相似三角形培優(yōu)精彩試題

1、1、(本題滿分7分)AD相交于點(diǎn)N.求證：(1)AE=CG；(2)AN DN=CN MN.2、(本題滿分7分)如圖11,已知ABC的面積為3,且AB=AC現(xiàn)將到EFA.(1)求四邊形CEFB的面積；(2)試判斷AF與BE的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若/BEC=15:求AC的長.圖10如圖10,四邊形ABCDDEFGtB是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)MCG與ABC沿CA方向平移CA長度得3、如圖，在平行四邊形ABCN,過點(diǎn)A作AE，BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點(diǎn)，且/AFE=/B.(1)求證：ADMDEC(2)若AB=4,AD=3J3,AE=3,求AF的長.4、如圖

2、(4),在正方形ABCD中，E、F分別是邊ADCDh的點(diǎn)，AE=E,DD=F1，連結(jié)EF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G.4(1)求證：ABEs/XDEF；(2)若正方形的邊長為4,求BG的長.圖(4)5.如圖(15),在梯形ABCD中，DC/AB,/A=90,AD=6厘米，DC=4厘米，BC的坡度i=3：4,動點(diǎn)P從A出發(fā)以2厘米/秒的速度沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以3厘米/秒的速度沿BTCTD方向向點(diǎn)D運(yùn)動，兩個動點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止.設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動的時間為t秒.(1)求邊BC的長；(2)當(dāng)t為何值時，PC與BQ相互平分；(3)連結(jié)PQ,設(shè)4PBQ的

3、面積為y,探求y與t的函數(shù)關(guān)系式，求t為何值時，y有最大值？最大值是多少？6 .(本題滿分9分)一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m,面積為1.5宿，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，請甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行設(shè)計加工方案，甲設(shè)計方案如圖1,乙設(shè)計方案如圖2.你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計的方案較好？試說明理由.(加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中可保第6題圖留分?jǐn)?shù))圖1圖27、如圖1,O為正方形ABCD勺中心，分別延長OAODU點(diǎn)F、E,使OF=2OAOE=2OD連接EF.將EOF繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)a角得到E1OF1（如圖2）.（1）探究AE1與BF1的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2）當(dāng)a=30時，

4、求證：AOE偽直角三角形.8、（本題滿分12分）將矩形ABCD氏片沿又角線AC剪開， 得到ABCACD,如圖1所示.將ACD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)DNA）、B在同一條直線上，如圖2所示.觀察圖2可知：與BC相等的線段是,/CAC=.圖1圖2問題探究如圖3,ABC,AGLBC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn)， 分別以ABAC為直角邊， 向ABC外作等腰RtABE和等腰RtAACI過點(diǎn)E、F作射線GA勺垂線，垂足分別為P、Q試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.拓展延伸如圖4,ABC中，AGLBC于點(diǎn)G,分另ij以ABAC為一邊向AB卜作矢|形ABM庫口矩形ACNF射線

5、GA交EF于點(diǎn)H若AB=kAEAC=kAF,試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.9.(本小題12分)如圖，有一塊塑料矩形模板ABCD長為10cm,寬為4cm,將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上(不與AD重合)，在AD上適當(dāng)移動三角板頂點(diǎn)P:(1)、能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C?若能，請你求出這時AP的長；若不能，請說明理由；(2)、再次移動三角板的位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動，直角邊PH始終通過點(diǎn)B,另一直角邊PF與DC的延長線交于點(diǎn)Q,與BC交于點(diǎn)E,能否使CE=2cm若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你說明理由。參考答案1、證明：（1）丫

6、四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形,AD=CD,DE=DG,.ADC=/EDG=90，AZADE=ZCDG,.AADEACDG,3分二AE=CG4分（2）由（1）得AADE三ACDG/./DAE=NDCG,又/ANM=NCND,：AMI.：CDN2、解：（1）由平移的性質(zhì)得AFBC且AF=BC,AEFAAABC,二四邊形AFBC為平行四邊形，J.四邊形EFBC的面積為9.3分（2）BE_LAF.證明如下：由（1）知四邊形AFBC為平行四邊形二BFAC且BF=AC,又AE=CA4.BFAE且BF=AE,四邊形EFBA為平行四邊形又已知AB=AC,.AB=AE,二平行四邊形EFBA為菱形，:

