復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、?復(fù)數(shù)?知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、復(fù)數(shù)的概念形如a +bi(a,b w R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i叫做虛數(shù)單位,滿(mǎn)足i2 = -1, a叫做復(fù)數(shù)的 實(shí)部,b叫做復(fù)數(shù)的虛部.(1)純虛數(shù)：對(duì)于復(fù)數(shù) z=a+bi,當(dāng)a = 0且b#0時(shí),叫做純虛數(shù).(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等：a+bi,c+di(a、b c、d w R)相等的充要條件是 a=c且b=d.(3)復(fù)平面：建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,橫軸為實(shí)軸,豎軸除去原點(diǎn) 為虛軸.T(4)復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù) z = a+bi可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) Z(a,b)表示,向量 OZ的模叫做復(fù)數(shù)z = a+bi 的模,表示為：|z|=|a + bi |= Ja2 +b2(5

2、)共軻復(fù)數(shù)：兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做共軻復(fù)數(shù).2、復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算(1)加減運(yùn)算：(a +bi )±(c + di) =(a±c) +(b + d)i ;(2)乘法運(yùn)算：(a +bi) (c +di) = (ac -bd) +(ad +bc)i ;(3)除法運(yùn)算：(a +bi) + (c + di)=絲 + 叼)+(1為)i(c + di 豐 0);c d c d(4) i 的哥運(yùn)算：i4n =1, i4n* = i , i4n也=-1, i4n =i.(nw Z)(5) zz =|z|2二|z|23、規(guī)律方法總結(jié)(1)對(duì)于復(fù)數(shù)z = a+bi(

3、a,bw R)必須強(qiáng)調(diào)a,b均為實(shí)數(shù),方可得出實(shí)部為a ,虛部為b(2)復(fù)數(shù)z = a+bi(a,bw R)是由它們的實(shí)部和虛部唯一確定的,兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題的主要方法.對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)z = a + bi(a,b w R),既要從整體的角度去熟悉它,把復(fù)數(shù)看成一個(gè)整體,又要從實(shí)部、虛部的角度分解成兩局部去熟悉(3)對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù),假設(shè)不全是實(shí)數(shù),那么不能比較大小,在復(fù)數(shù)集里一般沒(méi)有大小之分, 但卻有相等與不等之分.(4)數(shù)系擴(kuò)充后,數(shù)的概念由實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集,實(shí)數(shù)集中的一些運(yùn)算性質(zhì)、概念、 關(guān)系就不一定適用了,如絕對(duì)值的性質(zhì)、絕對(duì)值的定義、偶次方非負(fù)等1、根本概念計(jì)

4、算類(lèi)例1.假設(shè)Zi =a +2i,z2 =34i,且亙?yōu)榧兲摂?shù),那么實(shí)數(shù) a的值為Z2解：由于,Zi = a +2i _ (a +2i)(3+4i) _ 3a +6i +4ia -8 _ 3a -8 + (6 + 4a)i z23 4i - (3-4i)(3 4i) -25-25又亙?yōu)榧兲摂?shù),所以,3a 8=0,且6+4a=0.Z22、復(fù)數(shù)方程問(wèn)題5 -5i 例2.證實(shí)：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),方程|z|2 +(1 -i)z = - (i為虛數(shù)單位)無(wú)解2 i證實(shí)：原方程化簡(jiǎn)為|z|+(1i)z (1+i)z=13i,設(shè)z = x + yi(x、yw R),代入上述方程r 2 .2.,一22. 一x+y

5、=1o得 x +y 2xi 2yi =1 3.7整理得 8x2 12x+5 = 02x+2y =3: A = -16<0.方程無(wú)實(shí)數(shù)解,所以原方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解.3、綜合類(lèi)例3.設(shè)z是虛數(shù),z =z.+是實(shí)數(shù),且一1<« <2z(1) 求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；1 z(2) 設(shè)M =-z,求證：M為純虛數(shù)；1 z(3) 求8M 2的最小值.解：(1)設(shè) z = a + bi (a, b三 R, b # 0 )1二 a bi =(aa biOb2) (b-2±b2)i,由于,6是實(shí)數(shù),2. 21.所以,a +b =1,即 |z|=1,由于a=2a,

6、 1<0 <2, - < a <11所以,z的實(shí)部的取值范圍(一 1,1)21 - z(2) M1 z1 -a bi _ (1 -a -bi)(1 a -bi) _ 1 -a2 -b2 2bi _ bi1 a bi (1a bi)(1 a - bi) (1a)2 b2 a 1(這1里利用了(1)中 a2 + b2 =1 ). 由于 ac ( ,1),2b00,所以M為純虛數(shù)c2 cb2c 1 - a2c a -1(3) coM =2a +2 = 2a +2 = 2a -(a 1)2 (a 1)2 a 121=2a -1 =2(a 1) -3a 1a 1-1 .2由于,a

7、w (1),所以,a+1>0,所以缶M 至2X 23= 1,2所以,co -M 2的最小值是1.,11,一一當(dāng)a+ 1 =,即a= 0時(shí)上式取等號(hào), a 14、創(chuàng)新類(lèi)例4.對(duì)于任意兩個(gè)復(fù)數(shù) 4 =X1+y1i, z2 = x2+y2i(x1, x2, y1, y2亡R)定義運(yùn)算為Z1 O Z2 = X1X2 +y1y2,設(shè)非零復(fù)數(shù) 叫f 2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P1,P2,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),假設(shè) 叫.缶2 =0,那么在AP10P2中,/PQP2的大小為 .解法一：(解析法)設(shè)孫=a1 +b1i,62 = a2 +b2i(a1, a2 / 0),故得點(diǎn) 已,4),P2(a2 ,bz),且

8、a1a2 +bb2 = 0,即 一 一 = -1a1 a2從而有 k°P11kop22 =互1 故 OP1 _LOP2,也即POP2 =90° a a2解法二：(用復(fù)數(shù)的模)同法一的假設(shè),知 .2 . .22 . 2| OP1 | =| , ,1 | = a , b1|OP2|2=|2 |2 =a2 b；|PF2|2=| '1 - '2|2=|0 -a?) (6 b2)i |22,22,22,22,2_=a1 +b1 + a2 +b2 2 ( a1a2 +b1b2) = a1+a2+b22x0=a2 +b； + a； +b；= | OP |2 + | OP2 |2由勾股定理的逆定