多項(xiàng)式的因式分解定理

1、§ 1-5多項(xiàng)式的因式分解定理多項(xiàng)式x4 4在有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域上的因式分解引入課題初等數(shù)學(xué)中的因式分解,x44(x22)(x22)(不能再分)Qxx44(x72)(xV2)(x22)(不能再分)Rxx44(x、2)(x2)(x2i)(x. 2i)Cx在不同的系數(shù)域上,具有不同形式的分解式什么叫不能再分平凡因式：零次多項(xiàng)式(不等于零的常數(shù))、多項(xiàng)式自身、前 兩個(gè)的乘積Definitions :(不可約多項(xiàng)式)令f (x)是Px的一個(gè)次數(shù)大 于零的多項(xiàng)式,如果f(x)在Px中只有平凡因式,就稱f(x) 為數(shù)域P上(或在Px中)的不可約多項(xiàng)式.(p(x)在數(shù) 域P上不能表示成兩個(gè)次

2、數(shù)低的多項(xiàng)式的乘積)假設(shè)f(x)除平凡因式外,在Px中還有其它因式,f(x)就說是在數(shù) 域P上(或在Px中)是可約的.如果f(x) g(x)h(x) ,g(x)不是平凡因式,那么g(x)和h(x)的次數(shù)顯然 都小于f(x)的次數(shù).反之,假設(shè)f(x)能寫成兩個(gè)這樣多項(xiàng)式的乘積,那么f(x)有非平凡因式；如果Px的一個(gè)n次多項(xiàng)式能夠分解成Px中兩個(gè)次數(shù)都 小于n的多項(xiàng)式 g(x)和h(x)的乘積即 f(x) g(x)h(x) 那么f(x)在P上可約.由不可約多項(xiàng)式的定義可知：任何一次多項(xiàng)式都是不可約多項(xiàng)式的.不可約多項(xiàng)式的重要性質(zhì)：一個(gè)多項(xiàng)式是否不可約是依賴于系數(shù)域；1 .如果多項(xiàng)式f(x)不可約

3、,那么P中任意不為零的元素C 與f(x)的乘積Cf(x)都不可約.2 .設(shè)f(x)是一個(gè)不可約多項(xiàng)式而P(x)是一個(gè)任意多項(xiàng)式,那么或者f(x)與P(x)互素,或者f(x)整除P(x).3 .如果多項(xiàng)式f(x)與g(x)的乘積能被不可約多項(xiàng)式 P(x)整 除,那么至少有一個(gè)因式被 P(x)整除.Theorem5.如果p(x)是一個(gè)不可約多項(xiàng)式,P(x)整除一些多 項(xiàng)式f1(x), f2(x), , fs(x)的乘積,那么p(x)一定整除這些多項(xiàng) 式之中的一個(gè).證實(shí)：對被除多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)s用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)s=1時(shí),顯然成立；假設(shè)s=n-1時(shí),結(jié)論成立；當(dāng) s=n 時(shí),令 g1(x)fi(x), g2

4、(x)f2(x)f3(x)fn(x),如果p(x) | gi(x),那么p(x) |力命題成立,如 果 p(x) 1 gi(x),那么(p(x), gi(x) 1 ,從而 p(x) | g2(x),即p(x)整除f2(x), f3(x), fn(x) n-1多項(xiàng)式的乘積,由歸納法假設(shè)p(x)整除其中一個(gè)多項(xiàng)式,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理,命題得證.因式分解及唯一性定理：多項(xiàng)式環(huán)Px的每一個(gè)n(n 0)次多項(xiàng)式f(x)都可以唯一分解成Px的不可約多項(xiàng)式的乘積；證f(x)pi(x)2 p(x) ps(x)明所謂唯一性是說,如果有兩個(gè)分解式因f (x)pi(x)2p(x) ps(x) qi(x)q2(x)

5、qt(x)式那么,必有s=t ,并且適當(dāng)?shù)嘏帕幸蚴降捻樞蚝笥蟹纸鈖i(x) cqi(x) (i i,2, s)定標(biāo)準(zhǔn)分解式(典型分解式)：f (x) cp；(x)p22(x)pSs(x)理其中C是f(x)的首項(xiàng)系數(shù),p1(x), p2(x),ps(x)是不同的、首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式,而ri ,2, %正整數(shù).例1：在有理數(shù)域上分解多項(xiàng)式, f(x) x3 x2 2x 2.f (x) x3 x2 2x 2 (x 1)(x2 x 2) (x 1)(x 1)(x 2)例2：求 f(x)x5x4 2x3 2x2 x1在Qx內(nèi)的典型分解式.f (x) x5 x4 2x3 2x2 x 1 (x 1)

6、(x4 2x2 1) (x 1)3(x 1)2 例 3.求f (x)2x510x4 16x3 16x214x 6 在Rx內(nèi)的典型分解式.f(x) 2(x2 1)(x 1)2(x 3)例4:分別在有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上分解多項(xiàng)式x5 1和x6 1為不可約多項(xiàng)式的乘積解：(x5 1) (x 1)(x4 x3x2x 1)Qx(x5 1) (x 1)( x4x3 x2 x 1)2224(x 1)(x2 cos1)(x2 cos1)55Rx(x5 1) (x 1)( x4 x34 / 2k(x 1) (x cos 一k 152x x 1)isin 生Cx突出不同數(shù)域上不同多項(xiàng)式的因式(x61) (x3 1)( x3x 1);在Qx上221) (x 1)(x x 1)(x 1)(x在Rx上(x61) (x3 1)( x3、,、, 2