命題及其關(guān)系充分條件與必要條件-知識點與題型歸納

1、高考明方向1. 理解命題的概念.2. 了解“若p,則q”形式的命題的逆命題、 否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系.3. 理解充分條件、必要條件與充要條件的含義.備考知考情常用邏輯用語是新課標高考命題的熱點之一， 考查形式以選擇題為主，試題多為中低檔題 目,命題的重點主要有兩個：一是命題及其四種形式，主要考查命題的四種形式及命題的真假判斷；二是以函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何中的線 面關(guān)系等為背景考查充要條件的判斷，這也是 歷年高考命題的重中之重.命題的熱點是利用 關(guān)系或條件求解參數(shù)范圍問題， 考查考生的逆 向思維.一、知識梳理名師一號 P4知識點一命題及四種命題1、命題的概念在數(shù)學中用語

2、言、符號或式子表達的，可以判 斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命 題.注意:命題必須是陳述句，疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題。2. 四種命題及其關(guān)系（1）四種命題間的相互關(guān)系.四種命題的真假關(guān)系 兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假 性； 兩個命題為互逆命題或互否命題， 它們的真 假性無關(guān).注意：（補充）1、一個命題不可能同時既是真命題又是假命題2、常見詞語的否定原詞語等于（=）大于（）小于（V）是否定詞語不等于（工）不大于（）不小于（）不是原詞語都是至多有一個至多有n個或否定詞語不都是至少有兩個至少有1個且原詞語至少有一個任意兩個所有的任意的否定詞語

3、一個也沒有某兩個某些某個知識點二 充分條件與必要條件1、充分條件與必要條件的概念（1）充分條件：p= q則p是q的充分條件即只要有條件p就能充分地保證結(jié)論 q 的成立，亦即要使q成立，有p成立就足夠了，即 有它即可。（2）必要條件：p= q則q是p的必要條件P = q = _ q = - p即沒有q則沒有p，亦即q是p成立的必 須要有的條件，即無它不可。（補充）（3）充要條件P 二 q且q二 p即p= q則p、q互為充要條件（既是充分又是必 要條件）“ p是q的充要條件”也說成“ p等價于q 、“q當且僅當p ”等（補充）2、充要關(guān)系的類型（1）充分但不必要條件定義：若p= q，但q= p，則

4、p是q的充分但不必要條件；（2）必要但不充分條件定義：若q= p，但p= q，則p是q的必要但不充分條件（3 ）充要條件定義：若p= q，且q= p，即p二 q，則p、q互為充要條件；（4 ）既不充分也不必要條件定義：若p= q，且q= p，則p、 q互為既不充分也不必要條件.3、判斷充要條件的方法：名師一號P6 特色專題 定義法；集合法；逆否法（等價轉(zhuǎn) 換法）.逆否法利用互為逆否的兩個命題的等價 性集合法利用集合的觀點概括充分必要條若條件p以集合A的形式出現(xiàn)，結(jié)論q以 集合B的形式出現(xiàn)，則借助集合知識，有助于 充要條件的理解和判斷.（1 ）若a = b，則p是q的充分但不必要條件 （2）若b

5、 = a，則p是q的必要但不充分條件（3 ）若A二B，則p是q的充要條件（4 ）若 A B，且 A 二 B，則p是q的既不必要也不充分條件（補充）簡記作若A、B具有包含關(guān)系，則（1 ）小范圍是大范圍的充分但不必要條件（2）大范圍是小范圍的必要但不充分條件二、例題分析（一）四種命題及其相互關(guān)系 例1.（1） 名師一號P4 對點自測1 命題“若x，y都是偶數(shù)，則x + y也是偶數(shù)” 的逆否命題是（）A. 若x + y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B. 若x + y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C. 若x + y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶 數(shù)D. 若x + y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶 數(shù)答案 C例1.（2

6、）名師一號P5高頻考點 例1 下列命題中正確的是（） “若az 0,則工0”的否命題； “正多邊形都相似”的逆命題； “若m>0,則x2+ x rnr 0有實根”的 逆否命題；“若X- 的逆否命題.1-32是有理數(shù)，則X是無理數(shù)”A.B. C.D.解析: 中否命題為“若a= 0,則=0”，正確； 中逆命題不正確； 中， = 1 + 4m當m>0時， >0,原 命題正確，故其逆否命題正確； 中原命題正確故逆否命題正確.答案 B注意：名師一號P5高頻考點例1規(guī) 律方法在判斷四個命題之間的關(guān)系時，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān) 系.要注意四種命題關(guān)系

