圓錐曲線中點弦問題

1、關(guān)于圓錐曲線的中點弦問題直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題,是解析幾何中的重要內(nèi)容之一,也是高考的一個熱點問 題.這類問題一般有以下三種類型：(1)求中點弦所在直線方程問題；(2)求弦中點的軌跡方程問題；(3)求弦中點的坐標(biāo)問題.其解法有代點相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中央 對稱變換法等.一、求中點弦所在直線方程問題22例1過橢圓 士 1內(nèi)一點M(2, 1)引一條弦,使弦被點 M平分,求這條弦所在的直線 164方程.解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2),代入橢圓方程并整理得：(4k2 1)x2 8(2k2 k)x 4(2k 1)2 16 0又設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1

2、),b (X2,y2),那么x1,X2是方程的兩個根,于是8(2k2 k)x1 x2 2T2一；一,4k 14(2k2 k)又M為AB的中點,所以 x一絲 空士一k) 2 , 2 4k2 1 m1解得k2故所求直線方程為 x 2y 4 0.解法二：設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1), B (x2,y2), M (2, 1)為 AB的中點,所以 x1 x24 , y1 y22 ,2 一 2又A、B兩點在橢圓上,那么 x1 4 yl兩式相減得(x12 x22) 4(y12 y22)所以一2L即x x24( y1 y)2故所求直線方程為 x 2y 4 0.解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為那么另

3、一個交點為 B(4- x ,2 y ),由于A B兩點在橢圓上,所以有(4兩式相減得x 2y 4 0, 由于過A、B的直線只有一條,故所求直線方程為 x 2y 4 0.、求弦中點的軌跡方程問題22_16 , x24y216 ,0,kAB2,A( x , y ),由于中點為M (2, 1),22x 4y 16x)2 4(2 y)2 1622例2過橢圓y 64361上一點P (-8, 0)作直線交橢圓于 Q點,求PQ中點的軌跡方程.解法設(shè)弦PQ中點 M ( x, y),弦端點 P ( x1,y1),Q ( x2, y2),C 2“2那么有 9x1216 y129x216y2576 ,兩式相減得9(

4、x12 x22)576i6(yi2y；)o,又由于 xi x2 2x, yi y2 2y,所以 9 2x(xi x2) 16 2y(yi y2) 0 ,yi y2 9x ,y 0 花 9x y所以工匕,而kPQ -,故 -.xi x2 i6yx ( 8) i6y x 8化簡可得 9x2 72x i6y2 0 (x 8).解法二：設(shè)弦中點 M( x, y) , Q( x1,y),由 x x-, y 2可得 xi 2x 8 , y1 2y ,222又由于Q在橢圓上,所以 包64魚13622紋 1 ,即 4(x 4)3664所以PQ中點M的軌跡方程為(x 4)16x 8).三、弦中點的坐標(biāo)問題例3求

5、直線y x 1被拋物線y2 4x截得線段的中點坐標(biāo).解：解法一：設(shè)直線 y x 1與拋物線y2 4x交于A(x1,y1) ,B(x2, y2),其中點y x 1P(xo,yo),由題意得2,y 4x消去 y 得(x 1)2 4x ,即 x2 6x 1 0 ,所以x° x一聞 3, y°Xo 1 2,即中點坐標(biāo)為(3,2).2解法二：設(shè)直線y x 1與拋物線y2 4x交于A(xi, yi) , B(x2, y2),其中點P(x°, y°),由題意得yi24X1,兩式相減得y22y124(x2x1),y24x2所以(y2 yi)(y2 yi)4,x2 X1所

