變化率與導(dǎo)數(shù)教學(xué)教學(xué)導(dǎo)案

1、第三章變化率和導(dǎo)數(shù)3. 1. 1瞬時(shí)變化率一導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：(1)理解并掌握曲線在某一點(diǎn)處的切線的概念(2)會(huì)運(yùn)用瞬時(shí)速度的定義求物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度理解導(dǎo)數(shù)概念 實(shí)際背景,培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的水平,進(jìn)一步掌握在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義及 其幾何意義,培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的水平及數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)過(guò)程：時(shí)速度我們是通過(guò)在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度的極限來(lái)定義的,只要知道了物體的運(yùn)動(dòng)方程,代入公式就可以求出瞬時(shí)速度了 .運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來(lái)解決物理方面的問(wèn)題, 是不是方便多了 .所以 數(shù)學(xué)是用來(lái)解決其他一些學(xué)科,比方物理、化學(xué)等方面問(wèn)題的一種工具,我們這一節(jié)課學(xué)的內(nèi)容以 及上一節(jié)課學(xué)的是我們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的一

2、些實(shí)際背景一、復(fù)習(xí)引入1、什么叫做平均變化率；2、曲線上兩點(diǎn)的連線(割線)的斜率與函數(shù) f(x)在區(qū)間xa, Xb上的平均變化率3、如何精確地刻畫(huà)曲線上某一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢下面我們來(lái)看一個(gè)動(dòng)畫(huà).從這個(gè)動(dòng)畫(huà)可以看出,隨著點(diǎn)P沿曲線向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng),隨著點(diǎn)P無(wú)限逼 近點(diǎn)Q時(shí),那么割線的斜率就會(huì)無(wú)限逼近曲線在點(diǎn) Q處的切線的斜率.所以我們可以用Q點(diǎn)處的切線的斜率來(lái)刻畫(huà)曲線在點(diǎn) Q處的變化趨勢(shì)二、新課講解f(X1) - f (Xo)= ,X1 - Xo1、曲線上一點(diǎn)處的切線斜率不妨設(shè)P(x1, f(x 1) , Q(x0, f(x 0),那么割線PQ的斜率為kpQ設(shè) X1 xo=4x, 那么 X1 = Ax

3、+ xo,f(Xo漢)- f(Xo) kPQ 二. ：x當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線向點(diǎn)Q無(wú)限靠近時(shí),割線PQ的斜率就會(huì)無(wú)限逼近點(diǎn) Q處切線斜率,即當(dāng) x 無(wú)限趨近于O時(shí),kPQ = f(Xo +&X) f(Xo)無(wú)限趨近點(diǎn)Q處切線斜率.xI * I2、曲線上任一點(diǎn)Yxo, f(x o)切線斜率的求法：k = f(xo -f(xo),當(dāng)x無(wú)限趨近于o時(shí),k值即為(xo, f(x o)處切線的斜率.x3、瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度(1)平均速度： 物理學(xué)中,運(yùn)動(dòng)物體的位移與所用時(shí)間的比稱(chēng)為平均速度(2)位移的平均變化率：s(to ,&)-s(to)t(3)瞬時(shí)速度：當(dāng)無(wú)限趨近于o時(shí),s(to +N)

4、s(to)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為t=to時(shí)的瞬時(shí)速度歡迎閱讀求瞬時(shí)速度的步驟：1 .先求時(shí)間改變量 &和位置改變量As = s(t0 + At) -s(to)2 .再求平土§速度v=%t3 .后求瞬時(shí)速度：當(dāng)N無(wú)限趨近于0,絲無(wú)限趨近于常數(shù)v為瞬時(shí)速度t(4)速度的平均變化率：v(to +&)&)."：t(5)瞬時(shí)加速度：當(dāng)At無(wú)限趨近于0時(shí),V(to+"IV(to)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為t=to：t時(shí)的瞬時(shí)加速度注：瞬時(shí)加速度是速度對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率'.三、數(shù)學(xué)應(yīng)用例1、f(x)=x 2,求曲線在x=2處的切

