第四章相交線及平行線—專練

1、相交線與平行線（一）【知識(shí)要點(diǎn)】1.兩條直線相交得四個(gè)角，其中不相鄰的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角，對(duì)頂角必相等，相鄰的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角.2.當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，則稱這兩條直線相互垂直，其中一條叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足. 當(dāng)兩條直線垂直時(shí)，兩條直線相交所成的四個(gè)角都是直角.3.垂線的性質(zhì)： （1）過平面內(nèi)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直. （2）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.4.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離.5.如果一條直線和兩條平行線中的一條垂線，那么這條直線也和另一條直線垂直.6.在同一平面內(nèi)不相交的兩條直

2、線叫做平行線. 平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且僅有一條直線和這條直線平行 推理：如果兩條直線都和第和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。 在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行.7.平行線的判定： 兩條直線被第三條直線所截， （1）若同位角相等，則兩直線平行； （2）若內(nèi)錯(cuò)角相等，則兩直線平行； （3）若同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則兩直線平行.8.平行線的性質(zhì)： 兩條直線被第三條直線所截， （1）若兩直線平行，則同位角相等； （2）若兩直線平行，則內(nèi)錯(cuò)角相等； （3）若兩直線平等，則同旁內(nèi)角互補(bǔ).9.如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ). 應(yīng)用此定理

3、時(shí)，應(yīng)注意這兩個(gè)角的兩邊的方向： 若同向或反向，則這兩個(gè)角相等；若一同一異，則這兩個(gè)角互補(bǔ).10.在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行.【基礎(chǔ)回顧】1.下列語句錯(cuò)誤的有 （1） 兩個(gè)角的兩邊分別在同一直線上，那么這兩個(gè)角互為對(duì)頂角；（2） 有公共頂點(diǎn)并且相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角；（3） 如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)；（4） 如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角不是對(duì)頂角。2.如圖，直線AB、CD相交與點(diǎn)O，OEAB于點(diǎn)O，EOF=AOF，1=15°30，則下列結(jié)論中不正確的是（ ） A.2=45 B.1=3 C.AOB與1互為補(bǔ)角 D.1的余角等于75°

4、;303.點(diǎn)A為直線外一點(diǎn)，點(diǎn)B在直線l上，若AB=5cm，則點(diǎn)A到直線l的距離（ ） A.就是5cm B.大于5cm C.小于5cm D.最多是5cm4.在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（ ） A.相交、平行 B.相交、垂直 C.平行、垂直 D.平行、相交、垂直5.平面上三條直線相互間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） A.3 B.1或3 C.1或2或3 D.不一定是1，2，36. 如下圖，兩直線相交于點(diǎn)O，圖中互為鄰補(bǔ)角的有哪些？互為對(duì)頂角的有哪些？7. 如下圖，直線a、b相交，1=40°，求2，3，4的度數(shù). 8. 如下圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分AOD，AOC=120

5、6;，求BOD，AOE的度數(shù)9. 如下圖，若OCAB，130°，則2 . 【點(diǎn)點(diǎn)精練】 知識(shí)點(diǎn)1 對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念【例1】如圖，1=15°，AOC=90°，點(diǎn)B、O、D在同一條直線上，則2=_【變式1】如圖所示，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，1=90°，則AOC和DOB是 角，DOB和DOE互為 角，DOB和BOC互為 角，AOC和DOE互為 角。 知識(shí)點(diǎn)2 對(duì)頂角的性質(zhì)與應(yīng)用【例2】如圖，已知直線AB與CD相交于點(diǎn)O，且AOD+BOC=220°，求AOC的度數(shù)?！咀兪?】如圖，直線AB、CD、EF都相交于點(diǎn)O，已知AOC=44°，A

6、OF=32°，求BOD，BOE，DOF的度數(shù)。 知識(shí)點(diǎn)3 垂線的定義、性質(zhì)及其應(yīng)用【例3】如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OEAB于點(diǎn)O，EOF=AOF，BOD=15°30，則下列結(jié)論中不正確的是（ ） A.AOF=45° B.BOD=AOC C.AOD與BOD互為補(bǔ)角 D.BOD的余角等于75°30【變式3】已知：如圖，ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，且ADC=BDC，寫出圖中互相垂直的線段，并說明理由。 知識(shí)點(diǎn)4 點(diǎn)到直線的距離【例4】如圖所示，BAC=90°，ADBC，垂足為D，則下面結(jié)論：AB與AC互相垂直；AD與AC互相垂直

