2003年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解答

1、2003年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷第一試(10月12日上午8:009:40)、選擇題(每小題6分，共36分)1 .(2003年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,中的所有完全平方數(shù)，得到一個(gè)新數(shù)列.這個(gè)數(shù)列的第2003項(xiàng)是(A)2046(B)2047(C)2048(D)20492 .設(shè)a,bCR,abw0,那么直線axy+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是,3(A)萬二.填空題(每小題1(B)萬(C)9分，共54分)7 .不等式|x|3-2x2-4|x|+30的解集是.8 .設(shè)FI、F2是橢圓9+1=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且|PFI|：|PF2|=2：1,則PF1F2的面

2、積等于.9 .已知A=x|x2-4x+30,xCR,B=x|21x+a0,x2-2(a+7)x+50,xCR若AB,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.3,510 .已知a,b,c,d均為正整數(shù)，且logab=2，logcd=,右ac=9,貝Ubd=11 .將八個(gè)半徑都為1的球分放兩層放置在一個(gè)圓柱內(nèi)，并使得每個(gè)球都和其相鄰的四個(gè)球相切，且與圓柱的一個(gè)底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于.12 .設(shè)Mn=(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0.a1a2 an|ai只取0或1(i=1,2,，n1),an=1,Tn是Mn中元素的個(gè)數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則nmSn=三、(本題滿分20分)3、一，.,3.過拋物線y2=8(x

3、+2)的焦點(diǎn)的中垂線與x軸交于點(diǎn)16萬54.右xC12,P,則線段83F作傾斜角為PF的長(zhǎng)等于16(C)3360。的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，弦AB(A)15M5.已知(A)(B).2y=tan(x+y)tan(x+】)+cos(x+6)的取大值是x,y都在區(qū)間(一2,2)內(nèi)，且xy=-1,則函數(shù)2411c12(C)了(D)g產(chǎn)力告的最小值是126.在四面體的體積等于ABCD中，設(shè)AB=1,CD=.3,直線AB與CD的距離為2,夾角為1則四面體ABCD13 .設(shè)x5,證明不等式2VX+1+2X-3+15-3xmn0.313m3n已知104=104=104，其中x=xx,而x表本不超

4、過x的取大整數(shù).求這種二角形周長(zhǎng)的取小值.三、（本題50分）由n個(gè)點(diǎn)和這些點(diǎn)之間的l條連線段組成一個(gè)空間圖形，其中n=q2+q+1,l2q（q+1）2+1,q2,qCN.已知此圖中任四點(diǎn)不共面，每點(diǎn)至少有一條連線段，存在一點(diǎn)至少有q+2條連線段.證明：圖中必存在一個(gè)空間四邊形（即由四點(diǎn)A、B、C、D和四條連線段AB、BC、CD、DA組成的圖形）.1997年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試一、選擇題(每小題6分，共36分)1 .刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,中的所有完全平方數(shù)，得到一個(gè)新數(shù)列.這個(gè)數(shù)列的第2003項(xiàng)是(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049解：452=2025,462=21

5、16.在1至2025之間有完全平方數(shù)45個(gè)，而2026至2115之間沒有完全平方數(shù).故1至2025中共有新數(shù)列中的202545=1980項(xiàng).還缺20031980=23項(xiàng).由2025+23=2048.知選C.2 .設(shè)a,bCR,abw0,那么直線axy+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是y=竽僅一4)+恭，令y=0,得點(diǎn)P的坐標(biāo)為5.4 .若xC一言,一，則y=tan(x+2ptana+a+coslx+g)的最大值是12111112(A)5.2(B)62(C)63(D)5.3解：令x+-=u,貝Ux+2-=u+當(dāng)xC一,一彳時(shí)，u-,-,63212346y=(cotu+tanu)+cosu

