2016年遼寧省大連市高考數學二模試卷(理科)

1、第1頁（共22頁）2016 年遼寧省大連市高考數學二模試卷（理科）一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選 項中，只有一項是符合題目要求的1.（5 分）已知集合A= 1, 2 , B= （x, y） | x A, y A, x- y A，則 B 的子 集共有（）A. 2 個 B. 4 個 C. 6 個 D. 8 個2.（5 分）復數 z=1+ai （a R）在復平面對應的點在第一象限，且| 三，則 z 的虛部為（）A. 2B. 4 C. 2i D . 4i3.（5分）對于直線 m, n 和平面a, B,能得出a丄B的一個條件是（）A.mn,m/a,n

2、/BB.m 丄 n,aG B=m n?aC. m/n,n 丄B,m?aD.m/n,m 丄a,n 丄B4.（5 分） 執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入 x=1，則輸出 t 的值為（）開始卜丫輸入X/H円（5 分）已知an為等差數列，3a4+a8=36,則an的前 9 項和 S9=（A.6 B. 8C. 10 D. 125.第2頁（共22頁）則由該觀測數據算得的線性回歸方程可能是（）A. 、=0.4x+2.3 B. . =2x- 2.4 C. 、= 2x+9.5 D.、= 0.3x+4.4（5 分）已知變量 x 與 y 正相關，且由觀測數據算得樣本平均數=3, =3.5,A.7.9B. 17 C. 3

3、6 D. 81的圖象為（第3頁（共22頁）8. （5 分）如圖，網格紙上小正方形的邊長為 1,粗實（虛）線畫出的是某多面 體的三視圖，則該多面體的體積為（）0V卩 1 是點 D 在厶 ABC 內部（不含邊界）的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件10. （5 分）命題 p:? xo 0,厶,sin2xo+cos2x）a”是假命題，則實數 a 的取值范圍是（）A.av1B.avwVC. a1D.aA譏11. （5 分）過拋物線 C: y2=4x 的焦點 F 的直線 I 交 C 于 A, B 兩點，點 M （ - 1,2）,若祁?旋=0，則直線

4、I 的斜率 k=（）A.- 2 B.- 1 C. 1D. 212.(5分)函數 f(x)=eax-丄 lnx(a0)存在零點，貝 U 實數 a 的取值范圍是()aA.0vaw丄B. 0vaw C. aA丄 D. a AeJ*二、填空題:本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。把答案填在答題卡上的相 應位置上9.（5 分）D 是厶 ABC 所在平面內一點,11=入二，+ 丄（入讓 R),則 0V入V1,第4頁（共22頁）13. （5 分）將 3 本不同的數學書和 2 本不同的語文書在書架上排成一行，若 2 本語文書相鄰排放，則不同的排放方案共有 _種（用數字作答）14. （5 分）設

5、Fi、F2分別是雙曲線 C：=1 （a0, b0）的左右焦點，a2b2點M（a, b）.若/ MFiF2=30則雙曲線的離心率為 _.v （9*-?）Yn1_ ，若曲線 y=f（x）在點x-（3a+3）K垃0P（Xi，f（X）（i=1，2，3，其中 xi，X2，X3互不相等）處的切線互相平行，則 a 的取值范圍是_ .16. （5 分）若數列滿足：ai=0, a2=3 且（n- 1） an+i= （n+1） an- n 十 1 （n N*，n2）,數列bn滿足 bn=?,.？（丄）n-1,則數列bn的最大項為第_ 項.三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分，解答應寫出文字說明、證明過程或

6、演 算步驟.17. （12 分）已知 a, b, c 分別為 ABC 三個內角 A, B, C 的對邊，b=acosG3asinC（I）求 A;（U）若 a=2, b+c 4,求厶 ABC 的面積.18. （12 分）甲、乙兩名乒乓球運動員進行乒乓球單打比賽，根據以往比賽的勝 負情況，每一局甲勝的概率為：,乙勝的概率為 I，如果比賽采用 五局三勝制”（先勝三局者獲勝，比賽結束）.（1）求甲獲得比賽勝利的概率；（2）設比賽結束時的局數為 X,求隨機變量 X 的分布列和數學期望.19.（12 分）如圖，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB 丄 BC, A=2, AC=2, M 是CG 的中點