5、線的斜率.1變式:1.求f (x)=)過(guò)點(diǎn)(1,1)的切線萬(wàn)程x2 .曲線y=x3在點(diǎn)P處切線斜率為k,當(dāng)k=3時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為3 .曲線f(x)=3/7上的一點(diǎn)P(o,o)的切線斜率是否存在例2.一直線運(yùn)動(dòng)的物體,從時(shí)間t到t+&時(shí),物體的位移為As,那么生為()tA.從時(shí)間t到t+&時(shí),物體的平均速度；B.在t時(shí)刻時(shí)該物體的瞬時(shí)速度；C.當(dāng)時(shí)間為與時(shí)物體的速度；D.從時(shí)間t到t+N時(shí)物體的平均速度1 C例3.自由洛體運(yùn)動(dòng)的包移s(m)與時(shí)間t(s)的關(guān)系為s=-gt2(1)求t=t os時(shí)的瞬時(shí)速度(2)求t=3s時(shí)的瞬時(shí)速度(3)求t=3s時(shí)的瞬時(shí)加速度點(diǎn)評(píng)：求瞬時(shí)速度,

6、也就轉(zhuǎn)化為求極限,瞬3.1.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)教學(xué)目的：1 . 了解平均變化率與割線之間的關(guān)系2 .理解曲線的切線的概率3 .通過(guò)函數(shù)的圖像理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)切線的概念,切線的斜率,導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)難點(diǎn)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)過(guò)程練習(xí)練習(xí)注思3.2 . 3導(dǎo)數(shù)的幾何意義(2)教學(xué)目標(biāo)：理解導(dǎo)數(shù)概念.掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義及求法.掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法.教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念及其求法.及幾何意義.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解.教學(xué)過(guò)程：復(fù)習(xí)引入1 .函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值函數(shù)y=f(x),如果自變量x在X0處有增量x,那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量 y = f(X0+?x) f(X0).比值型就叫做

7、函數(shù)y = f(x)在Xo到Xo+次之間的平均變化率,即 Ay =f(Xo+Ax)- f(x0)LXLXLX如果當(dāng)Ax-0時(shí),絲有極限,我們就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X0處可導(dǎo),并把這個(gè)極限叫做f(x) LX在X0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)記作f ' (X.)或y'|xT,即X 'X 0(X0)二Ly . lim = lim , X0 X.X0f(XoX)- f(X0)X2 .函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù),對(duì)于每一個(gè) X0 (a, b),都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f ?(x0).從而構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)f ?(x).稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y = f

8、(x)在開(kāi)區(qū)問(wèn) 內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù).也可記作 y：.3 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線 y=f(x)在點(diǎn)P(X0, f(x0)處的切線的 斜率.也就是說(shuō),曲線y = f(x)在點(diǎn)P (x°, f(xO)處的切線的斜率是f ' (&).切線方程為yy0= f ' (X0) ( X0- X0).練習(xí)：1,當(dāng)自變量從X0變到xi時(shí),函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)( A )A.在區(qū)間X0, Xi上的平均變化率B.在X0處的變化率C.在Xi處的導(dǎo)數(shù)D.在區(qū)間X0, Xi上的導(dǎo)數(shù)4 .以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是(C )A.假設(shè)f

9、 '(刈不存在,那么曲線y = f ( x)在點(diǎn)(X0, f ( X0)處就沒(méi)有切線B.假設(shè)曲線y = f ( x)在點(diǎn)(X0, f ( X0)處看切線,那么f ' ( X0)必存在C.假設(shè)f ' ( X0)不存在,那么曲線y = f ( x)在點(diǎn)(X0, f ( X0)處的切線斜率不存在D.假設(shè)曲線y = f ( x)在點(diǎn)(X0, f ( X0)處的切線斜率不存在,那么曲線在該點(diǎn)處就沒(méi)有切線185 .曲線y=X上一點(diǎn)P(2,), ,33求點(diǎn)P處的切線的斜率； 點(diǎn)P處的切線的方程.1 3 X 3_13y3(XX) 一y = lim 二 lim =-Rm3X2+3xAx+

