4、3，) =，0)，)，AOBCxy= 6解三(代數(shù)法1)：與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為，·= 0，即·() = 0，·= 0，= 0，即=又= 3由、解得，= 4，= 2，= 6解四(代數(shù)法2)：與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為，又| = | = 1，·= |·|=，·= |·|= 0，由=兩邊平方得：12 =，由=兩邊平方得：12=，AOBCA B 、聯(lián)立求得= 4，= 2，= 6解五(幾何法)：如左圖，過C點作兩條直線與直線、平行，分別交、的延長線于、兩點，則四邊形為平行四邊形，且=，=，=由題意知，=，在Rt中

5、，|= 2，|= 4，| = | = 1，=，=，即= 4，= 2或=4，=2 (不合題意，舍去)，= 6評析：解法一和解法二展示的是，通過建立平面直角坐標系，將平面向量的夾角問題轉化為平面向量數(shù)量積的坐標問題，這也是將形化數(shù)的典型實例解法三和解法四告訴我們，兩向量的數(shù)量積是高考的核心內容，即為高考的一個命題點，填空題、選擇題重點考查數(shù)量積的概念、運算律等問題，向量的數(shù)量積運算常用來解決有關角度、摸長等相關問題在解法五中，通過深入挖掘平面向量的幾何意義，化數(shù)為形，數(shù)形結合，也就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，對題目中的條件和結論既分析其代數(shù)含義又挖掘其幾何背景，在代數(shù)與幾何的結合上尋找

6、解題思路例2 (2007年全國高考福建卷理科試題)如圖，已知點，PBQMFOAxy直線，為平面上的動點，過作直線的垂線，垂足為點，且求動點的軌跡的方程；過點的直線交軌跡于兩點，交直線于點，已知，求的值；解：由得：， ，即，所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：由已知，得則：過點分別作準線的垂線，垂足分別為，則有：由得：，即例3(2007年全國高考湖南卷理科試題)函數(shù)=的圖象和函數(shù)=的圖象的交點個數(shù)是( )A4 B3 C2 D1xy321解：在同一個坐標系中，畫出y =與y =的簡圖，由圖直觀看出兩個函數(shù)圖象的交點由個，故選B評析：函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質，為研究數(shù)量關系提供了“形”

7、的直觀性，它是探求解題途徑，獲得解題方法的重要工具，通過借助于圖形的直觀性，以圖助算，就可避免煩瑣的計算例4(2007年全國高考卷一理科試題)設a1，函數(shù)=在區(qū)間a，2a上的最大值與最小值之差為，則a等于( )A B2 ··1-11··1xy C D4解：由a1，則=在區(qū)間a，2a上單調遞增，所以函數(shù)的最大值為，最小值為= 1，因此有1=，解得a = 4，故選D評析：在解題時，一定要注意不同的底，對數(shù)函數(shù)有不同的單調性函數(shù)最值是函數(shù)的主要內容，它在數(shù)學各個分支及實際問題中有著廣泛的應用，特別是基本初等函數(shù)(二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù))的最值問題，多年來一直是?？疾凰サ臒狳c內容之一解此類考題要以數(shù)形結合為切入點，化難為易，讓抽象的問題轉化得直觀明白例5(2007年全國高考北京卷文科試題)如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為點在邊所在直線上求邊所在直線的方程；求矩形外接圓的方程；若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程解：因為邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程為，即由解得點的坐標為，因為矩形兩條對角線的交點為，所以為矩形外接圓的圓心又從而矩形外接圓的方程為因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，所以，