6、以yi y2 4,即y0 2 , X0y0 1 3,即中點坐標(biāo)為(3,2).上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題的一些根本解法.下面我們看一個結(jié)論弓理 設(shè)a、b是二次曲線c： Ax2 cy? Dx Ey F 0上的兩點,p(X0,y0)為弦ab 的中點,那么k ABE 0)2設(shè) A(xi,yi)、B(x2,y2)那么 Axi2Ax2(2)得 A(Xi . 2 Ax0(Xi X2). (2AX0 D)(XiX2)(Xi X2)2Cyi2CV2C(yiDxi Eyi F 0(1)2Cy0(yiy2)D(xiX2) (2Cy0 E)(yi2Cv0 E 0 . xiX2yiy2Xix2B

7、時,上面的結(jié)論就是過2Ax0 D2Cy0推論i2X0DX2y2)(yiX2)丫2)次曲線E)22設(shè)圓 X y Dx Ey F 0DEv2 f 0V, D(Xi X2)E(yiy2)02AX0 D2Cy0 Ek AB即(2)E(yi y2)02AX0 D2Cy0 E o (說明：當(dāng)C上的點PX0,y0的切線斜率公式,即的弦AB的中點為P(x0, y0)( y00),那么2y0 E.假設(shè)點 P在圓上時,那么過點 P的切線斜率2X0 D2 V.E為)2推論2設(shè)橢圓a2Jib2的弦AB的中點為P(xo, yo) ( y00)kAB ,那么b2a?上yo.注:對aw b也成立.假設(shè)點kP在橢圓上,那么過

8、點 P的切線斜率為b2 9Xgy0 )推論3設(shè)雙曲線24 i,、b 的弦AB的中點為P( x0, y0) (y0kAB0)那么b2a?上y0 .假設(shè)點P在雙曲線上,那么過k耳?血P點的切線斜率為ay0 推論4設(shè)拋物線2y 2Px的弦ab的中點為p(xo, yJ ( y0kAB0)那么_Py0.假設(shè)點Pk -在拋物線上,那么過點 P的切線斜率為y0我們可以直接應(yīng)用上面這些結(jié)論解決有關(guān)問題,下面舉例說明.例i、求橢圓2X252匕ii6 斜率為3的弦的中點軌跡方程.c 16 cx3?-解：設(shè)P (x,/75(,24i xy是所求軌跡上的任一點,那么有75 24125 y,故所示的軌跡方程為i6X+7

9、5y=0例2、橢圓2X2ab2ia b 0,A、B是橢圓上兩點,線段 AB的垂直平分線2,2a b相交于P(x0,0),求證:2,2a bXo 證實：設(shè)AB的中點為Ta(Xi, Yi)b2aYi由題設(shè)可知AB與X軸不垂直, o2J?YYi.l的方程為：2 aXl 1T2a b22a b,.l±AB2 產(chǎn)(X bX1Xi)2 a Xo . | x1 | ab2令y=o2a IYi23?A(Xo Xi)例3、拋物線c： y X,直線1 : Y k(X 1)1,要使拋物線C上存在關(guān)于l對稱的兩點,k的取值范圍是什么?解：設(shè)中點為C上兩點A、P(Xo,Yo)(B兩點關(guān)于Yoo)l對稱,AB的

10、kAB1_P_2Yo Yoyoik2 ?Xo | b21k 2k(Xoi)i,Xo. PC1klYok(Xo 1) 1,111P( , k)2k2 P在拋物線內(nèi)(k 2)(k24k* o,(i)中點弦問題:k32k 4 cL Q2 k 0.與拋物線有關(guān)的弦的中點的問題y =g+1與/ +y2 +a-丫 = 1交于兩點,且這兩點關(guān)于直縹+> = 0對稱,那么痙+方=7令兩交點是乃,都滿足二次曲域方程.姻-"二°馬+W+蛇一四二1有西-迎%+ m+8-%5+必+三瓦-電-01-乃=.丫同四為-初有近十七十十%十八二M西一兩網(wǎng)一切8F 就是直線的斜率印七+叼；|乂十yj就是

