因式分解知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第一講因式分解一,知識(shí)梳理1.因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式,這種變形叫因式分解.即：多項(xiàng)式T幾個(gè)整式的積廣,11 .1.例： ax bx x(a b)333因式分解,應(yīng)注意以下幾點(diǎn).1 .因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；2 .因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；3 .分解因式,必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止；4 .公式中的字母可以表示單項(xiàng)式,也可以表示多項(xiàng)式；5 .結(jié)果如有相同因式,應(yīng)寫成哥的形式；6 .題目中沒有指定數(shù)的范圍,一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；因式分解是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行的一種恒等變形,是整式乘法的逆過程.2.因式分解的方法：(1)提公因式法：定義：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有 公

2、因式,可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面,將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式,這個(gè)變形就是提公因式法分解因式.公因式：多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的相同的因式.公因式可以是一個(gè)數(shù)字或字母,也可 以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.'系數(shù)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù),字母一一取各項(xiàng)都含有的字母指數(shù)一一取相同字母的最低次曷3 33 2 34 2 2 例：12a b c -8a b c +6a b c 的公因式是 .解析：從多項(xiàng)式的系數(shù)和字母兩局部來考慮,系數(shù)局局部別是12、-8、6,它們的最大公約數(shù)為2；字母局部a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式a3b2c ,故多項(xiàng)式的公因式是O 322 a b c.提公因式的步驟第

3、一步：找出公因式；第二步：提公因式并確定另一個(gè)因式,提公因式時(shí),可用原多項(xiàng)式除以公因式,所得商即是 提公因式后剩下的另一個(gè)因式.注意：提取公因式后,對(duì)另一個(gè)因式要注意整理并化簡(jiǎn),務(wù)必使因式最簡(jiǎn).多項(xiàng)式中第一項(xiàng)有負(fù)號(hào)的,要先提取符號(hào).例 1：把 12a2b -18ab2 24a3b3 分解因式.解析：此題的各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)是6,相同字母的最低次哥是 ab,故公因式為6abo解：12a2b -18ab2 -24a3b3 2 2=6ab(2a 3b4a2b2)例2：把多項(xiàng)式3(x4)+x(4x)分解因式解析：由于4x = _(x4),多項(xiàng)式3(x4)+x(4x)可以變形為3(x 4) x(x 4

4、),我 們可以發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有公因式(x -4),所以我們可以提取公因式 (x - 4)后,再將多項(xiàng)式寫成積的形式.解：3(x -4) x(4 -x)= 3(x -4) -x(x -4)= (3-x)(x-4)例3：把多項(xiàng)式-x2+2x分解因式解：-x2 2x= -(x2 -2x) - -x(x -2)(2)運(yùn)用公式法定義：把乘法公式反過來用,就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式,這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.a.逆用平方差公式:a2 -b2 =(a - b)(a-b)b逆用完全平方公式：a2 _2ab b2 =(ab)2c.逆用立方和公式：a3 , b3 = (a - b)(a2 - ab

5、 - b2)(拓展)d.逆用立方差公式:a3 -b3 =(a -b)(a2 ab - b2)(拓展)注意：公式中的字母可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式.選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看,假設(shè)多項(xiàng)式是二項(xiàng)式可考慮平方差公式；假設(shè)多項(xiàng)式是三項(xiàng)式,可考慮完全平方公式.例1 ：因式分解a - 14a , 49解：a2-14a 49 = (a-7)2例 2：因式分解 a2 - 2a(b c) (b c)2解：a2 2a(b c) (b c)2 = (a b c)2(3)分組分解法(拓展)將多項(xiàng)式分組后能提公因式進(jìn)行因式分解； 例：把多項(xiàng)式ab -a +b -1分解因式解：ab - a b -1 =

6、 (ab - a) (b1) = a(b_1)(b_1) = (a 1)(b -1)將多項(xiàng)式分組后能運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解.例：將多項(xiàng)式a2 -2ab -1 +b2因式分解解：a2 -2ab -1 b2222= (a2 -2ab b2) -1 =(a b)2 -1 = (a-b 1)(a -b-1)2(4)十字相乘法(形如X +(P+q)x+ Pq_(x+ P)(x+q)形式的多項(xiàng)式,可以考慮運(yùn)用此種方法)方法：常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)因數(shù)p和q ,這兩數(shù)的和 p + q為一次項(xiàng)系數(shù)2X (p q)x pq2X (p q)x pq = (x p)(x q)例：分解因式x2 -x - 30補(bǔ)充點(diǎn)詳解我們可以

7、將-30分解成px q的形式,使 p+q=-1, p x q=-30,我們就有 p=-6, q=5 或 q=-6,p=5 .q=50所以將多項(xiàng)式 x2+(p+q)x + pq可以分 以分解為(x p)(x q)3.因式分解的一般步驟:2分解因式x 52x 100補(bǔ)充點(diǎn)詳解我們可以將100分解成pxq的形式,使 p+q=52, p X q=100,我們就有 p=2, 或 q=2,p=50.所以將多項(xiàng)式 x2 + (p + q)x + pq可解為(x p)(x q)x22x如果多項(xiàng)式有公因式就先提公因式,沒有公因式的多項(xiàng)式就考慮運(yùn)用公式法；假設(shè)是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式,通常采用分組分解法,最后運(yùn)用

8、十字相乘法分解因式.因此,可以概括為：“一提、套、“三分組、“四十字.注意：因式分解一定要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止,否那么就是不完全的因式分解,假設(shè)題目沒有明確指出在哪個(gè)范圍內(nèi)因式分解,應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解,因此分解因式的結(jié)果,必須是幾個(gè) 整式的積的形式.例題解析提公因式法提取公因式：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,一般要將公因式提到括號(hào)外面確定公因式的方法： 系數(shù)一一取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母(或多項(xiàng)式因式)系一取各項(xiàng)都含有的字母(或多項(xiàng)式因式)的最低次哥.【例1】分解因式：2n 12n , 一 , 15a (ab) 10ab(ba) ( n 為正整數(shù))4a2Hbm -6anbm-( m> n為大于1的自然數(shù))【穩(wěn)固】分解因式：(xy)2n干_(xz)(x y)2n+2(yx)2n(yz) , n為正整數(shù).【例2】先化簡(jiǎn)再求值,y (x +y )+(x +y *x -y )-x2,其中x =-2 , y = 1 .222【穩(wěn)固】求代數(shù)式的值：(3x2) (mex.W) +x(2x+1)(2.3x),其中