小學數(shù)學教學中的合情推理

1、小學數(shù)學教學中的合情推理在當今和未來社會中，人們面對紛繁復雜的信息經(jīng)常需要作出選擇和判斷，進而進行推理、作出決策。因而，義務教育數(shù)學課程標準指出：“數(shù)學課程的學習，強調(diào)學生的數(shù)學活動，發(fā)展學生的推理能力?！蓖评矸终撟C推理和合情推理兩種。數(shù)學對發(fā)展推理能力的作用，人們早已認同并深信不疑。但是，長期以來數(shù)學教學注重采用“形式化”的方式發(fā)展學生的論證推理能力，忽視了合情推理能力的培養(yǎng)。應當指出，數(shù)學需要論證推理，更需要合情推理。一、 合情推理的含義論證推理又稱演繹推理，它是思維過程中從一般到特殊的推理。這種推理以形式邏輯或論證邏輯為依據(jù)，每一步推理都是可靠的、無可置辯和終決的，因而可以用來肯定數(shù)學知

2、識，建立嚴格的數(shù)學體系。合情推理是一種合乎情理、好像為真的推理，它是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的方法之一。合情推理，不全都依據(jù)數(shù)學公理體系和數(shù)學定理進行推理，而是運用了一些特殊的推理方法，從所得命題的真假性來看，不像論證推理所得的命題那樣嚴密和穩(wěn)定。似真非真和似真確真這兩種情況都有可能發(fā)生。因此，合情推理又被稱為似真推理。數(shù)學中的合情推理是多種多樣的，其中歸納推理和類比推理是兩種用途最廣的特殊合情推理。法國數(shù)學家拉普拉斯說：“甚至在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的工具也是歸納和類比?！倍l(fā)展學生合情推理的意義波利亞指出：“論證推理是可靠的、無可置疑的和終決的。合情推理是冒風險的、有爭議的和暫時的。”那么，為什么還要在小學數(shù)

3、學教學中培養(yǎng)學生的合情推理能力呢？首先，是實施新課標的需要。數(shù)學課程標準中明確：歸納和類比是合情推理的主要形式，并指出：第一學段“初步學會選擇有用的信息進行簡單的歸納和類比”，第二學段“進行歸納、類比與猜測，發(fā)展初步的合情推理能力”，第三學段“體會證明的必要性，發(fā)展初步的演繹推理能力”。其目的是有序地培養(yǎng)學生的推理能力，但小學階段以發(fā)展學生初步的合情推理能力為主要目標。其次，是由小學生的認知特點決定的。鑒于小學生的年齡與認知特點，他們不可能通過具有嚴格標準的邏輯推理來發(fā)現(xiàn)和掌握數(shù)學原理和概念。因此，在小學數(shù)學教材中大量地采用了像數(shù)學猜想、枚舉歸納、類比遷移等合情推理的方法。再次，是學生學習數(shù)學

4、的過程要求。波利亞說過：“數(shù)學家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學的學習過程稍能反映出數(shù)學發(fā)明過程的話，那么應當讓猜測、合情推理占有適當?shù)奈恢??！辟M賴登塔爾認為，學生學習數(shù)學是一個有指導的再創(chuàng)造的過程。數(shù)學學習本質(zhì)是學生的再創(chuàng)造。數(shù)學知識的學習并不是簡單的接受，而必須以再創(chuàng)造的方式進行。因此，在數(shù)學學習的過程中，應給學生提供具有充分再創(chuàng)造的通道，以激勵學生進行再創(chuàng)造的活動。把數(shù)學知識學習的過程展開、還原，讓學生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、類比即合情推理提出猜想，然后再通過演繹，推理證明猜想正確或錯誤。三、發(fā)展學生合情推理的策略1、從特殊到一般，