10、(Ax)2 = x2, y=22 =4.點(diǎn) P處的切線的斜率等于 4. 3-0XA,X-x 0 X X8在點(diǎn)P處的切線的萬(wàn)程是y-=4(x-2), 即12x 3y 16=0.新課講授：例1.教材例2.例2.教材例3.練習(xí)：甲、乙二人跑步的路程與時(shí)間關(guān)系以及百米賽跑路程和時(shí)間關(guān)系分別如圖,試問(wèn)(1)甲、乙二人哪一個(gè)跑得快(2)甲、乙二人百米賽跑,問(wèn)快到終點(diǎn)時(shí),誰(shuí)跑得較快解：(1)乙跑的快；(2)乙跑的快.例3.教材P10面第5題例4.教材P11面第3題.例5.：曲線y =x2 -1與y = x3 +1在x0處的切線互相垂直,求的值.例6.點(diǎn)M(0,-1), F (0, 1),過(guò)點(diǎn)M的直線l與曲線

11、yx34x+4在x = -2處的切線平3行.(1)求直線l的方程；(2)求以點(diǎn)F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的拋物線C的方程.解：(1) ; f (名嚶舊十爐戶(hù)=0.直線1的斜率為0,其方程為y = -1.(2) 拋物線以點(diǎn)F (0, 1)為焦點(diǎn),y = -1為準(zhǔn)線.設(shè)拋物線的方程為x2 = 2 py,那么-=1, P =2 . 2故拋物線C的方程為x2 = 4 y.課堂小結(jié)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線 y=f(x)在點(diǎn)P (x0, f(x0)處的切線的 斜率.也就是說(shuō),曲線y = f(x)在點(diǎn)P (x0, f(x0)處的切線的斜率是f ' 0).切線方程為

12、yy0= f '(x0)( x0 x0).課后作業(yè)3. 2. 4.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：理解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握簡(jiǎn)單函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)表示和求解方法；理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念和意義；2、過(guò)程與方法：先理解概念背景,培養(yǎng)解決問(wèn)題的水平；再掌握定義和幾何意義,培養(yǎng)轉(zhuǎn)化問(wèn)題 的水平；最后求切線方程,培養(yǎng)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的水平3、情感態(tài)度及價(jià)值觀；讓學(xué)生感受事物之間的聯(lián)系,體會(huì)數(shù)學(xué)的美.教學(xué)重點(diǎn)：1 、導(dǎo)數(shù)的求解方法和過(guò)程；2、導(dǎo)數(shù)符號(hào)的靈活運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)概念的理解；2、導(dǎo)函數(shù)的理解、熟悉和運(yùn)用教學(xué)過(guò)程歡迎閱讀一、情境引入在前面我們解決的問(wèn)題：1、求函數(shù)f(x)=x2在

13、點(diǎn)(2, 4)處的切線斜率.包J2+Ax).f(x)取,故斜率為4 LXLX2、直線運(yùn)動(dòng)的汽車(chē)速度 V與時(shí)間t的關(guān)系是V =t2 -1 ,求t =t.時(shí)的瞬時(shí)加速度.=v(to +&)-v(to)=2to十人 ,故瞬時(shí)加速度為2tt.立I / _二、知識(shí)點(diǎn)講解上述兩個(gè)函數(shù)f(x)和V(t)中,當(dāng)Ax(At)無(wú)限趨近于0時(shí),型(電)都無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù). t x歸納：一般的,定義在區(qū)間(a , b )上的函數(shù)f(x) , xo w (a, b),當(dāng)Ax無(wú)限趨近于 0時(shí),生=f(xo+Ax)-f(xo)無(wú)限趨近于一個(gè)固定的常數(shù) a,那么稱(chēng)f(x)在x = x.處可導(dǎo),并稱(chēng)A為f(x)在 x

