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1、?uUi 1 2Ui Ui 1中心差分法計(jì)算程序編程:澤偉學(xué)號(hào):一、中心差分法程序原理說(shuō)明1.1中心差分法思路中心差分法的基本思路:是將運(yùn)動(dòng)方程中的速度向量和加速度向量用位移的某種組合來(lái)表示,將微分方程組的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的求解問(wèn)題,并在 時(shí)間區(qū)間求得每個(gè)微小時(shí)間區(qū)間的遞推公式,進(jìn)而求得整個(gè)時(shí)程的反應(yīng)。1.2中心差分法原理中心差分法只在相隔 t 一些離散的時(shí)間區(qū)間滿足運(yùn)動(dòng)方程,其基于有限差 分代替位移對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)(即速度和加速度),如果采用等時(shí)間步長(zhǎng),ti 則速度與加速度的中心差分近似為:Ui 1 Ui 1(a)2 t(b)而離散時(shí)間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為? ?Uiu(ti),Uiu(ti), U
2、i?U(ti)( i 0,123, )? ?由體系運(yùn)動(dòng)方程為:譏山)cu(t) ku(t) 0(c)將速度和加速度的差分近似公式(a)和式(b)代入式(c)可以得到ti時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程:mU2U2 Ac仏亠 kui 0t22 t(d)在(d)式中,假設(shè)Ui和Ui 1是已知的,即在ti及ti以前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)已知,可以把已知項(xiàng)移到方程的右邊,整理得到:c、屮1(k2m2)ui(e)由式(e)就可以根據(jù)1及1以前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng),求得時(shí)刻的運(yùn)動(dòng),如果需 要可以用式(a)和式(b)求得體系的速度和加速度1.3初始條件轉(zhuǎn)化假設(shè)給定的初始條件為Uou(0),? ?(g)U0u(0),由式(g)確定u 1。在零時(shí)刻速
3、度和加速度的中心差分公式為:U1U0U 1(h)2 t?U12u 0U 1U0,2、t(i)?2 ? t -U 1 U0tU0 -U0將式(i)消去U1得:2(j)? ?而零時(shí)刻的加速度值U0可以用t = 0時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程mU0 cu0 ku00確定?1 ?U0(CU0kU)即m(k)這樣就可以根據(jù)初始條件U0,U0和初始荷載Po,就可以根據(jù)上式確定U1的 值。1.4中心差分法編程思路 基本數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和初始條件計(jì)算: ? 1 ?U0( CU0 ku0)m? 2 ? t .u 1 u0 t u0 uo2 計(jì)算等效剛度和中心差分計(jì)算公式中的相關(guān)系數(shù):2mt2m ct22 t 根據(jù)1及1以前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng),
4、計(jì)算ti 1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng):P aui bui iUi i P kUi 1 Ui 12 t?uui 1 2ui ui 1 下一步計(jì)算用i+1代替i,對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu)體系,重復(fù)第 3步,對(duì)于非線性結(jié)構(gòu)體系,重復(fù)第2步和第3步1.5中心差分法穩(wěn)定條件2以上為中心差分法逐步計(jì)算公式,其具有 2階精度,即誤差 ( t);并且為有條件穩(wěn)定,穩(wěn)定條件為:二、程序框圖根據(jù)中心差分法的原理,可以得出本程序的主要程序思想,以下面框圖的形式展示出來(lái):計(jì)算初始加速度和位移前一時(shí)刻值4開始循環(huán)體(步數(shù)控制)計(jì)算等效剛度和系數(shù)a、bI計(jì)算位移、速度、加速度并保存分析穩(wěn)定條件L4繪圖L_三、程序清單%m,k,c分別為質(zhì)量、剛度
5、、阻尼%pO,dt,t分別為外荷載幅值、時(shí)間步距、總時(shí)間%uO,vO為初始條件初位移和初速度%u,v,ac分別為位移、速度、加速度反應(yīng)ek=等效剛度;p=荷載;ep=等效荷載%定義矩陣XO=input(請(qǐng)按格式和順序輸入初始矩陣,如XO=m,k,c,uO,vO,t,PO,dt,m=X0(1,1);k=X0(1,2);c=X0(1,3);u0=X0(1,4);%分別取出其中的參數(shù):v0=X0(1,5);t=X0(1,6);P0=X0(1,7);dt=X0(1,8)t=O:dt:t;%將時(shí)間分步,米用等時(shí)間步長(zhǎng);mm, nn =size(t);%計(jì)算t的向量長(zhǎng)度,得出步數(shù);u=zeros(size