7、的相對性， 一旦一個 命題定為原命題，也就相應的有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”；判定命題為真命題時要進行推理，判定命題為假命題時只需舉出反例即可. 對涉及數(shù)學概念的命題的判定要從概念 本身入手.例1.（3）名師一號P4對點自測2（2014 陜西卷）原命題為“若Zi,乙互為 共軛復數(shù)，則1| =2|”，關(guān)于其逆命題，否命 題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（）A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假解析 易知原命題為真命題，所以逆否命 題也為真，設 Zi = 3+ 4i ,乙=4 + 3i，則有 i| = 2| ,但是Zi與Z2不是共軛復數(shù)，所以逆命題 為假，同

8、時否命題也為假.注意：名師一號P5問題探究問題2 四種命題間關(guān)系的兩條規(guī)律(1)逆命題與否命題互為逆否命題； 互為逆否命題的兩個命題同真假. 當判斷一個命題的真假比較困難時， 可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假. 同時要關(guān)注“特例法”的應用.例2. (1)(補充)(2011山東文5)已知a, b, c R命題“若 a b c =3,則a2 b2 c2 > 3”的否命題是() (A) 若工 3,貝U a2 b2 c2 <3(B) 若 3，則 a2 b2 c2<3來源(C) 若工 3,貝U a2 b2 c2 > 3(D) 若 a2 b2 c2 > 3,則 3【答案】A來【

9、解析】命題“若p，則q ”的否命題是：“若 一P，則 _q例2. (2)(補充)命題：“若xy=O，則x=0或y=0”的否定是: 【答案】若xy =0，則x = 0且y = 0【解析】命題的否定只改變命題的結(jié)論。、卜I亠、卜:注意:命題的否定與否命題的區(qū)別（二）充要條件的判斷與證明例1.（1）（補充）（07湖北）已知p是r的充分 條件而不是必要條件，q是r的充分條件，s是 r的必要條件，q是s的必要條件?，F(xiàn)有下列命 題：s是q的充要條件；p是q的充分條件 而不是必要條件；r是q的必要條件而不是 充分條件；-p是-s的必要條件而不是充分條 件；r是s的充分條件而不是必要條件， 則正 確命題序號是

10、（）A. B. C. D. 1、利用定義判斷充要條件名師一號P6特色專題方法一定義法 定義法就是將充要條件的判斷轉(zhuǎn)化為兩 個命題“若P，則q”與“若q，則P”的判 斷，根據(jù)兩個命題是否正確，來確定p與q之間的 充要關(guān)系.p= q則p是q的充分條件；q是p的必要條件2、利用逆否法判斷充要條件名師一號P6特色專題方法三等價轉(zhuǎn) 化法當所給命題的充要條件不好判定時，可利 用四種命題的關(guān)系，對命題進行等價轉(zhuǎn)換.常 利用原命題與逆命題的真假來判斷 p與q的關(guān) 系.令p為命題的條件，q為命題的結(jié)論，具 體對應關(guān)系如下： 如果原命題真而逆命題假，那么p是q的充分不必要條件； 如果原命題假而逆命題真，那么p是q

11、的必要不充分條件； 如果原命題真且逆命題真，那么p是q的充要條件； 如果原命題假且逆命題假，那么p是q的既不充分也不必要條件.簡而言之，逆否法利用互為逆否的兩個命題的 等價性例1.（2）名師一號P6 特色專題 例1 （2014 北京卷）設是公比為q的等比數(shù)列. 則“ q>1”是“ 為遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件B .必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【規(guī)范解答】若q>1,則當ai = 1時,=1, 為遞減 數(shù)列，所以“ q>1”“為遞增數(shù)列”；若為遞增數(shù)列，則當=n時，Q = ,q = <1, 即“ 為遞增數(shù)列” ？ / “q>1”.