14、xx =x0處的導(dǎo)數(shù),記作f ' (x.)或f '( x) |x40 ,上述兩個(gè)問(wèn)題中：(1) f 1(2) = 4 , (2) V'(to) =2to三、幾何意義：我們上述過(guò)程可以看出f (x)在x = x0處的導(dǎo)數(shù)就是f (x)在x = x0處的切線斜率. .! 二一一一四、例題選講例1、求以下函數(shù)在相應(yīng)位置的導(dǎo)數(shù) 力、十二二一一_2(1) f(x)=x +1, x = 2(2) f(x)=2x-1, x = 2(3) f (x) =3, x=2例1、函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f '(1) = 2 ,那么當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí), f(1 x)-f(1)=2x(2)f(1

15、2x)-f(1) x變式：設(shè)f(x)在x=xo處可導(dǎo),(3) f(x0 , f(x0 -4"x)- f(x0)無(wú)限趨近于 1,那么 f,(x0) = x&x) f(x0)無(wú)限趨近于 1,那么 >(xo) = x(5)當(dāng)Ax無(wú)限趨近于0, f(Xo +21刈- f(x0 -2知 所對(duì)應(yīng)的常數(shù)與f,(x0)的關(guān)系.x總結(jié)：導(dǎo)數(shù)等于縱坐標(biāo)的增量與橫坐標(biāo)的增量之比的極限值.例 3、假設(shè) f (x) =(x -1)2 ,求 f '(2)和(f (2)'注意分析兩者之間的區(qū)別.例4:函數(shù)f(x)=Vx,求f(x)在x = 2處的切線.導(dǎo)函數(shù)的概念涉及：f(x)的對(duì)于

16、區(qū)間(a,b)上任意點(diǎn)處都可導(dǎo),那么f(x)在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨x的變化而變化,因而也是自變量 x的函數(shù),該函數(shù)被稱(chēng)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作f '(x).五、小結(jié)與作業(yè)例 2、 f(x) =x2 2(1)求f (x)在x =1處的導(dǎo)數(shù)；(2)求f (x)在x =a處的導(dǎo)數(shù).補(bǔ)充：點(diǎn)M(0,-1),F(0,1), 過(guò)點(diǎn)M的直線l1 O與曲線y = x -4x+4在x =-2處的切線平行.3求直線l的方程；(2)求以點(diǎn)F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的拋物線C的方程.3. 3. 1常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、教學(xué)目標(biāo)：掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；二、教學(xué)重難點(diǎn)：用定義推導(dǎo)常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.一、復(fù)習(xí)1、導(dǎo)數(shù)的定義；2、導(dǎo)

17、數(shù)的幾何意義；3、導(dǎo)函數(shù)的定義；4、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的流程圖.(1)求函數(shù)的改變量 Ay = f (x + Ax) - f (x)(2)求平均變化率y1= f(x+Ax) f(x) xx(3)取極限,得導(dǎo)數(shù)y/= f'(x) =鳴詈本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).首先我們來(lái)求下面幾個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 23(1)、y=x (2)、y=x(3)、y=x問(wèn)題：y=x,y=x, y=x 呢問(wèn)題：從對(duì)上面幾個(gè)幕函數(shù)求導(dǎo),我們能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎二、新授1、根本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式：(x)=1(x3) =3x2 kx+b,=k k,b 為常數(shù) C = 0 C為常數(shù)x =2x116=xx由你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律a為常

18、數(shù) (ax) =axln a (a 0, a =1)11一 (logax) logae (a 0,且 a=1) xxlnax . x ,一、.1(11) (e ) =e (12) (lnx) =(13) (sinx) = cosx (14) (cosx) = sinxx從上面這一組公式來(lái)看,我們只要掌握幕函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)的求導(dǎo)就可以了 例1、求以下函數(shù)導(dǎo)數(shù).(1) y=x,(2) y =4x(3) y = x1'xVx/一.,豆.、小、n(4) y = log 3 x (5) y=sin( 一+x) (6) y=sin一23(7) y=cos(2 九一x)(8) y=f&#