7、BE_LAF5分BD_LAC于D,丫/BEC=15:AE=AB,./EBA=/BEC=15:二/BAC=2/BEC=30：在RtBAD中，AB=2BD.設(shè)BD=x,貝UAC=AB=2x,丁S&BC=3,且SaBC=1AC*BD=；2x,x=x2，二x2=3,丁x為正數(shù)二x=V3,AAC=2437分3、（1）證明：二四邊形ABC虛平行四邊形AD/BCABCCD /ADF4CED/B+/C=180 /AFE吆AFD=180/AFE土B /AFD4C .ADMDEC（2）解：二四邊形ABC比平行四邊形.AD/BCCD=AB=4ANCNMNDN即AN*DN=CN*MNS.EFA=S.BAF=S

8、.ABC=3,又A已BCAEXADED=2,CG=6.BG=BCCG=10.在RtCEB中，由勾股定理得：BC=JCE2+EB2=10.由DC/AB,在RtaADE中，DE=jAD2+AE2=1(33)2+32-6ADMDECADAF3.3AFDECDAF=2.34、(1)證明：；ABCD為正方形，二AD=AB=DC=BC,/A=/D=90.*_AEAE=EDAB一1又DF=DC,.1二一2DF4AEDFDEAB(2)解:,ED/又DFDEABCD為正方形，EDDFBG.，=.CGCF1-二一DC，正方形的邊長為44.5.解：(1)作CE_LAB于點(diǎn)EAE=CD=4,CE=DA=6.又.i=3

9、：4,.CE=3.EB4,EB=8,AB=12.如圖（3）所示,則四邊形1分AECD為矩形.則PBCQ是平行四邊形（此時Q在CD上）.即CQ=BP,.3t-10=12-2t.2222解得t=一，即t=一秒時，PC與BQ相互平分.5510(3)當(dāng)Q在BC上，即0wtW10時,3作QF_LAB于F,則CE/QF.6、（本題滿分9分）由圖1,若設(shè)甲設(shè)計的正方形桌面邊長為xm,由DE/AB,得RtzXCDEsRtACBA,_x一56二一m.7由圖2,過點(diǎn)B作RtzXABC斜邊AC上的高QFBQCEBCQF,1P63t59t.，QF=101-PBQF19t=_(12-2t產(chǎn)9=-(t-3)581十5當(dāng)t

10、=3秒時,SAPBQ有最大值為81厘米2.105八，r1014當(dāng)Q在CD上，即10wtW14時,c1-1.SAPBQ=-PBCE=(12-2t)622=36-6t.易知S隨t的增大而減小.11一，.10故當(dāng)t=一秒時,310SAPBQ有最大值為36-63=16厘米2.,8116,59t2+54tj0wtAG，/AGB/EPA=90,RRtAABGRtAEAF?.AGEP同理AGFQ，EP=FQ拓展延伸結(jié)論：HE=HF理由：過點(diǎn)E作EPLGAFQ!GA垂足分別為P、Q.四邊形ABM遑矩形，BA自90,/BAG/EAP=90.AGLBC，/BAG/ABG90,/ABG/EAPAGAB，./ABGo

11、AEAPEP=EA.9.解：結(jié)論：能.設(shè)乙設(shè)計的桌面的邊長為ym,；DE/ACRtBDEsRt/XBAC,BPDEBH即1.2-y1.2AC,解得y2.530=m37-630735，*22,xy，30一,37圖2二:1.2m2.5AOEBOF全等，即可證得AE=BF/AGB/EPA=90同理ACFAQ.AB=kAE,AGkAF,AG_ACFP=FAABAC=kEAFAAG_AGEP=FPEP=FQ設(shè)AP=xcnp貝UPD=(10-x)cm.因為/A=/D=90,/BPC=90,所以/DPCWABP所以ABWADPC則AB/PD=AP/DC即AB-DC=PDAP.所以4X4=X(10-X),即x

12、2-10 x+16=0.解得x1=2,x2=8.所以AP=2cnm8cm.結(jié)論：能.設(shè)AP=XcmCQ=ycm由于ABC奧矩形，/HPF=90,所以ABAWECQBAWAPDQ所以AP-CE=ABCQAP PD=ABDQ所以2x=4y,即y=x/2,x(10-x)=4(4+y).消去y,得x2-8x+16=0,解得XI=X2=4,即AP=4cm一、選擇題（每小題6分，共48分）1.在ABC中，DF是AB上的點(diǎn),ABC分成面積相等的三部分，若線段A.15B.10E、H是AC上的點(diǎn)，直線DE/FH/BC,且DEFH將FH=56,則BC的長為()C.156D.2.15232.在ABC中，DEBC,D