7、；點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AC；點(diǎn)A到BC的距離是線段A；線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離；線段AB是點(diǎn)B到AC的距離 【變式4】如圖，OC是AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上的一點(diǎn).（1）分別畫出點(diǎn)P到AOB兩邊的垂線段；（2）比較點(diǎn)P到AOB兩邊的距離的大??；（3）在OC上（除O、C點(diǎn)外）任選點(diǎn)D，重復(fù)（1）、（2）步驟，并根據(jù)（2）的結(jié)果完成以下猜想：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離 . 知識(shí)點(diǎn)5 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別【例5】如圖，寫出圖中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角。 【變式5】如圖，圖中1與2是同位角的是（ ） （4） A.（2）（3） B（2）（3）（4） C（1）（2）（4） D（

8、3）（4） 知識(shí)點(diǎn)6 三線八角【例6】如下圖，1和2是直線_和直線_被直線_所截得_;2和3是直線_和直線_被直線_所截得的_。 【變式6.1】如下圖，2與3可以看成直線_和直線_被直線_所截而成的_角，1和4可以看成直線_和直線被直線_所截成的角，4和5可以看成直線_和直線被直線_所截成的角，3和4可以看成直線_和直線被直線_所截成的角。 【變式6.2】如下圖所示，平行線AB，CD與相交直線EF，GH相交，則圖中同旁內(nèi)角共有（ ）對(duì). A.4對(duì) B.8對(duì) C.12對(duì) D.16對(duì) 知識(shí)點(diǎn)7 平行線的性質(zhì)【例7】如下圖，直線，2=，1=，A的度數(shù)是_.【變式7】如圖，已知AB/CD/EF，,，求

9、的度數(shù). 知識(shí)點(diǎn)8 平行線的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例8】如下圖，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果，那么的度數(shù)是_. 【變式8】將一直角三角板在兩邊平行的紙片如圖放置，下列結(jié)論：（1）1=2；（2）3=4；（3）2+4=；（4）4+5=，其中正確的是_。 知識(shí)點(diǎn)9 平行線與折疊【例9】如下圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D,C分別在D,C的位置，若，則，則等于（ ） A. B. C. D.【變式9】如下圖，把長(zhǎng)方形ABCD沿EF對(duì)折后使兩部分重合，若，求。 知識(shí)點(diǎn)10 平行線與角平分線【例10】如下圖，直線AB/CD直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E,F，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)P，

10、你能說明嗎？【變式10】如下圖，直線EF分別交AB,CD于點(diǎn)E,F，BEF的平分線與DEF的平分線相交于點(diǎn)P，且P=，你能說明AB/CD？ 知識(shí)點(diǎn)11 平行線判定的綜合應(yīng)用【例11】如下圖，1=2，EC/BF，試說明：AB/CD.【變式11.1】如下圖，已知AGD=ACB，CDAB，EFAB，試說明1=2.【變式11.2】如圖，已知ADBC于D，EGBC于G，E=3，AD平分BAC嗎？若平分，請(qǐng)寫出推理過程；若不平分，試說明理由?！就卣固嵘緼. 夯實(shí)基礎(chǔ)1.能斷定1和2是對(duì)頂角的是（ ） A B C D2.下列說法正確的是（ ） A.三角形三條高所在的直線交于一點(diǎn). B.有且只有一條與已知直

11、線平行. C.垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直. D.從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這點(diǎn)到這條直線的距離.3.如圖，已知直線AB、CD交于點(diǎn)O，并且AOD=5AOC，則BOC= ，BOD= 度。 4.如圖，1=2，1+2=162°，求3、4度數(shù)。 5.如下圖所示：1和2是兩條直線_被直線_所截成的_角，A和3是兩條直線_被直線_所截成的_角，C和ABC是兩條直線_被直線_所截成的_角。 6.下列圖形中，1和2是同位角的個(gè)數(shù)有（ ） A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)7.如下圖，DE/BC，DBE=，EBC=，求BDE，BED的度數(shù).8.如下圖，將直尺與三角尺按如圖方式疊放