6、=/2+cosu.在uC,一公時(shí)，sin2u與cosu都單調(diào)遞增，從而y單調(diào)遞sinNu46_49x2_9x4+72x24_35u=4-x2+9x2-1=-9x4+37x2-4=1+37_(9X2+xL)11.c1.c42一當(dāng)xC(2,pug,2)時(shí)，x2eq,4),此時(shí)，9x2+q12.(當(dāng)且僅當(dāng)x2=g時(shí)等號(hào)成立).此時(shí)函數(shù)的最小值為孑，故選D.5由直線圖形，可知A、C中的由直線圖形，可知B、D中的3.過拋物線y2=8(x+2)的焦點(diǎn)的中垂線與x軸交于點(diǎn)P,則線段168(A)J(B)a0,C圖的b0,b0,則曲線為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故選B.F作傾斜角為60的直線，若此直線與拋物線交于A

7、、B兩點(diǎn)，弦ABPF的長(zhǎng)等于(C)解：拋物線的焦點(diǎn)為原點(diǎn)(0,0),弦AB所在直線方程為y=x3x,弦的中點(diǎn)在y=p=/上，即AB中點(diǎn)44為(3，方,中垂線萬程為PF=芋選A.增.于是u=一己時(shí)，y取得最大值引3,故選C.5.已知x,y都在區(qū)間(一2,2)內(nèi)，且xy=-1,則函數(shù)u=的最小值是8(A)524(B)而c12(C)-解：由x,yC(2,2),xy=1知，xC(2,12(D)T11-2)U,2),解：曲線方程為x2y2、a+廣，直線萬程為y=ax+b，6 .在四面體ABCD中，設(shè)AB=1,CD=43,直線AB與CD的距離為2,夾角為3,則四面體ABCD的體積等于1(B)萬解：如圖，把

8、四面體補(bǔ)成平行六面體，則此平行六面體的體積=1Xk3xsin2=3.3而四面體ABCD的體積=1X平行六面體體積=1.故選B.62.填空題（每小題9分，共54分）7.不等式|x|3-2x2-4|x|+30的解集是解：即|x|3-2|x|2-4|x|+30,(|x|3)(|x|復(fù)(兇+尸。.|x|-15+1,或1|x|3.解為(3,一乖 21 1)U浸 21,3).228 .設(shè)F1、F2是橢圓含+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|：|PF2|=2：1,則PF1F2的面積94等于.解：FI(乖,0),F2(乖,0)；|FIF2|=25.|PFI|+|PF2|=6,|PFI|=4,|PF2

9、=2.由于S=4.9 .已知A=x|x24x+30,xCR,B=x|21x+aw0,x2-2(a+7)x+50,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A=(1,3);3.510 .已知a,b,c,d均為正整數(shù)，且logab=2，logcd=,右ac=9,貝Ubd=解：a3=b2,c5=d4,設(shè)a=x2,b=x3;c=y4,d=y5,x2-y4=9,（x+y2）（xy2）=9. x+y2=9,xy2=1,x=5,y2=4.bd=5325=12532=93.11 .將八個(gè)半徑都為1的球分放兩層放置在一個(gè)圓柱內(nèi)，并使得每個(gè)球都和其相鄰的四個(gè)球相切，且與圓柱的一個(gè)底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等解：如圖，ABCD是下層

10、四個(gè)球的球心，EFGH是上層的四個(gè)球心.每個(gè)球心與其相切的球的球心距離=2.EFGH在平面ABCD上的射影是一個(gè)正方形.是把正方形ABCD繞其中心旋轉(zhuǎn)45而得.設(shè)E的射影為N,則MN=V2-1.EM=3,故EN2=3(21)2=25.EN=T8.所求圓柱的(Wj=2+-.Z8.12 .設(shè)Mn=(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0.a1a2 an|ai只取0或1(i=1,2,，n1),an=1,Tn是Mn中Sn是Mn中所有元素的和，則limSnn00In解：由于a1，a2,，an-1中的每一個(gè)都可以取0與1兩個(gè)數(shù)，Tn=2n1（從第一位到第n1位）小數(shù)上，數(shù)字0與1各出現(xiàn)2n2次.第n位則1出現(xiàn)2n次.n20