11、交點中點坐標(biāo)的兩倍.由關(guān)于另 所一引直線對稱,所以中-1,且交點的中點就是兩直及交點為弓,占,所以一十七二1,乃+乃=1,所以又有1十1用"=.得到41卜上題麻煩了.是圓不用中點法例1由點2,0向拋物線y2 4x引弦,求弦的中點的軌跡方程.分析：解決問題的關(guān)鍵是找到弦的端點A、B在直線上的性質(zhì)和在拋物線上的性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系.解法1：利用點差法.22設(shè)驪點為 A xi, yj , BX2,y2,那么 yi4xi, y4x2 ,兩式相減得y22 y12 4 x2 x1,式兩邊同時除以x2 x1 ,得y2 y1 yy1 4 ,x2 xi設(shè)弦的中點坐標(biāo)為x, y,那么x1 x2 2x, y1

12、y2 2y ,又點x, y和點2,0在直線AB上,所以有 y- y一y1.x 2x2 x1將、代入得 2y4, 整理得y2 2x 2.故得中點的軌跡方程是 y2 2x 2在拋物線y2 4x內(nèi)部的局部.解法2：設(shè)弦AB所在直線的方程為 y kx 2,y kx 21,由方程組9消去x并整理得ky2 4 y 8k 0,3y2 4x24設(shè)AJiyJ、Bx2,yz、中點x, y,對于萬程3,由根與系數(shù)的關(guān)系,有 y y2,k2(x 2)y1y2212 y-代入(i)得 y2k故得所求弦中點的軌跡方程是y2 2(x 2)在拋物線y2 4x內(nèi)部的局部.評注：(1)求點的軌跡方程即是求曲線上的點的橫、縱坐標(biāo)所

13、滿足的關(guān)系式,此題所給出的兩 種方法,都是找動點(x,y)與條件的內(nèi)在聯(lián)系,列關(guān)于 x, y的關(guān)系式,進(jìn)而求出軌跡的方程.設(shè)拋物線y2 2px(2)弦中點軌跡問題p 0)的弦 AB , A (xi, yi) , B(x2, y2),弦 AB 的中點 C(xo, yo),2那么有yi2y22pxi2 Px2(12),(1) ( 2)2yi2y22p(xi X2),.yiy2xix22Pyiy2將 yi y22 yo, kABy1y2q _-一氾,代入上式,并整理得kABxix2,這就是弦的斜率與中點 yo的關(guān)系,要學(xué)會推導(dǎo),并能運用.例2拋物線y22x ,過點Q(2,1)作一條直線交拋物線于 A

14、,B兩點,試求弦AB的中點軌跡方程.解：如圖,設(shè)弦AB的中點為M,并設(shè)A、B、M點坐標(biāo)分別為(Xi, yi) , (X2, y2),(x,y),2_根據(jù)題意設(shè)有yi2x1,2y2xix2yiy22y,yiy2xix2代人得,2y( yiy2)2(xix2),. xix2 ,.以上xix2代入得,y2 y x評注：此題還有其他解答方法,如設(shè) AB的方程為y k(x 2) i ,將方程代入y22x ,禾1J用根與系數(shù)的關(guān)系,求出弦中點的軌跡方程.專題：直線與拋物線的位置關(guān)系及中點弦問題1)位置關(guān)系二設(shè)直線氏+ M"j£O) 他物線 p=2/u(p>.)聯(lián)立解制： ky1

15、- 2py + 2 pm = 0 G假設(shè)m :自線與拋物線的對稱軸平行或重合,直線與拋物線相交于一點二假設(shè)m,A >0n宜線與拋物線相交,布兩個交點；A = 0 =直線與版物線相切,行一個交點；A<Un白淺與跑物畿相離.無交點;：(2)相交弦關(guān)二直線與網(wǎng)鉞曲跋相交的弦長公式設(shè)直線t.y=kx+n.圓犯曲線：A(r,v)=Ot它.的交點為P出加,P> (M初,v) = 0,目由?消去T得到m+fu+尸.：m#l). Sr-即.) - fcv + n設(shè)4(xt,yj.B(x2,y2) r那么弦長公式為:Ml AS 1= Ji +,4國+巧f-4,用假設(shè)聯(lián) 消去工得丁的一兀二次方將