7、，P 是 AM 的中點，點 Q 在線段 BG 上，且 BQQG.3（1）證明：PQ/平面 ABC（第5頁（共22頁）（2）若直線 BA 與平面 ABM 成角的正弦值為一，求/ BAC 的大小.第6頁(共22頁)20.(12 分)已知橢圓 C:二-+.=1 (ab0)的離心率e=a2b2M 與橢圓左右兩個焦點構成的三角形周長為 4+2 _.(1) 求橢圓 C 的方程；(2) 如圖，設點 D 為橢圓上任意一點，直線 y=m 和橢圓 C 交于 A、B 兩點，且 直線DA、DB 與 y 軸分別交于 P、Q 兩點，試探究/ PF1F2和/QF1F2之間的等量 關系并加以證明.21.(12 分)已知函數

8、f (x) =lnx+kx (k R).(1) 當 k=- 1 時，求函數 f (x)的極值點；(2) 當 k=0 時，若 f (x) +邑-a0 (a，b R)恒成立，試求 ea-1-b+1 的最大x值；(3) 在(2)的條件下，當 ea-1- b+1 取最大值時，設 F(b)=U- m (m R)，b并設函數 F(x)有兩個零點呂，X2，求證：X1?x2e2.請考生在第 22、23、24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一個題計 分。做答時用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑題號選修 4-1:幾何證明選講22.(10分)已知點 C在圓O直徑 BE的延長線上， CA切圓O

9、于A點， CD分別 交 AE、，且橢圓上一點第7頁(共22頁)AB 于點 F、D,ZADF=45.(1) 求證：CD 為/ ACB 的平分線;(2) 若 AB=AC 求坐的值.BC選修 4-4 :坐標系與參數方程23. 在直角坐標系 xOy 中，以坐標原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標 系，已知圓 C 的極坐標方程為p=4sin.從極點作圓 C 的弦，記各條弦中點的軌 跡為曲線Ci.(1) 求 Ci的極坐標方程；(2) 已知曲線 I 的參數方程為，( ow av n，t 為參數，且 t 工 0)，l 與lytsinCLC 交于點 A，I 與 Ci交于點 B,且1，|=，求 a 的值.選

10、修 4-5:不等式證明選講24. 已知 a，b，c 均為正實數，且一+ 一 + 一 =1. a b c(1)證明：y 1.444第8頁（共22頁）2016 年遼寧省大連市高考數學二模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選 項中，只有一項是符合題目要求的1. （5 分）已知集合A= 1, 2 , B= （x, y） | x A, y A, x- y A，則 B的子集共有（）A. 2 個 B. 4 個 C. 6 個 D. 8 個【解答】解：集合 A=1, 2 , B= （x, y） |x A, y A, x-y A,-B=

11、 （2, 1） , B 的子集共有 2 個.故選：A.2.（5 分）復數 z=1+ai（a R）在復平面對應的點在第一象限，且|： ，則 z 的虛部為（ ）A. 2B. 4C. 2i D. 4i【解答】解：復數 z=1+ai （a R）在復平面對應的點在第一象限， a0, 一=1-ai. | 工| =乙二 |,=，解得 a=2.則 z 的虛部為 2.故選：A.3. （5 分）對于直線 m, n 和平面a, B,能得出a丄B的一個條件是（）A.mn,m/ a,n/ BB. m 丄 n, aG B=m n?aC. m/n,n 丄B,m?aD.m/n,m 丄a,n 丄B【解答】解：在 A 中，mln

12、, m/a, n/B,貝Ua與B相交或相行，故 A 錯誤； 在B 中,m 丄 n,an B=m n?a,貝U a與B不一定垂直,故 B 錯誤； 在 C 中，m/ n , n丄B,m?a,由由面面垂直的判定定理得a丄B,故 C 正確；第10頁（共22頁）在 D 中，m/ n,m 丄an 丄B,則由面面平行的判定定理得allB,故 D 錯誤. 故選：C.4.（5 分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入 x=1，則輸出 t 的值為（）A. 6B. 8 C. 10 D. 12【解答】解：模擬程序的運行過程，可得x=1, t=0執(zhí)行循環(huán)體，x=4, t=2不滿足條件 x 120，執(zhí)行循環(huán)體，x=13，t=4