11、.111+2n210n.Sn111lim=一.nTn2918三、（本題滿分20分）13 .設(shè)肘x5,證明不等式2x+1+2x-3+V15-3x2719.42+22=(2/5)2.故PF1F2是直角三角形乖R5.xCR若AB,解：又,ax2;57他7,-4).xx元素的個(gè)數(shù),在每一位Sn=2DN一3一一解：x+10,2x-30,15-3x0.x5.%反+1+、Jx+1+/2x3+4153xj12qx+1+q2x3+.J153x=)而+而+,2x3+153x2-T4+x.3但241痔在2WxW5時(shí)單倜增.即2、：14+xW214+5=219.故證.四、(本題滿分20分)114 .設(shè)A、B、C分別是

12、復(fù)數(shù)Z0=ai,Z1=+bi,Z2=1+ci(其中a,b,c都是實(shí)數(shù))對(duì)應(yīng)的不共線的二點(diǎn).證明：曲線Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t(tR)與ABC中平行于AC的中位線只有一個(gè)公共點(diǎn)，并求出此點(diǎn).解：曲線方程為：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t.(0 x1)y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1x)2+2b(1x

13、)x+cx2即y=(a2b+c)x2+2(ba)x+a(0 x1).若a2b+c=0,則Z。、ZI、Z2三點(diǎn)共線，與已知矛盾，故a-2b+c0.于是此曲線為軸與x軸垂直的拋物線.AB中點(diǎn)M：4+1(a+b)i,BC中點(diǎn)N：4+1(b+c)i.1131與AC平仃的中位線經(jīng)過M(4,(a+b)及Nq,(b+c)兩點(diǎn)，其萬程為1一3.小4(a-c)x+4y-3a-2b+c=0.(4x-).令4(a2b+c)x2+8(ba)x+4a=4(ca)x+3a+2bc.即4(a2b+c)x2+4(2bac)x+a2b+c=0.由a-2b+c0,得4x2+4x+1=0,此方程在1,3內(nèi)有惟一解：x=；.442,

14、、，11以x=2代入得，y=4(a+2b+c).所求公共點(diǎn)坐標(biāo)為g,4(a+2b+c).五、（本題滿分20分）15.一張紙上畫有一個(gè)半徑為R的圓O和圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)A,且OA=a,折疊紙片，使圓周上某一點(diǎn)A剛好與點(diǎn)A重合.這樣的每一種折法，都留下一條折痕.當(dāng)A取遍圓周上所有點(diǎn)時(shí)，求所有折痕所在直線上點(diǎn)的集合.解：對(duì)于。O上任意一點(diǎn)A,連AA,作AA的垂直平分線MN,連OA.交MN于點(diǎn)P.顯然OP+PA=OA=R.由于點(diǎn)A在OO內(nèi)， 故OA=aa）為長(zhǎng)軸的橢圓C.而MN上任一異于P的點(diǎn)Q,都有OQ+QA=OQ+QAOA.故點(diǎn)Q在橢圓C外.即折痕上所有的點(diǎn)都在橢圓C上及C外.反之，對(duì)于橢圓C上或外的一

15、點(diǎn)S,以S為圓心，SA為半徑作圓，交。于A,則S在AA的垂直平分線上，從而S在某條折痕上.最后證明所作。S與。必相交.x+1+x+1+2x3+153xvJ14+x由平均不等式1當(dāng)S在。外時(shí)，由于A在。內(nèi)，故。S與。必相交；2當(dāng)S在。內(nèi)時(shí)（例如在。內(nèi)，但在橢圓C外或其上的點(diǎn)S）,取過S的半徑OD,則由點(diǎn)S在橢圓C外，故OS+SAR（橢圓的長(zhǎng)軸）,即SASD.于是D在。S內(nèi)或上，即。S與。O必有交點(diǎn).于是上述證明成立.綜上可知，折痕上的點(diǎn)的集合為橢圓C上及C外的所有點(diǎn)的集合.(10月12日上午10:0012:00)一、（本題50分）過圓外一點(diǎn)P作圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為A、B,所作割線交圓于

16、C、D兩點(diǎn)，C在P、D之間.在弦CD上取一點(diǎn)Q,使/DAQ=/PBC.求證：/DBQ=/PAC.分析：由/PBC=/CDB,若/DBQ=/PAC=/ADQ,貝UBDQsDAQ,反之，若BDQsDAQ,則二、（本題50分）設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是正整數(shù)l,m,n.且lmn0.3l3m3n已知104=104=104，其中汽=*X，而X表布不超過X值.&l&m&n解：當(dāng)3l、3m、3n的末四位數(shù)字相同時(shí)，言=詠=言.即求滿足3l3m三3n(mod104)的l、m、n.，3n(3ln1)三0(mod104).(l-n0)但(3n,104)=1,故必有31n三1(mod104);同