12、在一起，在圖中標(biāo)記的角中，則與1互余的角是_。B.能力拓展9.如圖，AB、CD相較于點(diǎn)O，1：2=2：3，AOC=50°。則2=_. 10.如圖，POOB，OCPB，OP=3cm，OB=2cm，則點(diǎn)B到OP的距離是 cm，P到OB的距離是_cm，OB、OC、OP三條線段中，_最短，理由是 .11.下圖是舉世聞名的三層堆考古中發(fā)掘出的一個(gè)梯形缺玉片示意圖，工作人員從玉片上已經(jīng)量得A=，D=請(qǐng)你求出另外兩個(gè)角的度數(shù).12.已知：如下圖，BAP+APD=，1=2，求證：E=F.13.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OEAB，O為垂足，如果EOD=38°，AOC=_，COB=_.1

13、4.已知：如下圖，CDA=CBA，DE平分CDA，BF平分CBA，且ADE=AED，求證：ED/FB.15.已知：如下圖，1=2，3=4，5=6，求證：EDFB。相交線與平行線（二）【基礎(chǔ)回顧】1.具有下列關(guān)系的兩角：（1）互為補(bǔ)角；（2）同位角；（3）對(duì)頂角；（4）內(nèi)錯(cuò)角；（5）鄰補(bǔ)角；（6）同旁內(nèi)角，其中一定有公共頂點(diǎn)的兩角的對(duì)數(shù)為（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.判斷：（1） 不相交的直線叫平行線 （ ）（2） 兩條直線的關(guān)系只有相交，平行的兩種 （ ）（3） 在同一平面內(nèi)，兩條不同的直線的位置關(guān)系不相交就不行 （ ）（4） 在同一平面內(nèi)的兩條線段不相交，那么這兩條線段平行 （

14、）（5） 不相交的兩條射線一定是平行的兩條射線 （ ）（6） 兩條線段平行，實(shí)際上是指它們所在的直線平行 （ ）（7） 在同一平面內(nèi)，不可能兩條直線既不平行，也不相交 （ ）3.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線，必然（ ） A.相互平行 B.互相垂直 C.互相重合 D.無法確定4.如圖，量得1=80°，2=80°，由此可以判定_ _，它的根據(jù)是 ，量得3=100°，4=100°，由此可以判定_ _，它的根據(jù)是 。 5.如圖，直線a、b被直線c所截，下列說法正確的是（ ） A. 當(dāng)1=2時(shí)，一定有ab B. 當(dāng)ab時(shí)，一定有1=2 C. 當(dāng)ab時(shí)，

15、一定有1+2=90° D. 當(dāng)ab時(shí)，一定有1+2=180°6.如圖，下列說法中錯(cuò)誤的是（ ） A.由1=B，得AB/CE B.由3=A，得AB/CE C.由2+3+B=，得AB/CE D.由2=A，得AB/CE7.如圖，AB/CE，若1=，則2的度數(shù)是（ ） A.45 B.90 C.30 D.1358.將圖形A向右平移3個(gè)單位得到圖形B，再將圖形B向左平移4個(gè)單位得到圖形C，如果直接將圖形A平移到圖形C，則平移的方向和距離為（ ） A.向右平移1個(gè)單位 B.向左平移1個(gè)單位 C.向右平移7個(gè)單位 D.向左平移7個(gè)單位【點(diǎn)點(diǎn)精練】 知識(shí)點(diǎn)1 兩直線平行的判定方法【例1.1】

16、如圖，直線a、b被直線c所截，現(xiàn)給出四個(gè)條件：1=5；1=7；2+3=180°；4=7，其中能判定ab的條件的是（ ） A. B. C. D.【變式1.1】如圖，在ABC中，DEF分別在ABBCAC上，且EFAB，要使DFAB，需要的條件是（ ） A.1=2 B.1=DFE C.1=AFD D.2=AFD【例1.2】如圖所示，已知BED=B+D，試說明AB與CD的位置關(guān)系。 【變式1.2】如圖：折線APB是夾在兩平行線l、m之間的一條折線；（1）探求x與a、b之間的關(guān)系；（2）改變問題中的某些條件，又有怎樣的結(jié)論?【例1.3】小明到工廠去進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)工人師傅生產(chǎn)了一種如圖所

