(新)積分第一中值定理及其推廣證明

1、2.1積分第一中值定理證明積分第一中值定理：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，g(x)在(a,b)上不變號(hào)，并且g(x)在閉區(qū)間a,b上是可積的，則在a,b上至少存在一點(diǎn)，使得bba f (x)g(x)dx f( ) a g(x)dx, (a b)成立。證明如下：由于g(x)在閉區(qū)間a,b上不變號(hào)，我們不妨假設(shè)g(x) 0，并且記f(x)在閉區(qū) 間a,b上的最大值和最小值為M和m，即m f (x) M，我們將不等式兩邊同 乘以g(x)可以推出，此時(shí)對(duì)于任意的x a,b都會(huì)有mg(x) f (x)g(x) Mg(x)成立。對(duì)上式在閉區(qū)間a,b上進(jìn)行積分，可以得到bbbm g(x)dx f (

2、x)g(x)dx M g(x)dx。aaa此時(shí)在m, M之間必存在數(shù)值，使得mM，即有bbf (x)g(x)dx g(x)dx aa成立。由于f(x)在區(qū)間a,b上是連續(xù)的，則在a,b上必定存在一點(diǎn)，使f()成立。此時(shí)即可得到bbf(x)g(x)dx f( ) g(x)dx，aa命題得證。2.2積分第一中值定理的推廣定理：(推廣的第一積分中值定理)若函數(shù)f(x)是閉區(qū)間a,b上為可積函數(shù),g(x)在a,b上可積且不變號(hào)，那么在開區(qū)間(a, b)上至少存在一點(diǎn)，使得(a,b)bf(x)g(x)dx f ( ) g(x)dx,a成立。推廣的第一積分中值定理很重要，在這里給出兩種證明方法。證法1:由

3、于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上是可積的，g(x)在a,b上可積且不變號(hào)，令F(x)xxa f(t)g(t)dt，G(x) 。g(t)dt，很顯然 F(x),G(x)在a,b上連續(xù)。并且F(a)b0, F(b) f(t)g(t)dt， G(a) O,G(b)bg(t)dt，F(xiàn) ( ) f( )g()，aG( ) g(由柯西中值定理即可得到F(b) F(a) F () G(b) G(a) G (a,b)，化簡(jiǎn)，即bf(t)g(t)dt abag(t)dtf(g()g(根據(jù)上式我們很容易得出bf( ) g(t)dt, (a,b)，a命題得證。證法2:由于函數(shù)g(x)在a,b上可積且不變號(hào)，我們不妨假

4、設(shè)g(x) 0。而函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上可積，我們令 m inf f (x) |x a,b，M sup f (x) | x a,b假設(shè)F(x)是f(x)在閉區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)，即F (x) f (x), x a,b。我們就可以得到下面等式bm & g(x)dxbbf (x) g(x)dx M g(x)dx (2.2.1 )aa此時(shí)由于g(x) 0，貝U會(huì)有g(shù)(x)dx 0，由于存在兩種可能性，那么下面我們a就要分兩種情況以下我們分兩種情形來(lái)進(jìn)行討論:b(1).如果g(x)dxab0，由等式(2.2.1 )可得出 f(x)g(x)dx 0，那么對(duì)a于 (a,b)都有bbf(x

5、)g(x)dx 0 f( ) g(x)dxaa恒成立。bb(2).如果 g(x)dx 0，將(2.2.1 )除以 g(x)dx 可得aaf (x)g(x)dx)g(x)dx我們記f (x)g(x)dx(2.2.3 )g(x)dx此時(shí)我們又分兩種情形繼續(xù)進(jìn)行討論:(I)如果(2.2.2 )式中的等號(hào)不成立，即有mf (x)g(x)dxM成立,g(x)dx則此時(shí)一定就存在m M，可以使得mf(G7f (X2)M，我們不妨假設(shè)XiX2，這其中xiX a, b。因?yàn)镕 (x) f (x)， x a,b，則會(huì)有F (xjf (Xi)f (X2)F (X2)。此時(shí)至少存在一點(diǎn)(為，X2)，使得F()f()

6、，即有baf (x)g(x)dxf()ba"：x)dx,(X1,X2)a,b成立，從而結(jié)論成立。()如果(2.2.2 )式中僅有一個(gè)等號(hào)成立時(shí)，我們不妨假設(shè)M，因時(shí)，為bg(x)dx 0，此時(shí)一定存在區(qū)間a,b, (a,b)(其中a, b,)，使得 a恒有g(shù)(x) 0成立,我們可以將(2.2.3 )式進(jìn)行簡(jiǎn)化bba g(x)dx a f(x)g(x)dx，aa因?yàn)?M，貝U有bM f(x)g(x)dx 0 (2.2.4 )a而且我們已知Mf(x)g(x)0，則Xib0 M f (x)g(x)dx M f (x)dx 0。yia于是M f(x)g(x)dx 0 ()y1在式子(2.2.5 )下必定存在a (a,b)，使得f ( ) M。如果不存在一個(gè)a (a,b)，使得f ( ) M，則在閉區(qū)間洛,上必定有M f(x) 0及g(x) 0成立，從而使得M f(x)g(x)0。q如果a M f (x)g(x)dx 0，由達(dá)布定理在印心上有M f (x)g(x)0，這與M f