5、發(fā)展學生的歸納推理能力把某類事物中個別事物所具有的規(guī)律作為該類事物的普遍規(guī)律，這種思維過程中由特殊到一般的推理稱為歸納推理或稱歸納法。這是一種從個別到一般、從實驗事實到理論的一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的手段。波利亞盛贊歐拉“是數(shù)學研究中善于用歸納法的大師，使用歸納法，也就是說，他憑觀察、大膽猜測和巧妙證明得出了許多重要的發(fā)現(xiàn)?！备咚挂苍f他的許多定理都是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是補行的手續(xù)。在教學法則、定律、公式、結(jié)語及解題時經(jīng)常要進行歸納推理，而且一般用的是不完全歸納法，用不完全歸納法得出的結(jié)論不一定正確，還有待嚴格的證明。但是，不完全歸納法比較適合小學生的年齡特點，易于接受。因此，在小學數(shù)學教學

6、中經(jīng)常應用這種形式的推理。發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如：直徑1厘米的圓周長約3.14厘米，直徑2厘米的圓周長約6.28厘米，直徑3厘米的圓周長約9.43厘米，直徑4厘米的圓周長約12.57厘米，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：一個圓的周長總是它的直徑的3倍多一些。概括意義。如：10×1/5就是求10的1/5是多少，24×5/6就是求24的5/6是多少，72×3/8就是求72的3/8是多少，由此得出：一個數(shù)乘以分數(shù)，就是求這個數(shù)的幾分之幾是多少。導出特性。如：1×8=8，4×1=4，1×6=6，得出：任何數(shù)與1相乘得任何數(shù)。歸納定律。如：3×5×2=

7、3×（5×2），9×4×5=9×（4×5），10×20×4=10×（20×4），得出：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相乘，再同第一個數(shù)相乘，積不變，這叫做乘法結(jié)合律。利用歸納推理還可以總結(jié)數(shù)量關系，推出公式等。教學中要有計劃地培養(yǎng)學生的歸納能力，對于低年級的小學生，要以豐富的感性材料入手，由教師講解歸納的過程，逐步過渡到在教師引導下由學生對簡單問題進行歸納；中年級學生對歸納推理已經(jīng)積累了一些經(jīng)驗，可以在教師引導下，逐步增加學生自己歸納推理的成份；高年級的學生一般來說

8、已經(jīng)有了初步的歸納能力，可以放手讓他們自己進行歸納，進一步提高歸納能力。2、從特殊到特殊，發(fā)展學生的類比推理能力類比推理是根據(jù)兩個不同的對象的某些方面（如特性、屬性、關系等）相同或相似，推出它們在其他方面也可能相同或相似的思維形式，它是思維進程中由特殊到特殊的推理。這也是一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的基本而重要的手段。德國天文學家、數(shù)學家開普勒曾指出：“我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中它應該是最不容忽視的?！钡聡诺湔軐W家康德也說：“每當理智缺乏可靠論證的思想時，類比這個方法往往指引我們前進?！辈ɡ麃喸叨仍u價類比的作用和意義，說：“類比似乎在一切發(fā)

9、現(xiàn)中有作用，而且在某些發(fā)現(xiàn)中有它最大的作用?！薄邦惐仁翘岢鲂旅}和獲得發(fā)現(xiàn)取之不竭的源泉?！痹跀?shù)學思維活動中，類比的表現(xiàn)形式是多種多樣的。通?？煞譃楹唵蔚念惐扰c復雜的類比兩類。簡單的類比即形式的類比。如由“在除法算式中，除數(shù)不能為零”，類比推出“分數(shù)的分母不能為零”和“比的后項不能為零”。復雜的類比即實質(zhì)的類比，這種類比能拓寬學生的知識面，引導他們挖掘數(shù)量間隱藏著的內(nèi)在聯(lián)系，掌握數(shù)量間可能引起的變化規(guī)律。如：教學工程問題后，可以出示下面的變式題讓學生嘗試解答：從A地到B地，甲要行10小時，乙要行15小時，現(xiàn)兩人同時從A、B兩地相向而行，多少小時可以相遇？劉老師帶一部分錢去新華書店買上、下兩集的

