關(guān)注農(nóng)村城鎮(zhèn)化建設(shè)與發(fā)展的數(shù)學(xué)問題

1、關(guān)注農(nóng)村城鎮(zhèn)化建設(shè)與發(fā)展的數(shù)學(xué)問題湖南祁東二中 譚揚(yáng) 421600湖南祁東育賢中學(xué) 周友良 4216002006年黨中央在農(nóng)村工作中以建設(shè)社會(huì)主義新農(nóng)村為工作重點(diǎn)，下面例析以此為背景的相關(guān)數(shù)學(xué)問題。一以農(nóng)村城鎮(zhèn)化建設(shè)為背景的數(shù)學(xué)問題例1洪橋鎮(zhèn)洪豐科技工業(yè)園有A、B、C、D四間工廠坐落在邊長(zhǎng)為2km的正方形頂點(diǎn)上，為了響應(yīng)縣委四大家科技興縣、科技強(qiáng)縣的號(hào)召，決定優(yōu)化洪豐科技工業(yè)園投資環(huán)境，確保交通暢順，繁榮經(jīng)濟(jì)，鎮(zhèn)政府決定建立一個(gè)使得任何兩間工廠都有通道的道路網(wǎng).(1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)道路網(wǎng)，使它的總長(zhǎng)不超過5.5km；(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)總長(zhǎng)度最短的道路網(wǎng).方法提供：這是一道策略開放題，要探索各種可

2、行的方案，然后逐一比較、取舍，逐漸逼近題目的指標(biāo).(1)若沿正方形邊界修建道路網(wǎng)，總長(zhǎng)8km，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于指標(biāo)，不合要求；若沿正方形的對(duì)角線修建道路網(wǎng)，總長(zhǎng)為4km，向指標(biāo)逼近了一步，但仍不合要求.由于正方形的對(duì)稱性，過它的中心O，作EFAB，建一條公共道路EF，設(shè)OE=OF=x(如下圖所示)，則道路網(wǎng)總長(zhǎng)度為y=2x+4， (*)依題要求有2x+45.5，即48x2-40x+70，解得 x.由此可知，當(dāng)公共道路長(zhǎng)kmEFkm，有無數(shù)種方案滿足要求.(2)為了求函數(shù)的最小值，把(*)化為x的方程12x2+4(y-8)x+32-y2=0.xR+，=16(y-8)2-412(32-y2)0，即y2-4

3、y-80y2+25.4642，此時(shí)x=-=1-0.42265.故當(dāng)公共道路長(zhǎng)為0.8453km時(shí)，道路網(wǎng)總長(zhǎng)最短，為5.4642km.二以招商引資，農(nóng)產(chǎn)品深加工為背景的數(shù)學(xué)問題例2某外商到一開發(fā)區(qū)投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費(fèi)12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元.（1）若扣除投資及各種經(jīng)費(fèi)，則從第幾年開始獲取純利潤(rùn)？（2）若干年后，外商為開發(fā)新項(xiàng)目，有兩種處理方案：年平均利潤(rùn)最大時(shí)以48萬美元出售該廠；純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以16萬元出售該廠，問哪種方案最合算？.解：由題意知，每年的經(jīng)費(fèi)是以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)純利潤(rùn)與年數(shù)的關(guān)系為f(n),則

4、f(n)=50n12n+472=2n2+40n72(1)獲純利潤(rùn)就是要求f(n)0,2n2+40n720，解得2n18.由nN知從第三年開始獲利.（2）年平均利潤(rùn)=402(n+)16.當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)取等號(hào).故此方案先獲利616+48=144（萬美元），此時(shí)n=6,f(n)=2(n10)2+128.當(dāng)n=10時(shí)，f(n)|max=128.故第種方案共獲利128+16=144（萬美元）.故比較兩種方案，獲利都是144萬美元，但第種方案只需6年，而第種方案需10年，故選擇第種方案.三以創(chuàng)辦農(nóng)家樂、農(nóng)村生態(tài)旅游為背景的數(shù)學(xué)問題例3從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，四明山投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅

5、游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，本題有很強(qiáng)的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型.知識(shí)依托：本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識(shí)為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識(shí)點(diǎn).錯(cuò)解分析：