13、E交AB于D,交AC于E,且SADE：S四邊形DBC=1:2,則梯形的高與三角形的邊BC上的高的比為（A.1:J2C.1:（,3-1）)B.1：(,2-1)D.(J31)：第3.在RtABC中，Z0=901,CD是斜邊AB上的高，AC=5,BC=&B,竺64CUD.則SAACD25SACBD為（）894.如圖151,0E、F是ABC的三邊中點(diǎn)，設(shè)DEF的面積為4,ABC的周長為9,則DEF的周長與ABC的面積分別是（）A.92C.92165.如圖(1)(3)(4)1-5-2,在ABC中，ADBC于D,下列條件:/B+ZDAC=90;/B=ZDACCDAC=；ADAB2AB=BD-BQ其

14、中一定能夠判定ABC是直角三角形的共有（A.3個B.C.1個D.0個6.如圖153,在正二角形.ADABC中，D,E分另1J在AC,AB上， 且ACAE=BEA.則有()AEDBEDB.AEDCBDC. AEDABDD.BADBCD7.如圖154,PQ/RS/AC,1、RS=6PQ=9QC=SC,則AB等于3A.514B.64C.7iD.5圖 PS-1圖1-5-Z13A15.在直角三角形中，斜邊上的高為斜邊上的中線的長為（56cm2C.56cm6cm,且把斜邊分成3:2兩段，則B.4.6cmD. cm28.如圖155,平行四邊形ABCD43,O、Q、Q是BD的四等分點(diǎn)，連接AO,并延長交AD.

15、BC于E,連接EQ,并延長交ADF,則一等于（）FDA.和：1B,3:1C.3:2D.7:39.如果一個三角形的一條高分這個三角形為兩個相似三角形，那么這個三角形必是（）A.等腰三角形B.任意三角形C.直角三角形圖 1-5-5D.直角三角形或等腰三角形10.在ABCABC中，AB:AC=AB:AC,/B=ZB,則這兩個三角形（）A.相似，但不全等B.全等C.一定相似D.無法判斷是否相似11.如圖161,正方形ABCD43,E是AB上的任一點(diǎn)，作EFBD于F,則變?yōu)椋ǎ〣EA.B,1C.6D.、.222312.如圖162,把ABC沿邊AB平移到ABC的位置，它們的重疊部分（圖中陰影部分）的面積是

16、ABC的面積的一半，若AB=J2,則此三角形移動的距離人4是（）21A.22-1B.-C.1D-13.如圖163,在四邊形ABCM,/A=135,/B=ZD=90,BC=23,AD=2則四邊形ABCD勺面積是（）A.4,2B.4.3C.4D.614.如圖164,平行四邊形ABCD43,G是BC延長線上一點(diǎn)，AG與BD交于點(diǎn)E,與DC交于點(diǎn)F,則圖中相似三角形共有（）A.3對B.4對C.5對D.6對A.16 .AD為RtABC斜邊BC上的高，作D吐AC于E,空=5貝(J_CB=()AC4EAC.甲不正確、乙正確D.甲、乙都不正確18 .如圖166,在直角梯形ABC邛,AB=7,AD=2BC=&a

17、mp;如果邊AB上的點(diǎn)P使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形和以P、BC為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的點(diǎn)P有（）A.1個B.2個C.3個D.4個、填空題（每小題4分，共16分）20.如圖156,在RtABC中，/ACB=90,CDARAC=6,AD=3.6,貝UBC=。21.等腰三角形底邊上的高為8,周長為32,則此三角形的面積是圖 15622 .在ABC中，BD,CE分別為AGAB邊上的中線，MN分別是BD,CE的中點(diǎn)，則MNBC=。23 .在ABC中,DE/BC,D、E分別在AB、AC邊上，若AD=1,DB=2,那么DEBC=。DE24 .平行于ABC的邊AB的直線交CA于E,交CB于F,若直線

18、EFffiAABC分成面積相等的兩部分，則CECA=。25 .RtABC中，CD是斜邊AB上的高，該圖中共有x個三角形與ABC相似，則x=26.在ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，/BAC=ZADC,AC=8,BC=16,則CD二cA,”25B.-5C.-4c25D.1617.如圖165,ABC中,BC=n求CD的長。甲同學(xué)求得AB=AC/A=36,BD平分/ABC已知AB=m2CD=m-n,乙同學(xué)求得CD=上，下列判斷正m確的是（）A.甲、乙都正確B.甲正確、乙不正確圖 1-6-5圖 1-6-6三、計算題（本大題共86分）27.如圖157,ABC為直角三角形，/ABC=90,以AB為邊向外作正方形

