完整全等三角形專題構造全等三角形方法總結,推薦文檔

1、專題：構造全等三角形利用三角形的中線來構造全等三角形倍長中線法倍長中線法：即把中線延長一倍,來構造全等三角形.1、如圖 1,在 ABC43,G圖1AD是中線,BE交AD于點F,且AE= EF.試說明線段AC與BF相等的理由.簡析 由于AD中線,于是可延長 AD到G使DG= AD連結BG那么在AC前 AGBD, AD= GD / ADO / GDB CD= BD 所以4 AC挈 GBDSAS , 所以 AC= GB / CAD= / G 而 AE= EF,所以/ CAD= / AFE又 / AFE = /BFG 所以/ BFG= / G 所以 BF= BG 所以 AC= BF.說明 要說明線段或

2、角相等,通常的思路是說明它們所在的兩個三角形全等,而遇到中線時又通常通過延長中線來構造全等三角形.利用三角形的角平分線來構造全等三角形法一：如圖,在 ABC中,AD平分/ BAC.在 AB上截取 AE=AC ,連結 DE.可以利用角平分線所在直線作對稱軸,翻折三角形來構造全等三角形.ED=CD , ZAED=ZC . ZADE=ZAD0法二：如圖,在 ABC中,AD平分/ BAC.延長 AC至U F ,使AF=AB ,連結 DF.可以利用角平分線所在直線作對稱軸.翻折三角形來構造全等三角形.戴氏教育集團BD=FD . /B=/F. ZADB=ZADFfl法三：在 ABC中,AD平分/ BAC.

3、作DM,AB于M , DN ±AC于N.可以利用角平分線所在直線作對稱軸,翻折三角形來構造全等三角形b o DM=DN . AM=AN. NADM=NAND0還可以用“角平分線上的點到角的兩邊距離相等"來證 DM=DN 2、：如圖,在四邊形ABCD 中,BD是/ ABC的角平分線, AD=CD ,求證：/ A+/C=180法一：證實：在 BC上截取BE,使BE=AB ,連結DE BD是/ABC的角平分線法二：延長 BA至I F,使BF=BC ,連結DF BD是/ABC的角平分線./ 1 = /2 角平分線定義在4ABD和4EBD中AB=EB / 1 = /2 已證BD=BD

4、 公共邊 A ABD EBD S.A.S./ 1 = /2 角平分線定義在 BFD和 BCD中BF=BC /1=/2 已證BD=BD 公共邊A BFDA BCD S.A.S/A = /3 全等三角形的對應角相等AD=DE 全等三角形的對應邊相等AD=CD ,AD=DE 已證.DE=DC 等量代換./ 4=/C 等邊對等角 /3+ 24=180°平角定義,/A = / 3 已證Z A+ /C=180° 等量代換法三：作 DM,BC于M , DN,BA交BA的延長線于 N BD是/ABC的角平分線./ 1 = /2 角平分線定義DN ± BA , DM ±B

5、C ：/ N= / DMB=90 垂直的定義在 NBD和 MBD中/N=/DMB 已證/ 1 = /2 已證BD=BD 公共邊 A NBDA MBD A.A.SND=MD 全等三角形的對應邊相等DN ± BA , DM ±BC . .NAD 和 MCD 是 RtA在 RtANAD 和 RtVICD 中ND=MD 已證AD=CD RtANAD RtzlCD H.L / 4=/C 全等三角形的對應角相等 /3+ 24=180° 平角定義,/ A = / 3 已證Z A+ /C=180° 等量代換法四：作 DM LBC于M , DNLBA交BA的延長線于 N

6、BD是/ABC的角平分線DN ± BA , DMXBC ND=MD 角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等. .NAD 和 MCD 是 RtA在 RtANAD 和 RtVICD 中ND=MD 已證AD=CD RtANAD RtzlCD H.L /4=/C全等三角形的對應角相等 /3+ 24=180° 平角定義/ A = / 3 已證/F=/C 全等三角形的對應角相等DF=DC 全等三角形的對應邊相等AD=CD ,DF=DC 已證DF=AD 等量代換4=/ F 等邊對等角 / F=/ C 已證./ 4=/C 等量代換 /3+ Z 4=180° 平角定義Z A+ /C=