10、書，所帶的錢如果只買上集，正好能買20本，如果只買下集，正好能買30本。劉老師的錢最多可買這種書多少套？一批布，做上衣可做20件，做褲子可做30條。這批布可以做多少套衣服？借助舊知識進行類比推理，可將學生的原有認知結(jié)構(gòu)向橫向拓展、向縱向延伸，不僅能加深對知識的理解和掌握，而且能培養(yǎng)學生初步的推理能力。在小學數(shù)學中，常見的類比有：直線和平面的類比、平面和空間的類比、數(shù)和形的類比、有限和無限的類比等。類比之所以能進行并行之有效，就在于它抓住了事物普遍存在的相似性，把相差甚遠的兩類對象按其內(nèi)在聯(lián)系的相似性加以類比。如：把平面幾何中的面積與立體幾何中的體積比較：平面幾何立體幾何長方形面積=長×

11、;寬長方形體積=長×寬×高推導圓面積的方法：把圓若干等分拼成近似的長方形推導圓柱體體積的方法：把圓柱體底面分成相等的扇形后縱剖，拼成近似的長方體。圓面積S=r2圓柱體體積V=r2h類比的結(jié)果不一定正確，因為類比僅僅是推測，而不是證明。因此，類比的結(jié)果還要經(jīng)過證明或檢驗。由于小學生受年齡的限制，一般不給予嚴密論證，而采用實例驗證。3、從聯(lián)想到驗證，發(fā)展學生的數(shù)學猜想能力牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)?！辈孪胗质呛侠硗评碜钇毡?、最重要的一種，歸納也好、類比也好都包含猜想的成分。波利亞認為：“說得直截了當一點，合情推理就是猜想。”傳統(tǒng)的教學留給學生思維活動的內(nèi)容和時

12、間太少，不僅削弱了學生認知的發(fā)生過程，而且導致學生思維禁錮，不敢或不能提出猜想。這與培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力的時代要求是相悖的。為了發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維，教師應該教給學生思維方法，鼓勵學生對具體問題和具體教材進行分析，通過觀察、實驗、類比、歸納等手段提出猜想。這樣，不僅有助于學生掌握數(shù)學知識，滿足學生的求知欲望，而且學會探求知識的方法。數(shù)學猜想是運用非邏輯手段得到的一種數(shù)學假設，它是人在探索數(shù)學規(guī)律時的一種策略。數(shù)學猜想不是胡思亂想，而是合理猜想，著名的歌德巴赫猜想就是經(jīng)過合理猜想而獲得的。既是猜想，不可能都是正確的，但是畢竟向真理逼近了一步。小學數(shù)學教育中，要積極創(chuàng)造條件，引導學生大膽猜想。引入時

13、猜想，激發(fā)學生求知欲望。如教學“三角形的內(nèi)角和等于180°”時，教師先出示三角形的某一個角（其余兩個角用紙板遮?。?，讓學生說出是什么類型的三角形？露出一只鈍角時；露出一只直角時；露出一只銳角的時候。當出示了第種情況時，有的說是銳角三角形，有的說是直角三角形，但老師拿出的卻不是他們所猜測的三角形，這是什么原因呢？有什么辦法才能知道、判斷準確呢？至此，學生產(chǎn)生強烈的求知欲望和主動探索的興趣，教師很自然地引入新知。展開時猜想，促進學生發(fā)現(xiàn)結(jié)論。在教學圓柱體的體積計算時，可以讓學生觀察、比較圓柱與長方體的相同點：如上下底的位置關系以及大小關系，兩底面之間的距離等，然后要求學生猜測圓柱的體積計算方法，這樣學生學得輕松、有趣、快捷。最后的操作只是驗證猜想的過程，而不是教師指令下的機械運動?？偨Y(jié)時猜想，拓展學生認知結(jié)構(gòu)。如圓柱的體積計算課本，讓學生猜測能否利用“底面積×高”計算除長方體、正方體、圓柱體以外的其他形狀物體的體積？這時學生思維活躍，聯(lián)想豐富，有