6、(1)問an、bn實(shí)際上是兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，易與“通項(xiàng)”混淆；(2)問是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差.技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800(1)萬元，第n年投入為800(1)n1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為an=800+800(1)+800(1)n1=800(1)k1=40001()n第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400(1+)，第n年旅游業(yè)收入400(1+)n1萬元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn=400+400(1+

7、)+400(1+)k1=400()k1.=1600()n1(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bnan0，即：1600()n140001()n0，令x=()n，代入上式得：5x27x+20.解此不等式，得x，或x1(舍去).即()n，由此得n5.至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.四以農(nóng)村污水治理為背景的數(shù)學(xué)問題例4有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天p克的污

8、染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)= +g(0)- e(p0)，其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)； （2）求證：當(dāng)g(0) 時(shí)，湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重； （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%？ 解（1）g(t)為常數(shù)， 有g(shù)(0)-=0， g(0)= .(2) 我們易證得0t1t2， 則g(t1)-g(t2)=g(0)- e-g(0)- e=g(0)- e-e=g(0)- ，g(0)0，t1e， g(t1)g(t2).故湖水污染質(zhì)

9、量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加，污染越來越嚴(yán)重.(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)e，設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)=e，t= ln20，故需要ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%.五以封山育林、防風(fēng)固沙為背景的數(shù)學(xué)問題例2。. 某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示：1998年1999年2000年新植畝數(shù)100014001800沙地畝數(shù)252002400022400而一旦植完，則不會(huì)被沙化.問：（1）每年沙化的畝數(shù)為多

10、少？ （2）到那一年可綠化完全部荒沙地？解：（1）由表知，每年比上一年多造林400畝. 因?yàn)?999年新植1400畝，故當(dāng)年沙地應(yīng)降為畝，但當(dāng)年實(shí)際沙地面積為24000畝，所以1999年沙化土地為200畝. 同理2000年沙化土地為200畝.所以每年沙化的土地面積為200畝.（2）由(1)知，每年林木的“有效面積”應(yīng)比實(shí)造面積少200畝. 設(shè)2000年及其以后各年的造林畝數(shù)分別為、，則n年造林面積總和為： . 由題意： 化簡(jiǎn)得 , 解得： .故8年，即到2007年可綠化完全部沙地. 六以節(jié)約水資源為背景的數(shù)學(xué)問題例1. （水塔供水問題）某工廠有容量為300噸的水塔一個(gè)，每天從早上6時(shí)起到晚上1

11、0時(shí)止供應(yīng)該廠生活和生產(chǎn)用水。已知該廠生活用水為每小時(shí)10噸，工業(yè)用水量W（噸）與時(shí)間（單位：小時(shí)，定義早上6時(shí)=0）的函數(shù)關(guān)系式為，水塔的進(jìn)水量有10級(jí)，第一級(jí)每小時(shí)進(jìn)水10噸，以后每提高一級(jí)，每小時(shí)的進(jìn)水量增加10噸，若某天水塔原有水100噸，在供水同時(shí)打開進(jìn)水管。 （1）設(shè)進(jìn)水量選用第級(jí)，寫出在時(shí)刻水的存有量； （2）問進(jìn)水量選擇第幾級(jí)，既能保證該廠用水（水塔中水不空）又不會(huì)使水溢出。 讀懂題目：題目涉及的關(guān)鍵詞比較多：生活用水量、工業(yè)用水量、水的存有量、進(jìn)水量、原有量。其數(shù)量關(guān)系為：存有量=進(jìn)水量用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工業(yè)用水量。第一問的關(guān)鍵點(diǎn)是求“進(jìn)水量選用第級(jí)”。第二問的關(guān)鍵點(diǎn)是“水塔中水不空不溢”轉(zhuǎn)化為“存有量”。 建立數(shù)學(xué)模型：存有量=進(jìn)水量用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工業(yè)用水量=10在選用第級(jí)的進(jìn)水量時(shí)，時(shí)刻水的存有量為，要使水搭中水不空不溢，則，問題轉(zhuǎn)化為確定，使，在（）上恒成立。 求解數(shù)學(xué)模型：面對(duì)上述不等式，如何求解？是否會(huì)轉(zhuǎn)化為“對(duì)一切恒成立，”是否會(huì)作一個(gè)代換“令”