13、不滿足條件 x 120，執(zhí)行循環(huán)體，x=40,t=6 不滿足條件 x 120，執(zhí)行循環(huán)體，x=121，t=8 滿足條件 x 120，退出循環(huán)，輸出 t 的值為 8. 故選：B.5.(5 分)已知an為等差數列，3a4+as=36,則an的前 9 項和 S9=()A. 9 B. 17 C. 36 D. 81【解答】解： an為等差數列，3a4+a8=36,3 (a1+3d) +a1+7d=4a1+16d=36,解得 a1+4d=a5=9,- S9= x(a+a9)=9a5=9x9=81.J故選：D.開始r=0A*-120結束是【解答】解：函數 f （x） =- x2- x+2,則函數 y=f （

14、- x） =-X2+X+2.函數的圖象故選：D.7. （5 分）已知變量 x 與 y 正相關，且由觀測數據算得樣本平均數 匚=3, 一=3.5, 則由該觀測數據算得的線性回歸方程可能是（）A.=0.4x+2.3 B. ,.=2x- 2.4 C.=-2x+9.5 D.=-0.3x+4.4【解答】解：變量 x 與 y 正相關，可以排除 C, D;樣本平均數匚=3, 一=3.5,代入 A 符合，B 不符合， 故選：A.8. （5 分）如圖，網格紙上小正方形的邊長為 1,粗實（虛）線畫出的是某多面 體的三視圖，則該多面體的體積為（）A. 64 B.C. 16 D.33【解答】解：根據三視圖知幾何體是：

15、三棱錐 D-ABC 為棱長為 4 的正方體 部分，第12頁（共22頁）直觀圖如圖所示：B 是棱的中點， 由正方體的性質得，CD 丄平面 ABC, ABC 的面積 S=4，2所以該多面體的體積7= *=，33故選：D.0V卩 1 是點 D 在厶 ABC 內部（不含邊界）的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解：若血=麗+點（入 氏 R）,點 D 在厶 ABC 內部，貝U0V :V1，0VV1，反之不成立，例如，卩 時，點 D 為邊 BC 的中點. 0V :V1, 0V卩 1 是點 D 在厶 ABC 內部（不含邊界）的必要不充分條件.故選

16、：B.10. （5 分）命題 p: ? x 0, , sin2x0+cos2x）a”是假命題，貝 U 實數 a 的取值范圍是（）A.av1B.av： C. a1D.a :【解答】解：？x 0,sin2x）+cos2x3a”是假命題，即? x 0, , sin2x+cos2xa 是真命題，9. （5 分）D 是厶 ABC 所在平面內一點,L-11=入二+小丄（入讓 R） ， 則 0V入V1,第13頁(共22頁)由 sin2x+cos2x= sin (2x+) 0)存在零點，貝U實數 a 的取值范圍是()aA.0vaw 1B. 0vaw-C. aJD. a【解答】解：先考慮函數 f (x) =ax

17、與 g (x) =logax (a 1)圖象僅有一個交點， 且在公共點處有公共的切線，a 的值.兩函數互為反函數，則該切線即為 y=x,設切點 A,丄可求出 A (e, e),此時 a=e .f1，解得:第14頁(共22頁)若 ae -時，貝 U f (x) =ax與 g (x) =logax (a 1)無公共點；丄若 1vave -時，則 f (x) =ax與 g (x) =logax (a 1)有兩個公共點.對 f (x) =eax-丄 Inx (a0),換元令 t=ea，即得 tx=iogx,a由上知 1vea=t e ，得 Ova0, b0)的左右焦點,點 M (a, b).若/ MR

18、F2=30則雙曲線的離心率為 2 【解答】解：由題意可得 F1(- c,0), M (a, b),直線 MF1的斜率為 tan30 -,第15頁(共22頁)即有丄丄,a+c 3即 a+c=二 b,平方可得(a+c)2=3b2=3 (ca2) =3 (c+a) (c- a),化簡可得 a+c=3 (c- a),即為 c=2a,可得 e= =2.a故答案為：2.Pi(Xi，f (x) (i=1，2，3，其中 xi，X2，X3互不相等)處的切線互相平行，則 a的取值范圍是(-1, 2)曲線 y=f (x)在點 Pi(Xi, f (x) (i=1, 2, 3，其中 xi, x2, x 互不相等)處的切