6、(t);%設(shè)定存儲(chǔ)u的矩陣;v=zeros(size(t);ac=zeros(size(t);u(:,2)=u0;v(:,2)=v0;ac(:,2)=(P0-c*v(:,2)-k*u(:,2)/m;u(:,1)=u(:,2)-dt*v(:,2)+(dt)A2)*ac(:,2)/2;ek=m/(dtA2)+c/(2*dt);a=k-(2*m)/(dtA2);b=m/(dtA2)-c/(2*dt);p(:,2)=P0*si n(0);ep(:,2)=p(:,2)-a*u(:,2)-b*u(:,1);u(:,3)=ep(:,2)/ek;for i=3:nn算;p(:,i)=P0*si n(.5*pi
7、*(i-2)*dt);算;ep(:,i)=p(:,i)-a*u(:,i)-b*u(:,i-1);% 得出所需要結(jié)果u(:,i+1)=ep(:,i)/ek;v(:,i)=(u(:,i+1)-u(:,i-1)/(2*dt);ac(:,i)=(u(:,i+1)-2*u(:,i)+u(:,i-1)/(dtA2);%設(shè)定存儲(chǔ)v的矩陣;%設(shè)定存儲(chǔ)ac的矩陣;%賦值向量第2項(xiàng)為uO ;%賦值向量第2項(xiàng)為vO ;%求出初始加速度acO ;%計(jì)算初始條件u-1項(xiàng);%計(jì)算等效剛度;%計(jì)算方程系數(shù);%給出初始荷載條件;%計(jì)算初始等效荷載;%計(jì)算位移u仁u(:,3)%從第二項(xiàng)開始進(jìn)行中心差分法計(jì)%給出荷載條件,按照簡(jiǎn)
8、諧荷載計(jì)%計(jì)算等效荷載;%計(jì)算位移量;%計(jì)算速度量;%計(jì)算加速度量;endt=t(:,1:e nd-1);u=u(:,2:e nd-1);v=v(:,2:e nd);ac=ac(:,2:e nd);p=p(:,2:e nd);ep=ep(:,2:en d);% 繪制位移、速度、加速度時(shí)程曲線 %plot(t,u,b-o),hold on, plot(t,v,g-p),hold on, plot(t,ac,r:x),grid on ,xlabel(時(shí)間(s),ylabel(位移(m)速度(m/s)加速度(m/sA2),title(頂層 u,v,ac 的時(shí)程曲線);subplot(3,1,1),p
9、lot(t,u,b-),grid,xlabel(時(shí)間(s),ylabel(位移(m),title(位移u的時(shí)程曲線);legend(位移u)subplot(3,1,2),plot(t,v,k),grid,xlabel(時(shí)間(s),ylabel(速度(m/s),title(速度v的時(shí)程曲線);legend(速度v)subplot(3,1,3),plot(t,ac,r),grid,xlabel(時(shí)間(s),ylabel(加速度(m/sA2),title(加速度ac的時(shí)程曲線);legend(加速度ac)四、輸入數(shù)據(jù)本程序采用單自由度體系進(jìn)行計(jì)算,主要已知參數(shù)信息如下:其質(zhì)量 M=9240kg、剛度
10、 K= 1460KN/m、阻尼系數(shù) C 6-41kN?s/m,對(duì) 結(jié)構(gòu)施加動(dòng)力荷載P 73000s巾(0.5t)N,結(jié)構(gòu)周期T=0.05s ,初始位移 Uo 0.05m,初始速度v 0m/s,假設(shè)結(jié)構(gòu)處于線彈性狀態(tài)。由中心差分法可知, 要使計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定且不發(fā)散,需滿足:時(shí)間步長(zhǎng) t0.159s,本例分別取時(shí)間步長(zhǎng)為0.1s、0.15s、0.17s、0.2s分別進(jìn)行計(jì)算,并驗(yàn)證其穩(wěn)定條件,取總時(shí)間為30s。則:X0=9240 1460000 6410 0.05 0 20 73000 0.05五、計(jì)算結(jié)果當(dāng) dt=0.1s:時(shí)間眉) 抑速度凱的時(shí)程曲線 10111 ;11 nlitrtAftftA
11、jla- r_ _-._ _1加速度機(jī)!|0-1%510152025時(shí)間闔30時(shí)間倒 速度的時(shí)程曲線當(dāng) dt=0.15s 時(shí):速度射的時(shí)程曲線05101520時(shí)間何 加速度眈的時(shí)程曲絨2630iii加速度眈j:fc-I 1510152025時(shí)間BG030當(dāng) dt=0.17s 時(shí):0rr11位移d1I:;r;-壽位移社的時(shí)程曲線51015202530時(shí)間軻速度燈的時(shí)程曲線20E:11速度11ii1 12530x 1051101520吋間抑速度祉的時(shí)程曲線1I:;:加速度白訂:::V1i1015時(shí)間2025301 O 1當(dāng) dt=0.2s 時(shí):rI:”1位移uVha”rii:I16位移的時(shí)程曲線101520時(shí)間熾)速度牛的時(shí)程曲線2530由以上時(shí)程圖可以得到當(dāng)!9:-1速度甲1一:ij1K 100-5051015202630時(shí)間訂評(píng)加速度祉的時(shí)程曲線*加速度白cii7r1151IiIIi051015202530時(shí)間包六、結(jié)果穩(wěn)定性分析t = 0.1 ,0
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