19、39;(1)例2:點(diǎn)P在函數(shù)y=cosx上,0< x<2：t ,在P處的切線斜率大于0,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取 值范圍.1 例3.右直線y = -x +b為函數(shù)y =一圖象的切線,求b的值和切點(diǎn)坐標(biāo).變式1.求曲線y=x2在點(diǎn)1,1處的切線方程.總結(jié)切線問(wèn)題：找切點(diǎn) 求導(dǎo)數(shù) 得斜率變式2:求曲線y=x2過(guò)點(diǎn)0,-1的切線方程變式3:求曲線y=x例3.曲線y = x上有兩點(diǎn)A 1, 1, B 2, 2. 求：1割線AB的斜率；2在1 ,1+ x內(nèi)的平均變化率；過(guò)點(diǎn)1,1的切線方程I I變式4:直線y = x -1,點(diǎn)P為y=x2上任意一點(diǎn),求P在什么位置時(shí)到直線距離最短.練習(xí)求以下函數(shù)的

20、導(dǎo)數(shù)：2（1） y = x3點(diǎn)A處的切線的斜率；4點(diǎn)A處的切線方程； y=x6；3 y = 4；4 y = 3x.5 y= i=xx 1 一 2 ,例2.求曲線y =一和y = x在它們交點(diǎn)處白兩條切線與 x軸所圍成的三角形的面積.x歡迎閱讀例4.求拋物線y = x2上的點(diǎn)到直線xy2=0的最短距離.三、小結(jié)(1)根本初等函數(shù)公式的求導(dǎo)公式(2)公式的應(yīng)用3. 4. 1根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么(1)一、教學(xué)目標(biāo)：掌握八個(gè)函數(shù)求導(dǎo)法那么及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么并能簡(jiǎn)單運(yùn)用.二、教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用八個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)求復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù).教學(xué)難點(diǎn)：商求導(dǎo)法那么的理解與應(yīng)用.三、教學(xué)過(guò)程：(一)新課1 . P

21、14面根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(見(jiàn)教材)2 .導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么：(1) .和(或差)的導(dǎo)數(shù)法那么1 兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差),即(u±v) ?= u吐v?.-例1求y=x3 + sin X的導(dǎo)數(shù).解：y' =(x3)' + (sin x)' =3x2+cosx.例2求y=x4 x2 x + 3的導(dǎo)數(shù).解：y' =4x3 2x 1.(2) .積的導(dǎo)數(shù)法那么2兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即 ( uv) ?= u?v + uv?.由此可以得出 (Ci) ?= C ?u

22、+ Cu? = 0+ Cu? = Cu? .也就是說(shuō),常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即 (CD?=Cu?.例 3 求 y=2x33x2+ 5x-4 的導(dǎo)數(shù).解：y' =6x2 6x + 5. 2例 4 求 y=(2x+3) (3 x2)的導(dǎo)數(shù).解：y' =(2x2 + 3)'(3x 2)+(2x2+ 3)(3 x-2)' =4x(3x 2) + (2x2 + 3) 3= 18x2 8x + 9.或：y = 6x3 - 2x2 + 9x - 6 , y'=18x2-4x + 9練習(xí)1 .填空：(3 x2+1)(4x2 3) ' =(

23、6_ )(4 x2-3)+ (3 x2+1)( 8 x )；(x3sinx)'=( 3 )x2 - sin x + x3 ( cosx ).2 .判斷以下求導(dǎo)是否正確,如果不正確,加以改正：(3 +x2)(2 x3) ' = 2x(2 x3) + 3x2(3 + x2).(3 +x2)(2 x3) ' = 2x(2 x3) 3x2(3 +x2).3 .求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) y = 2x3+3x2 5x + 4；(2) y = ax3 bx+c；(3) y=sinxx+1；22x(4) y = (3x +1)(2 x) ；(5) y=(1+x)cosx；(6) y =