19、線互相平行，即 y=f(x)在點 R (Xi, f (x) 處的值相等.當 x 2a- 2,當 x0 時，f(x)必須滿足，a2日-2a+l0 ， 1vav2,故答案為(-1, 2)16. (5 分)若數列滿足：a1=O, a2=3 且(n- 1) an+1= (n+1) an- n 十 1 (n N*,n2),數列bn滿足 bn=應訐?Jqn+i+i?(普)n-S 則數列bn的最大項為第 6 項.【解答】解：(n- 1) an+i= (n+1) an- n 十 1 (n N*, n2),15. (5 分)已知函數(x)(2a_2)KSx_(3a+3) xaxs x0，若曲線 y=f (x)在

20、點【解答】解:函數 f(x)=x-(3ad-3)Kax罠0-2x+2a-2, xVO3(a+1) i+a,葢0第16頁（共22頁）nan+2= (n+2) an+i- n.兩式相減，得：nan+2- nan+i= (n+1) an+i-( n+1) a.- 1,兩邊同時除以 n (n+1),整理得：_豈旦=-(n N , n2),n+1n又.a1=0, a2=3, a3=3a2 1=8,廠 77=2一亠=2: ,.,.、+=：二WTn，.申,一.,a_i_ai_1由累乘法可知 an- an-1-仁?r?？-?一an-l_an-2_1an-2_an-3_1a2_a1_11=:廠.?門-?？ ?2

21、n-2 n-31=2 (n- 1), an an-1=1+2 (n- 1) =2n- 1 (n2)由累加法可知：an=(an- an-1) +(an-1- an-2)+(a3-a2)+(a2- a。+a=(2 n-1)+2(n-1)-1+(2X3-1)+(2X2-1)=2 (2+3+-+n)-( n- 1)=2? 21)(出2)- n+12=n2- 1 (n2),又 a1=0 滿足上式，an=n2- 1 ,bn=？,?( |)=n (n +1) ?(+)n-1,令 f (x) =x (x+1) ? ()x-1,通過求導、計算可得草圖如圖,故數列bn的最大項為第 6 項,故答案為：6.第17頁（

22、共22頁）三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演 算步驟.17. （12 分）已知 a, b, c 分別為 ABC 三個內角 A, B, C 的對邊，b=acosG - asinC(I) 求 A;（U）若 a=2, b+c 4,求厶 ABC 的面積.【解答】 解：（1）在厶 ABC 中，Tb=acos（+ - asinC,3.b、，界+/-cVsiC-b=ax+ asinC.Sab 3即 b2+c?- a2= 一 absinC.又Tb2+c2-a2=2bccosA二 asinC=ccosA3 sin Asi nC=si nCcosA3 tanA= ；.A

23、= .3（2）由余弦定理得：cosA=，b +c=bc+42bc，bc4,.( b+c) =3bc+4 16, bc4.bc=4.SxABC= = _一 一;.18. （12 分）甲、乙兩名乒乓球運動員進行乒乓球單打比賽，根據以往比賽的勝 負情況，每一局甲勝的概率為：，乙勝的概率為 I，如果比賽采用五局三勝制33（先勝三局者獲勝，比賽結束）.（1） 求甲獲得比賽勝利的概率；（2） 設比賽結束時的局數為 X,求隨機變量 X 的分布列和數學期望.【解答】解：（1）甲獲得比賽勝利包含三種情況：甲連勝三局；前三局甲兩勝一負，第四局甲勝；前四局甲兩勝兩負，第五 局甲勝.甲獲得比賽勝利的概率：p=）2）T

24、 .=.（2）由已知得 X 的可能取值為 3, 4, 5，P（X=3）=：=，P （X=4） 丄.?.+；：亍，曹.x=:，P（ X=5） =C : （）2J）2x：+C ;J）2（；）2x=，隨機變量 X 的分布列為:X345P110832727數學期望 EX= .19. （12 分）如圖，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB 丄 BC, AA=2，AC=2 匚，M 是CC 的中點，P 是 AM 的中點，點 Q 在線段 BG 上，且 BQQG.J（1） 證明：PQ/平面 ABQ第19頁（共22頁）（2） 若直線 BAi 與平面 ABM 成角的正弦值為，求/ BAC 的大小.第20頁（共