17、理3mn三1(mod104).下面先求滿足3X=1(mod104)的最小正整數(shù)x.14(104)=104萬5=4000.故x|4000.用4000的約數(shù)試驗(yàn)：x=1,2,時(shí)3X關(guān)1(mod10),而34三1(mod10),，x必須是4的倍數(shù)；x=4,8,12,16時(shí)3x壬1(mod102),而320三1(mod102),， x必須是20的倍數(shù)；x=20,40,60,80時(shí)3x至1(mod103),而3100三1(mod1。3),x必須是100的倍數(shù);x=100,200,300,400時(shí)3x至1(mod104),而3500三1(mod104).即，使3x三1(mod104)成立的最小正整數(shù)x=5

18、00,從而ln、mn都是500的倍數(shù)，設(shè)ln=500k,mn=500h,(k,hCN*,kh).由m+nl,即n+500h+nn+500k,n500(k-h)500,故n501.取n=501,m=1001,l=1501,即為滿足題意的最小三個(gè)值.所求周長(zhǎng)的最小值=3003.三、（本題50分）由n個(gè)點(diǎn)和這些點(diǎn)之間的l條連線段組成一個(gè)空間圖形，其中知此圖中任四點(diǎn)不共面，每點(diǎn)至少有一條連線段，存在一點(diǎn)至少有空間四邊形（即由四點(diǎn)A、B、C、D和四條連線段AB、BC、CD、證明：設(shè)點(diǎn)集為V=AO,AI,，An1,與Ai連線的點(diǎn)集為然有n-1Ebi=2lq(q+1)2+2.i=0若存在一點(diǎn)與其余點(diǎn)都連線，

19、不妨設(shè)b0=n1.則Bo中n1個(gè)點(diǎn)的連線數(shù)加試題BDDQADAQ即可.PBCsPDB,BDPDADPDBCPB，AC=PA.BDBCPA=PB,ADAC/BAC=/(PBC=/DAQ,ABCsADQ.BCDQ,BDDQ_-AD=AQZDAQ=ZPBC=ZBDQ.ADQsDBQ.ZDBQ=ZADQ=/PAC.的最大整數(shù).求這種三角形周長(zhǎng)的最小O.1.n=q2+q+1,lq(q+1)2+1,q2,qCN.已q+2條連線段.證明：圖中必存在一個(gè)DA組成的圖形）.Bi,且|Bi|=bi.于證明：連AB./ABC=/ADQ.證畢.本題成立.而要證BDQsDAQ,只要證l-bo2q(q+1)2+1(n1)

20、(注意：q(q+1)=q2+q=n-1)11=2(q+1)(n1)-(n-1)+1=-(q-1)(n-1)+12(n-1)+12(n_1)+1(由q2)n1但右在這n-1個(gè)點(diǎn)內(nèi)，沒有任一點(diǎn)同時(shí)與其余兩點(diǎn)連線，則這n1個(gè)點(diǎn)內(nèi)至多連線2條，故在Bo中存在一點(diǎn)Ai,它與兩點(diǎn)Aj、Ak(i、j、k互不相等，且1Wi,j,k)連了線，于是A。、Aj、Ai、Ak連成四邊形.現(xiàn)設(shè)任一點(diǎn)連的線數(shù) wn-2.且設(shè)bo=q+2wn2.且設(shè)圖中沒有四邊形.于是當(dāng)iwj時(shí)，Bi與Bj沒有公共的點(diǎn)對(duì)，即|BiPBj|1(0i,jn-1).記Bo=VB。，則由|BiABo|2(!2bi)23!2bi+2(n1)(由平均不等式)2i=12nli=1i=1111=2nT7(21-bo)23(2lbo)+2(n-1)=2(n_1)1)(21-bo)23(n1)(2lbo)+2(n-1)212=/Ibon+1)(21-