24、 2 cosx 310g2x例 5.函數(shù) f (x) =x2(x1),假設(shè) f ' (xo) =f (xo),求 xo的值.(3)商的導(dǎo)數(shù)例6,求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)sin x sinx(1) y = xtanx (2) y = (3) y =1 cosx10g2 x歡迎閱讀練習(xí)：求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)5十3x(2) y u xtanx - cosx例7.求函數(shù)y = xsin xcosx的導(dǎo)數(shù)思考：設(shè) f (x) =x(x+1) ( x+2)(x+n),求 f ' (0).練習(xí).函數(shù) f (x) =x(x 1)(A. 0 B. 1002(三)課堂小結(jié)1 .和(或差)的導(dǎo)數(shù)2 .積的

25、導(dǎo)數(shù)(四)課后作業(yè)x-2)( x-3)100)在x = 0處的導(dǎo)數(shù)值為( C. 200 D. 100!( u 土 v) ?= u?± v?. uv) ?= u?v+ uv?.3. 4. 2函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：1 .理解兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)法那么,學(xué)會(huì)用法那么求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2 .理解兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)法那么,學(xué)會(huì)用法那么求乘積形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3 .能夠綜合運(yùn)用各種法那么求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：用定義推導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的積、商的求導(dǎo)法那么的推導(dǎo).授課類(lèi)型：新授課教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：C'=0; (kx+

26、b)' =k(k,b 為常數(shù))(xn)' = nxn,；(ax)'= ax ln a(a > 0,且 a=0)(sin x)'= cosx ;(cosx)'=-sin x二、講解新課：例1.求y = x2 +x的導(dǎo)數(shù).法那么1 兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差),即l-f (x) -g(x) 1' = f '(x) -g'(x)法那么2常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù).bf(x)'=cf(x)'法那么3兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函

27、數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即 f (x)g(x)卜=f'(x)g(x) f (x)g'(x)證實(shí)：令y = f (x)g(x),那么y 二 f(x x) g (x：x) - f (x)g (x)=f (x +Ax) g(x +Ax)- f (x) g(x +Ax)+ f (x) g(x + Ax)- f (x)g(x),y f (x . ：x) -f(x)g(x ：x) -g(x)一 二g(x . ：x) + f(x)二 xlxlx由于g(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),所以它在點(diǎn)x處連續(xù),于是當(dāng)Axt 0時(shí),g(x + Ax)T g(x),y . f(x x)-f(x)g(xx)_g(x)從

28、而 lim = lim g(x：, x)+ f(x) lim -4 x0 Lx40,xJ0Lx=f '(x)g(x) f(x)g'(x),法那么4兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積,減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積,再除以 分母的平方,即三、講解范例：例1求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、y=x2+sin x 的導(dǎo)數(shù).二一2、求y = (2x2 +3)(3x-2)的導(dǎo)數(shù).(兩種方法)t2 13、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)h(x)=xsinx s(t)=t4、y=5x10sin x 2 4cosx 9,求 y'2x5、求y=的導(dǎo)數(shù).sin xx 3 .變式：(1)求y=-在點(diǎn)x=3處的導(dǎo)數(shù).x

29、2 3 iJ . I I- I(2)求 y= cosx 的導(dǎo)數(shù). x ' . . , ./ , 1.例2求y=tan x的導(dǎo)數(shù).例3求滿(mǎn)足以下條件的函數(shù)f (x)(1) f (x)是三次函數(shù),且 f(0) =3, f'(0) =0, f '(1)=3, f '(2) =0(2) f'(x)是一次函數(shù),x2f '(x) -(2x-1)f(x) =1變式：函數(shù)f(x)=x 3+bx2+cx+d的圖象過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)M處(-1 , f(-1)處的切線方程為 6x-y+7=0 ,求函數(shù)的解析式四、課堂練習(xí)：1.求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y二a二(2