25、22頁）CiA/【解答】證明：（1）分別以 BA, BC, BB 為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標 系B- xyz，如圖所示：匸EE；=0, PQ?平面 ABC, PQ/ 平面 ABC.,令 z=1 得= (0, -1, 1).b.- BAAcos =.,1|隅丨|口|( a2+4) (一 ) =15.b2 AC=2 二,Aa2=8-.( 12 - b2)| ) =15.解得 b=曲BAC=；=./ BAC=30.Ai設 AB=a, BC=b,則 A (a , 0 , 0), B (0 , 0 , 0), M (0 , b , 1), C (0 , b , 2).一 -,-B , 0

26、).242)為平面 ABC 的一個法向量.AP傳,導卻，Q（0, I,寺吊（弋 BB 丄平面 ABC,、二(0 ,0,(2) A1(a,0,2), ；, =(a,0,2), BA= (a, 0, 0), BM= (0, b, 1),設平面 ABM 的法向量為 產（x.y,z）,則、n*BA=OTi5tax=OLby+z=O2 一 =2/15=第仃頁（共22頁）CiB20. （12 分）已知橢圓 C： +=1 （ab0）的離心率 e=，且橢圓上一點 aEb22M 與橢圓左右兩個焦點構成的三角形周長為 4+2 匚.（1） 求橢圓 C 的方程；（2） 如圖，設點 D 為橢圓上任意一點，直線 y=m

27、和橢圓 C 交于 A、B 兩點，且 直線 DA、DB 與 y 軸分別交于 P、Q 兩點，試探究/ PF1F2和/QF1F2之間的等量 關系并加以證明.【解答】（1）解：由題意可得：e= - ，2a+2c=4+2:，又 a2=b2+c2. 2 a聯(lián)立解得：a=2, b=c=2 2橢圓 C 的方程為：=1.42（2）解：/ PFF2+/QF1F2=90下面給出證明：F10 (a, b R)恒成立，則 Inx+ - a0 xx(a, b R)恒成立，a0,函數在(0, b)上單調遞減，在(b, +%)上單調遞增，.a lnb+1,.a- K Inb ,.ea-1- b+1 1,.ea-1- b+1

28、的最大值為 1;取 A (- 廠，m), B (，m).直線 DA 的方程為：y- yo=(x- xo),可得 PJ.L-y 4-2m* 1 2 3x0如-yp)x 0V4-2+x0+y同理可得：直線 DB 的方程為：y - yo=一44-2D2K0(x - xo),可得 Q l- 1+y)inx0+y0V42m2PFLV2(74-2ia2+ K0)-inx j+y-Sip227 =2-yo(4-2m2)-n2xV2(74-2111+x0) V2(V4-2IO_KQ)2(4-2m2-Xn)mxo +yndA4-ZIP222 2 O OX X2 2m m22 2 O-O-X X2 2W=1.第2

29、3頁（共22頁）(3)證明： 由(2)可知 a-仁 Inb, F (b)=匕：-m, . F (x)- mbx X1、X2為函數 F (x)的兩個零點，不妨設 0VX1e2等價于 Inx1+Inx22? m (x1+x2)2,lnx1-lnx991-x n)? In ,X j-I 2X +工 2耳 2x J + XjAA 1 令一=t，則 OvtV1,2(X1-X2)In 一 -:- ? Int K2口 + 巾t+1設 g (t)=lnt-1, (0vtv1),t+1 g (t)=0,.函數 g （t ）在（1, +x）是遞增, g (t)g (1) =0 即不等式 lnt上成立, t+1故所

30、證不等式 xi?x2 e2成立請考生在第 22、23、24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一個題計 分。做答時用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑題號 選修 4-1：幾 何證明選講22.(10 分)已知點 C 在圓 0 直徑 BE 的延長線上， CA 切圓 0 于 A 點， CD 分別 交 AE、AB 于點 F、D，ZADF=45.(1) 求證：CD 為/ ACB 的平分線；(2) 若 AB=AC 求坐的值.BC第24頁(共22頁)【解答】(1)證明：CA 切圓 0 于 A 點，由弦切角定理，可得/ CAE2B BE 為圓 0 的直徑/DAF=90vZADF=45，/ADF=/ AFDZACE+ZCAEN B+ZBCD/ACD=/ BCD CD 為ZACB 的角平分線；(2)解：若 AB=AC 則ZCAE=/ B=ZACB=30