17、示的零件，要求ABCD，BAE=30°，AED=70°。小明發(fā)現(xiàn)工人師傅知識(shí)量出BAE=30°，AED=70°后，又量出EDC=40°，就說AB與CD肯定是平行的，你知道原因嗎？ 知識(shí)點(diǎn)2 平行線的性質(zhì)【例2.1】完成下面的證明：已知，如圖，ABCDGH，EG平分BEF，F(xiàn)G平分EFD求證：EGF=90° 證明：HGAB，（已知） 1=3 （ ） 又HGCD，（已知） 2=4 （ ） ABCD，（已知） BEF+ =180°（ ） 又EG平分BEF，（已知） 1= _ （ ） 又FG平分EFD，（已知）2= _ （ ） 1+

18、2= （ _ + _ ）1+2=90° 3+4=90°（ ）即EGF=90°【例2.2】如圖，已知ab，cd，1100°，求2、3、4的度數(shù)?！咀兪?.2】如圖，ABCD，ADAC，ADC=32°，則CAB的度數(shù)是 【例2.3】如圖所示，直線ab，則ACB= 【變式2.3】如圖，已知ABCD，C=75°，A=25°，則E的度數(shù)為 ?！纠?.4】如圖，把長(zhǎng)方形ABCD沿EF對(duì)折后使兩部分重合，若1=50°，則AEF=（ ） A.110° B.115° C.120° D.130°

19、【變式2.4】如圖，已知ABCD，A=C，求證：AECF。 知識(shí)點(diǎn)3 平行線的綜合應(yīng)用【例3】如圖，EF/AD，1=2，BAC=，將求AGD的過程填寫完整. 解：因?yàn)镈F/AD，所以2=_( ) 又因?yàn)?=2，所以1=3（ ） 所以AB/ ( ) 所以BAC+_=( ) 因?yàn)锽AC=，所以AGD=_.【變式3】如圖，BD是ABC的平分線，ED/BC，F(xiàn)ED=BDE，則EF也是AED的平分線，完成下列推理過程： BD是ABC的平分線，（已知） ABD=DBC( ) DE/BC(已知) BDE=DBC（ ） ABD=BDE(等量代換) 又FED=BDE(已知) EF/BD( ) AEF=ABD(

20、) AEF=FED( ) 所以EF是AED的平分線（角平分線的定義） 知識(shí)點(diǎn)4 添平行線【例4】如下圖，已知AB/CD，B=30，D=40，求E.【變式4】已知，如下圖AB/CD，求證：B+D+F=E+G 知識(shí)點(diǎn)5 平行線的綜合應(yīng)用（證明）【例5】如下圖，已知BE/AO，2=3，3+4=，DECD，證明：5=6【變式5】如下圖，已知ADBC，EFBC，1=C，證明：2=3.知識(shí)點(diǎn)6 平行線的綜合應(yīng)用（證明）【例6】如下圖，已知CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，EDC+ECD=90°，求證：DAAB【變式6】如下圖，已知CBAB，DAAB,CE平分BCD，EDC+ECD=，求證：DE平分ADC 知識(shí)點(diǎn)7 利用平移求長(zhǎng)度【例7】如下圖，多邊形的相鄰兩邊互相垂直，則這個(gè)多邊形的周長(zhǎng)為 . 【變式7】如下圖，在高為2m，水平距離為3m的樓梯的表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需多少米？ 知識(shí)點(diǎn)8 利用平移求面積【例8】圖形的操作過程如圖所示（本題中四個(gè)矩形水平方向的長(zhǎng)均為a，豎直方向的長(zhǎng)均為b）.在圖中，將折線A1A2A3向右平移1個(gè)單位得到封閉圖形A1A2A3B3B2B1（即陰影部分）請(qǐng)回答下列問題：（1）在圖中，請(qǐng)你類似地畫一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線，同樣向右平移1個(gè)單位，從而得到一個(gè)封閉圖形，并用斜線畫出陰影；（2）請(qǐng)你分別寫出上述三個(gè)圖形中除去陰