30、) y=J2 (3) y=-1a x3x1 - cosx五、小結(jié)：由常函數(shù)、幕函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運(yùn)算得到的簡(jiǎn)單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法那么與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo),而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求此類(lèi)簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),商的導(dǎo)數(shù)法那么(！)'u v -uvv(vw0),如何綜合運(yùn)用函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法那么,來(lái)求一些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要將和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法那么記住 六、課后作業(yè)：3. 4. 3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：知識(shí)與技能：理解掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么.過(guò)程與方法：能夠結(jié)合已學(xué)過(guò)的法那么、公式,進(jìn)行一些復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生善于觀察事物,善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,熟悉規(guī)律,掌

31、握規(guī)律,利用規(guī)律.教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么的概念與應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么的導(dǎo)入與理解教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料.教學(xué)設(shè)想：提供一個(gè)舞臺(tái),讓學(xué)生展示自己的才華,這將極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,增強(qiáng)學(xué)生的榮 譽(yù)感,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的水平,表達(dá)了 “自主探究,同時(shí),也鍛煉了學(xué)生敢想、 敢說(shuō)、敢做的水平.教學(xué)過(guò)程：學(xué)生探究過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1 .常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：C' = 0; (xn)' = nxn；(sin x)'= cosx ; (cosx)' = -sin x2 .法那么 1u(x) ±v(x)' =u

32、9;(x) ±v'(x).法那么 2u(x)v(x) =u'(x)v(x) u(x)v'(x), Cu(x) =Cu'(x)'法那么3 儀JU 0)I" v二、講解新課：1 .復(fù)合函數(shù)：由幾個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù),叫復(fù)合函數(shù).由函數(shù) y = f(u)與u =(x)復(fù)合而成的函數(shù)一般形式是y = fH(x),其中u稱(chēng)為中間變量.2 .求函數(shù)y =(3x -2)2的導(dǎo)數(shù)的兩種方法與思路：方法一：y； =(3x-2)2' = (9x2 -12x+4)' = 18x-12 ；方法二：將函數(shù)y =(3x-2)2看作是函數(shù)y = u

33、2和函數(shù)u =3x-2復(fù)合函數(shù),并分別求對(duì)應(yīng)變量 的導(dǎo)數(shù)如下：,2、y；=(u ),= 2u , uX =(3x2),= 3兩個(gè)導(dǎo)數(shù)相乘,得yUuX =2u =2(3x-2)3 =18x-12 ,從而有y'x = y'u u'x對(duì)于一般的復(fù)合函數(shù),結(jié)論也成立,以后我們求y' x時(shí),就可以轉(zhuǎn)化為求yu'和u' x的乘積,關(guān)鍵是找中間變量,隨著中間變量的不同,難易程度不同.3 .復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)u=邛(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)u' x= ' (x),函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)y' u=f ' (u),那么

34、復(fù)合函數(shù)y=f (中(x)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù),且y'x=y'uu'x或f' x(中(x)= f ' (u)中'(x).證實(shí)：(教師參考不需要給學(xué)生講)設(shè)x有增量Ax,那么對(duì)應(yīng)的u, y分別有增量Au, Ay,由于u=小(x)在點(diǎn)x可導(dǎo),所以u(píng)=cP ( x) 在點(diǎn)x處連續(xù).因此當(dāng)Ax0時(shí),A u0.當(dāng) Auw0 時(shí),由 9y =9y 也. 且 lim 9y = lim 9y.x 二 u x-x-0 l u- u0 l xy.y u. y. u. y. u lim limlim lim = lim lim lx0 _ x- x-0u- x. x0 u