19、ABDE連接EC交AB于P點(diǎn)，過P作PQ/BC交AC于點(diǎn)Q證明PQ=PB28.如圖158,已知DE/AB,EF/BC。求證：DEDABG圖 1-5-730.如圖159,在平行四邊形ABCD43,E為AB的中點(diǎn)，在圖卜 5-8AF1AD上取一點(diǎn)F,使=一,連接FE交CB的延長線于H,交ACFD2一一一1于G,求證AG=AC。529.在RtABC中,/C=90,CDLAB于D,SBC=SAABC-SAADO求證：BD=AC圖 1-5-934.如圖1510,已知AD是4ABC的中線，過ABC的頂點(diǎn)C任作一直線分別交ARAD于點(diǎn)F和點(diǎn)E,證明：AE-FB=2AF-ED=32.如圖1511,在ABC中，

20、/A、/B、/C的對邊分別是a、b、c。點(diǎn)P是AB上一個動點(diǎn)（P與A、B不重合）。連接PC,過P作PQ/AC交BC于Q點(diǎn)。33 .如圖167,在ABC中，BD是AC邊上的中線，BE=AB且AE與BD交于F點(diǎn)，求圖 16734 .如圖168,/APD=90,AP=PB=BC=CD找出圖中兩個相似的三角形，并給出證明。證:ABBCEFAFABH圖 1-5-10 圖35 .如圖169,ADBE是4ABC的高，D。AB于F,DF交BE于G,FD的延長線交AC的延長線于H,求證DF=FG FH圖 1-6-936 .如圖1610,AP是4ABC的高，點(diǎn)DG分別在ARAC上，點(diǎn)E、F在BC上，四邊形DEFG

21、矩形，AP=h,BC=a(1)設(shè)DG=xS矩形DEF=y,試用a、h、x表示y;(2)按題設(shè)要求得到的無數(shù)個矩形中是否能找到兩個不同的矩形，使它們的面積和等于ABC的面積？圖1610選彳4-1第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)綜合測試【試題答案】、選擇題（每小題6分，共60分）1.A4. A解析：如圖D124所本,.aE、F分別為ABC三邊中點(diǎn)_1_EF/1BC，.二MEF7ABC2 l.DEF=24,SDEF=4=16故1.，DEF，選A5. A解析：驗證法：（1）3 /B+ZDAC=90,4 .ZBADhDAC同理/B=ZC,不能判定/BAD+/DAC等于90;（2）中/B=ZDAC/C為公

22、共角，ABSDAC.DAE直角三角形，.ABE直角三角形；一一一CDAC一在（3）中，=可得AACDBADADAB5 .ZBADhC,/B=ZDAC1.DEF1.,ABCEFBC1=,1ABC=92.D3.B二16不能判定ABE直角三角形而/B+/DAB=90,AD-匚6 /BAD吆DAC=90;2BDAB(4)中AB=BD-BC即一=一，/B為公共角,ABBC，AB8DBA即ABC為直角三角形。，正確命題有3個選Ao6. B解析：直接法。注意到/A=ZC=60故AEWCBD選Bo7. A9.D10.D11.A12.C13. C解析：由/B=/D=90。，于是設(shè)想構(gòu)造直角三角形，延長BA與CD

23、它們的延長線交于E,則彳#到RtBC訝口RtADE由題目條件知，ADE為等腰直角三角形，DE=AD=21.$ADE=-X2X2=2.2又可證RtAEBCRtEDAS志BCrBC、2一-S在DA0),貝U(a+d)2=a2+(ad)2,a=4d.，三邊之比為3:4：5.20. 821.4822.1:423.425.2解析：ACDABC；ACBtDABC26.4三、解答題（本大題共74分）27.證明：PQ/BC,BC/AE,PQ/AE/CPQWCEA/CQPhCAE.CPQCEA解析：由4BASADCM知BC_ACAC-CD.PQ_CPEA一CEPBCPPQPB同理可得=，=EDCEAEED而AE

24、=DEPQ=PB28 .證明：DE/AB,.DEODOE,-=ABOAOB又EF/BC,.EFOEOF=BCOBOCDEEF二ABBC由知OD二而/FODWCOAOAOC.AB8DEF29 .證明：如圖D-1-25ABCD_BDCDADCD-ADCDABBD2,BD=ABADBDAD由射影定理得，AC2=ADAB.AC2=BD,即AC=BD AE=EB/AEF=/HEB/FAE=ZEBH.AFABHEAF=BH.AF_1CH一4DFACODOA在ABC和DEF中，有DEEFABBCDFACS.ABCS.BDCS.BDCS-ADC30.證明:AF1FD一2AFAD3AFBCAFCHAGCG圖 D-1-25.AGSCGHAGAC31.證明：過D作DH/CF交AB于點(diǎn)H,貝U/BDH=BCF/B=ZB,.BDHhBCF又D為BC的中點(diǎn)BDBH1=_BCBF211BH=-BF,即FH=BFAE