16、：5v= +公+ q = 0)設(shè) A(xP yj,B(x2,yJ1那么I 4E1= Jl + j+ 外產(chǎn) 一4兇當(dāng)(3)典倒分析:例1拋物線的方程為y2=4與直線L過定點Pf-2,1),斜率為k*為何值時,直線L與拋物線r=4x:只有一個公共點;有兩個公共點;沒有公共點解；由題意,設(shè)直線/的方程為y-1 =出(工+ 2 )由方程組B ；：+為fflJcMW,kya-4y + 4f2k + l)O (1)(1)當(dāng)k = O時,由方程(1)得y = l將y =1代入y2 =4工,得工=L這時直線上與拋物線只有'個公共點g J )(2)當(dāng)k豐0時,方程的判別式為0A = -l«(2

17、F+i-l)當(dāng)A = 0 時,即2k* + k-l = O,解得k=-l,或k =；于是當(dāng)k=-l,或k=;時,方程(1)只有一個解,從河方程組只有一個解.此時直線1與拋物線有一個交點.Q)當(dāng) A >0時即2/ + M-1?0,解得一 IV左V、2于是當(dāng)-i<k« g時,方程1有兩個解,從K方程組有悶個解,此葉直線1與拋物線有兩個交點口當(dāng)A <0時,即2/ +七-1 >0#解得k£ -1或它> -于早當(dāng)k«-l或K>,上方程1沒有解,從Iff方程明沒有解'此時直囑I與拋物線沒有交段.保上所述：當(dāng)；旦k,0時,直線和拋物線

18、有兩個交點；當(dāng)-1或k=乙或h0% 直線和拋物線有一個交點;2當(dāng)k<-l曲k>g時,亶線和拋物餞沒有交點.例,拋物線口爐=網(wǎng),設(shè)支線與拋物線兩交點為A, B,旦線段AB中點為M 乙 1,求直線,的方程.懈由題意可知,直緘1斜率一定存在F故可設(shè)A工L*yj日也3.力犬# X,那么 Xi + x2 = %y1+ y3 = 2由產(chǎn)=4& nM»= 4=2y =4心M 一 出 yi + "此時直徹的方程 為y-1 = 2(x-2),Rp2x-y-3 = 0由|丫 4、消K得yJ2y-6 =0 = a 02x * y - 3 = 0所以直線/的方程為y-l = 2

19、x-2RP2x-y3=0說明工中點蔻問題的常見解決方法:點差法例3拋物線的頂點在原色.焦戊在r軸的正平釉匚 直純y = Tx +1被拋物線所載 得的弦4E的中點的縱坐標(biāo)為-2.<1求拋物線的方程：2姑杏存在:棄迎點的定點,H,使得過H的動直線與拋物線相交J匕Q兩點,I L以 PQ為直徑的圓過原點解1：由條件可設(shè)拋物線方程為:y2 =2pxp>Q城立自線, = 7k+I化筒得：2,y2 + p,v-p = O設(shè) 4al. y, Z?a2t y;那么立 + y3 = 一?二-4 /4 p = 8 拋物線方程為：y? = 16工 22設(shè)存在滿足條件的定點比 設(shè)動苴線方程為¥ 二 口十四大".聯(lián)立拋物戰(zhàn)方程化簡W： ky2 -16y+16/7 = 0設(shè)尸.?,»,0勺,打那么有修勺十E力 = 0即：b = 6k 故動直線方程為7 =h- 16" = *5-16,恒過定點116, 0當(dāng)直線斜率不存在叼,設(shè)直線方程為人=%,易解得出 = 16 0端匕 存在異于原點的定點打(16. 0)滿足條件七例4N紋,過定點曲4口與拋物線.；爐=2內(nèi)(尸0交P, Q兩點,假設(shè)以PQ 為直徑的阿恒過原點6 求p的他解t可設(shè)