7、 180° 等量代換Z A+ /C=180° 等量代換利用高可以高線為對稱軸構造全等三角形3、在 4ABC 中,AD ± BC ,假設/ 0=2ZB.試比較線段 BD與A0+0D的大小.簡析 由于ADXB0,所以可在 BD上截取DE = DC,于是可得 ADEA AD0 (SAS),所以 AE = AC, /AED = /C,又/ 0=2/ B,所以/ AED = 2ZB,而/ AED = / B+ Z BAE, 即/B=/BAE,所以 BE = AE = A0,所以 BD = BE+DE = AE+DE = AC+CD .說明 利用三角形高的性質,在幾何解題時,

8、可以高線為對稱軸構造全等三角形求解.利用特殊圖形可通過旋轉變換構造全等三角形4、設點P為等邊三角形ABC內任一點,試比較線段 PA與PB+PC的大小.簡析 由于 ABC是等邊三角形,所以可以將 ABP繞點A旋轉60°到AACP'的位置,連結 PP',那么 AACPS ABP (SAS),所以 AP'= AP, CP'= BP, APP'是等邊三角形,即 PP = PA,在 CPP'中,由于 PP'v PC+PC,所以 PAvPB+PC.說明由于圖形旋轉的前后,只是位置發(fā)生了變化,而形狀和大小都沒有改變,所以對 于等邊三角形、正方

9、形等特殊的圖形我們可以利用旋轉的方法構造全等三角形來解題.網(wǎng)用利用平行線構造全等三角形5、 ABC 中,AB =AC, E是AB上任意一點,延長 AC至ij F,連接EF交BC于M,且EM=FM試說明線段BE 與CF相等的理由.簡析 由于BE與CF的位置較散,故可考慮將線段 CF平移到ED,所以過點E作ED/ CF ,貝U / EDB = / ACB, / EDM = / FCM,由于 EM = FM , / EMD = / FMC ,所以 EMDFMC (AAS),所以 ED=CF,又由于 AB=AC,所以/ B=/ACB,即/B=/EDB, 所以EB=ED,所以BE = CF.說明這里通過

10、輔助線將較散的結論相對集中,使求解的難度降低.綜合練習1、如圖, ABC中,AD是/ BAC 的角平分線, AB=AC+CD ,求證：/ C=2 / B 法一：證實：在 AB上截取AE ,使AE=AC ,連結 DE. AD是/ BAC的角平分線()1 = /2 角平分線定義 在 AED和 ACD中AE=AC Z 1=72 已證AD=AD 公共邊AEDA ACD S.A.SZC = Z 3 全等三角形的對應角相等 ED=CD 全等三角形的對應邊相等又 AB=AC+CD=AE+EB EB=DC=ED 等量代換.Z B=/4 等邊對等角 /3= / B+/4= 2/B 三角形的一個外角等于和它不相鄰

11、的兩個內角和C=2Z B 等量代換 法二：延長 AC至ij F,使CF=CD ,連結DF. AD是/ BAC的角平分線1 = /2 角平分線定義 AB=AC+CD , CF=CD AB=AC+CF=AF 等量代換在 ABD和 AFD中 AB=AF 已證/1=/2已證 AD=AD 公共邊ABDA AFD S.A.S/F = /B 全等三角形的對應角相等 CF=CD B=/3 等邊對等角 Z ACB= 2/F 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和 丁./ ACB=2 / B 等量代換2、如圖,直線 MN / PQ,且AE平分/ BAN、BE平分/ QBA , DC是過E的任意線 段,交 MN于點D,交PQ于點Co求證：AD+AB=BC .法一：證實：延長