完整版量子力學周世勛習題解答

1、第四章習題解答4.1.求在動量表象中角動量Lx的矩陣元和 偵的矩陣元解:(Lx)pp =(嘉)3 Je*'(y?z -z?y)eWdT'PgJ.pr.-zpy)ed .i -)3.e"r(Mp楠-.房)* d,卜 d d 1 3 必E廠= (-i )(pz py)(尸)3 e d:Ty Fz 27希 cE、/ _ 、=i (py - pz)、(p - p ):pz:Py(L：)pp =；(x)LX' "dii 一13-p r2 -pr= ()3.e(y?z-z?y)2ed-i 一 一i 一1 3-p r-pr=()e(y?z - z?y)(y?z -

2、 z?y )e d.=(土)3e*r(y?z zpy)(的(py工pz三)e'dT2 二：pzSyk( 廠； d.iir 2-213(py "zT (L e:pz:Ty2 二=- 2(py -pz)"(p - p )SzSy#4.2求能量表象中,匚耙無限深勢阱的坐標與動量的矩陣元.2 n un(x)=. sin x a a2 2n22a2解：基欠:臺匕 北地：En對角元:xmm當時,ma2_2m jaxsin xdx=0 aa22 am：xmn(sinx)xa 0 a1uucosnudu = 2 cosnu sin nu nnn 二(sin)dxa1 a (m -

3、n)二 (m n)二 , x cos x _ cos x dxa 0aa一(m n)2a(m - n)二 ax . (m - n)二2 cosx sinax02r a(m n).-cos-(m n)二aaax . (m + n)Ji , sinx (m+n)na 0二a (m - n)二 a爭-1廣-兀(m-n) (m + n)4mn | 2,22、2 ()二(m -n )*a 2 m 二 dPmn = Um (x)?Un(x)dx =-i sin x sin0 a a.2n 二=一1Ta.n_：=t 2aa_.一 mnsinx cosxdx0 a aa . (m n)：. (m - n):s

4、in x sin x0 _ aa.n 二 I a (m n)二 a=i cos x a |(m n)二 a (m-n)二=i胃工E) a * |t(m n) (m - n)=(1J2(m -n )am _n-1n 二, xdx dx adx(m - n):cos xa, cos(m n)u cos(m - n)u 八sin mucosnuduC2(m n) 2(m - n)#4.3求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù).解：定態(tài)薛定謂方程為1 ,d2p2-d?C(P,t)C(P,tEC(P,t)即一12一22d2 一p2_疝斗.E 一方Cai兩邊乘以假設,得1cl?、2Ep2、八2C(p,t)

5、(- )C(p,t) = 01 dp'；-,&0計令=p = ： p,2E九=C(p,t) (- 2)C(p,t) =0 d跟課本P.39(2.7-4艮;比較可知,線性諧振子的能量本征值和本征函數(shù)為En =(n !),-J ?p2'EntC(p,t) = Nne 2 Hn( p)e式中Nn為歸一化因子,即N =()1/2n ( 1/2 n ,)二 2 n!#4.4.求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元.X 12 2X22解：H?=上2 1, 2x222Hpp = : ；(x)H- p(x)dx,£七一二2二I 2；：x2一二、2二一 2 二(-P)2二-p

6、 211 q ：'-= W-p) 十丑2 狩/)工、(p F 一22 I:p24-2= *8(pp)；"2影三25(p' p)22: p 222=菱、(p - p) - 婦2 2 Tpr、(p - p)2、Xdx- 2x2)e2DO -kp-p)x1 o 1e dx2二22 二2矽-拓p頊xe dx：p1-(p -p)xe dx h'x2e"p)Xdx4.5設在P和Z的共同表象中,算符L?x和y的矩陣分別為0100-i0、101Ly= 2i0-iL°10Jl°i0 J最后將矩陣0hLx - 2求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)Lx的

7、久期方程為Lx和Ly對角化.解:其中=0,勺=.,7-2 =,-3h010、1a *M、1011a 2=Aa2成1叮3 J3aia2h2?x的本征值為0,?x的本征方程設為x的本征函數(shù)L和Z共同表象中的矩陣a3 J=0時,101i0a?a2ai a3=a3 = -a1, a2 = 0- '-；0由歸一化條件ai0ai、,一,*1=0-0 = a,0,-aai0ai.20對應丁 x的本征值0.t10、1%1 '''a '101 1a2=Aa2010;<a3jEh2a2當丸2 =藏時,有&、a2<a3 J=- 2a1=-2a31 .2a2

8、1 ,、(a1a3)<_*'21 a2-2a1ai)由歸一化條件-,* 二 *、 rz=4a11 =(a,J2ai,a)J2a取a1.歸一化的Vft =對應丁 x的本征值此12 )aia1a2IP 10 八a3)a12a2a3a?.平=J2a1由歸一化條件=-2a=ai1 =a；,V2a；,a； T/2a1 =4a1取 a1 =2.歸一化的5 =由以上結(jié)果可知,(1121212L和LZ的共同表象變到x表象的變換矩陣為對應丁 L?x的本征值-計.對角化的矩陣為12 1212Lx1212112_ j_v'212 =S LxS匚4212101<0010；121211212