35、-x70- x'0 u-x0 x x即y'x = y'u u'x (當(dāng)Au=0時(shí),也成立)4 .復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù),等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)5 .復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的根本步驟是：分解一一求導(dǎo)一一相乘一一回代.三、講解范例：例1試說(shuō)明以下函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的T i/ y=(2-x2)3；i(2) y =sinx2 ; y = cos( x)； y = ln sin(3x -1).4解：函數(shù)y =(2-x2)3由函數(shù)y = u3和u = 2-x2復(fù)合而成；函數(shù)y = sin x2由函數(shù)y = sin u和u = x2復(fù)合

36、而成；函數(shù)y =cos(1 -x)由函數(shù)y = cosu和u =x復(fù)合而成；44函數(shù)y =ln sin(3x -1)由函數(shù)y = ln u、 u =sinv和v =3x 1復(fù)合而成.說(shuō)明：討論復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成時(shí),“內(nèi)層、“外層函數(shù)一般應(yīng)是根本初等函數(shù),如一次函數(shù)、 二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等.例2寫(xiě)出由以下函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)：歡迎閱讀 y =cosu , u=1+x2; y=lnu, u = lnx.解： y = cos(1 + x2); y = ln(ln x).例3求y = (2x +1)5的導(dǎo)數(shù).解：設(shè) y = u5 , u =2x +1 ,貝U= 5u4 ,2=5(2x+1

37、)3 ,2=10(2x+1)4.注意：在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么求導(dǎo)數(shù)后,要把中間變量換成自變量的函數(shù).有時(shí)復(fù)合函數(shù)可以由幾個(gè)根本初等函數(shù)組成,所以在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),先要弄清復(fù)合函數(shù)是由哪些根本初等 函數(shù)復(fù)合而成的,特別要注意將哪一局部看作一個(gè)整體,然后根據(jù)復(fù)合次序從外向內(nèi)逐層求導(dǎo).例4求f (x)=sin x2的導(dǎo)數(shù).解：令 y=f (x)=sin u； u=x2 y'x = y'u u'x=(sin u) ' u (x2)x' =cosu 2x=cosx2 2x=2xcosx2 f' (x)=2xcosx2例5求y=sin 2(2x+y)

38、的導(dǎo)數(shù).分析：設(shè)u=sin(2 x+；)時(shí),求u' x,但此時(shí)u仍是復(fù)合函數(shù),所以可再設(shè) v=2x+ .解： 令 y=u2, u=sin(2 x+ ), 再令 u=sin v, v=2x+上 33 y'x = y" u'x=y' u( u,v v,x):.V' x=y,u u,v v,x=(u2),u (sin v),v (2x+巴),x 3HJI=2u - cosv - 2=2sin(2 x+ )cos(2 x+) - 22二、=4sin(2 x+ )cos(2 x+ )=2sin(4 x+-)一 ,2 二即 y x=2sin(4 x+ )3

39、例6求y = Vax2 +bx +c的導(dǎo)數(shù).解：令 y=Vu , u=ax2+bx+c1 Jy'x = y'u u'x=( Vu) z u (ax2+bx+c),x= u 3 (2ax+b)3/2=-(ax2+bx+c)飛(2 ax+b)= .ax33 (ax2 bx c)2即y' x2ax b33 (ax2 bx c)2例7求y二jtx的導(dǎo)數(shù).1 - x斛：令 y = 5 u,u =x1 - x、,一 y'x = y'u u'x=( Ju) u - () xx即y' x5x5 (x -x2)41例 8 求 y=sin 2U x的導(dǎo)數(shù).1 v=x解：令 y=u2, u=sin1y ,再令 u=sin v, x =(u2)' (sin1v)' v (7)'=2u - cosv .咚 x1=2sin x1 cos x-12x2 sin x12 y x=- x2 sin x例9求函數(shù)y=(2x2 3) Ji+x2的導(dǎo)數(shù).71 + x2是復(fù)合函數(shù),可以先算出71 + x2對(duì)分析：y可看成兩個(gè)函數(shù)的乘積,2x2- 3可求導(dǎo), x的導(dǎo)數(shù).解：令 y=uv, u=2x2-3, v=、1 + x2,令 v=,® ,