9、11.2017212 1.212000、0 00 '0 20=0存.00- v 2 ,P 0 -七h二2根據(jù)與上同樣的方法可得Ry的本征值為0,氣-方Ry的歸一化的本征函數(shù)為(1 、1、1 、液22-命平0 =01'血J蠕=1<2>1C 2 j從I?和I?Z的共同表象變到y(tǒng)表象的變換矩陣為111 'p n 1、?222H 0琵ii1i1S =0n S =<2V22<221111i1、血 2 一 2 )<2<22J利用S可使y對角化0 00 'L； =S*LyS = 0 布 0<0 0-七# 4.6.求連續(xù)性方程的矩陣表示

10、解：連續(xù)性方程為斑 -=- J-：ti 一J ='1 "*.*".十i 而 '、.J ='、.('"、, * 二 W )2十(八,2一.*. * i 2一：)=【('-秒 * 一'- *代) i ':.i 二=(- *#" *)ft-. *1i ( ') /"-" *)ft寫成矩陣形式為i 二(,")=,一.T? T?一:t一(! *)=.：學一 一(一 T?)* =亍一亍* =0.:t#量子力學?測試大綱一. 緒論(3)1. 了解光的波粒二象性的主要實驗事實；

11、2. 掌握德布羅意關(guān)于微觀粒子的波粒二象性的假設.二. 波函數(shù)和薛定謂方程(12)(1) 理解量子力學與經(jīng)典力學在關(guān)于描寫微觀粒子運動狀態(tài)及其運動規(guī)律時的不同觀念<(2) 掌握波函數(shù)的標準化條件：有限性、連續(xù)性、單值性.(3) 理解態(tài)疊加原理以及任何波函數(shù)W (x,.按不同動量的平面波展開的方法及其物理意(4) 了解薛定謂方程的建立過程以及它在量子力學中的地位；薛定謂方程和定態(tài)薛定謂方 程的關(guān)系；波函數(shù)和定態(tài)波函數(shù)的關(guān)系.(5) 對于求解一維薛定謂方程,應掌握邊界條件確實定和處理方法.(6) 關(guān)于一維定態(tài)問題要求如下：a .掌握一維無限阱的求解方法及其物理討論；b .掌握一維諧振子的能譜

12、及其定態(tài)波函數(shù)的一般特點：c . 了解勢壘貫穿的討論方法及其對隧道效應的解釋.三力學量用算符表達(17)(1) 掌握算符的本征值和本征方程的根本概念；厄米算符的本征值必為實數(shù)；坐標算符和動量算符以及量子力學中一切可觀察的力學量所對應的算符均為厄米算符.(2) 掌握有關(guān)動量算符和角動量算符的本征值和本征函數(shù),它們的歸一性和正交性的表達 形式,以及與這些算符有關(guān)的算符運算的對易關(guān)系式.(3) 電子在正點電荷庫侖場中的運動提供了三維中央力場下薛定謂方程求解的范例,學生 應由此了解一般三維中央力場下求解薛定謂方程的根本步驟和方法,特別是別離變量法.(4) 掌握力學量平均值的計算方法.將體系的狀態(tài)波函數(shù)

13、W (x)按算符 偵的本征函數(shù)展開是這些方法中常用的方法之一,學生應掌握這一方法計算力學量的可能值、概率和平均值.理解在什么狀態(tài)下力學量骸具有確定值以及在什么條件下,兩個力學量的日&同時具有確定值.(5) 掌握不確定關(guān)系并應用這一關(guān)系來估算一些體系的基態(tài)能量.(6) 掌握如何根據(jù)體系的哈密頓算符來判斷該體系中可能存在的守恒量如：能量、動量、 角動量、宇稱等.四.態(tài)和力學量的表象(10(1) 理解力學量所對應的算符在具體的表象下可以用矩陣來表示；厄米算符與厄米矩陣相對應；力學量算符在自身表象下為一對角矩陣；(2) 掌握量子力學公式的矩陣形式及求解本征值、本征矢的矩陣方法.(3) 理解狄拉

14、克符號及占有數(shù)表象五.微擾理論(16)(1) 了解定態(tài)微擾論的適用范圍和條件：(2) 對于非簡并的定態(tài)微擾論要求掌握波函數(shù)一級修正和能級一級、二級修正的計算.(3) 對于簡并的微擾論,應能掌握零級波函數(shù)確實定和一級能量修正的計算.(4) 掌握變分法的根本應用；(5) 關(guān)于與時間有關(guān)的微擾論要求如下：a .了解由初態(tài)氣躍遷到末態(tài)中f的概率表達式,特別是常微擾和周期性微擾下的表達 式；b .理解由微擾矩陣元 Hi乒0可以確定選擇定那么；c .理解能量與時間之間的不確定關(guān)系： £ t s布d .理解光的發(fā)射與吸收的愛因斯坦系數(shù)以及原子內(nèi)電子由北態(tài)躍遷到f態(tài)的輻射強度均與矩陣元rfi的模平方I膏I 2成正比,由此可以確定偶極躍遷中角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選 擇定那么.(5)了解氫原子一級斯塔克效應及其解釋.*六、散射問題(8)七.自旋和全同粒子(15)(1) 了解斯特恩一格拉赫實驗.電子自旋回轉(zhuǎn)磁比率與軌道回轉(zhuǎn)磁比率.(2) 掌握自旋算符的對易關(guān)系和自旋算符的矩陣形式(泡利矩陣).與自旋相聯(lián)系的測量值、概率、平均值等的計算以及本征值方程和本征函數(shù)的求解方法.(3) 了解簡單塞曼效應的物理機制.(4) 了解L-S藕合的概念及堿金屬原子光譜雙線結(jié)構(gòu)和物理解釋.(5) 根據(jù)量子力學