12、故選D.例1.（3）名師一號P6特色專題 例2（2014 湖北卷）設U為全集.A, B是集 合，則“存在集合C使得，B ?”是“AAB ="的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【規(guī)范解答】 如圖可知，存在集合 C, 使，B ?，則有An B=.若An B= r顯 然存在集合C.滿足，B ?.故選C.例1.(4)名師一號P4 對點自測5已知p： 4<k<0, q：函數(shù)y =21的 值恒為負，貝U p是q成立的()A.充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件解析:4<k<0? k<

13、0, = k2 + 4k<0，函 數(shù)y=21的值恒為負，但反之不一定有 4<k<0,如k= 0時，函數(shù)y =2 1的值恒為 負，即p? q,而qp.可用定義或集合法3、利用集合法判斷充要條件名師一號P6特色專題方法二集合法 涉及方程的解集、不等式的解集、點集等 與集合相關(guān)的命題時，一般采用集合間的包含 關(guān)系來判定兩命題之間的充要性. 具體對應關(guān) 系如下：若條件p以集合A的形式出現(xiàn)，結(jié)論q以 集合B的形式出現(xiàn)，則借助集合知識，有助于 充要條件的理解和判斷.（1 ）若a = b，則p是q的充分但不必要條件 （2）若b = a，則p是q的必要但不充分條件（3 ）若A二B，則p是q的

14、充要條件（4 ）若 A B，且 A 二 B，則p是q的既不必要也不充分條件（補充）簡記作若A、B具有包含關(guān)系，則（1 ）小范圍是大范圍的充分但不必要條件（2）大范圍是小范圍的必要但不充分條件例2名師一號P5高頻考點 例3函數(shù)f （X）=錯誤!有且只有一個零點的 充分不必要條件是（）A. aW0 或 a>1 B . 0<a< < a<1 D . a<0解析:因為f（x）=錯誤！有且只有一個零 點的充要條件為a<0或a>1.由選項可知，使 “awo或a>1 ”成立的充分條件為選項 D.注意：名師一號P5高頻考點例3規(guī) 律方法有關(guān)探求充要條件的選

15、擇題，解題關(guān)鍵是：首先，判斷是選項“推”題干，還是題干“推”選項；其次，利用以小推大的技巧，即可得結(jié)論.務必審清題，明確“誰是條件”！此題選項是條件！練習：（補充）已知p:x = 3且y = 2 , q:x y = 5，貝寸p是q的 條件。答案:既不充分條件也不必要條件 例3.名師一號P6特色專題 例3已知命題p：關(guān)于x的方程4x2 2+ 2a+ 5= 0 的解集至多有兩個子集，命題 q： 1 nn x< 1+ m, m>Q若-p是-q的必要不充分條件，求實數(shù) m 的取值范圍.【規(guī)范解答】 V -p是-q的必要不充分 條件，p是q的充分不必要條件. 對于命題p,依題意知2 2 =

16、( 2a) 4 4(2a + 5) = 4(a 8a 20) < 0,- 2w aw 10,令 P= 2w aw 10, Q= 1 nW x< 1 + m, m>0,由題意知P=Q,錯誤!或錯誤！解得nri 9.因此實數(shù) m的取值范圍是 > 9.注意：(補充)凡結(jié)合已知條件求參數(shù)的取值范圍是求滿足條件的等價條件即充要條件 練習：(補充)已知 p: 2xZ10;q:1 m xE1 m(m 0).若p是q的必要但不充分條件， 求實數(shù)m的取值范圍.解：一 p是q的必要但不充分條件 即一 P=- q且q=- p等價于q二 p p二 q即p是q的充分但不必要條件令A=x-2蘭x蘭

17、10B =<x1-m蘭x蘭1 + m(m :> 0)1 -m八2則AuB即解得11 +m z 10m蘭9所以實數(shù)m的取值范圍是 m m蘭91 m - - 2 注：A是B的真子集，須確保+ m0中的等號不同時取得例4.（補充）求證：關(guān)于x的方程2+ 2x + 1 = 0至少有一個 負根的充要條件是aw 1.證明：充分性：當a= 0時，方程為2x + 1 = 0的根為x= ,方程有一個負根，符合題 意.當 a<0 時，= 4 4a>0,方程 2+ 2x + 1 =0有兩個不相等的實根，且<0,方程有一正 一負根，符合題意.當 0<awi 時，= 4 4a0,方程

18、？+ 2x + 1 = 0有實根，且錯誤！, 故方程有兩個負根，符合題意.綜上：當a<1時，方程2+ 2x+ 1 = 0至少有 一個負根.必要性：若方程2+ 2x + 1 = 0至少有一個 負根.當a= 0時，方程為2x + 1 = 0符合題意.當a0時，方程2+ 2x+1 = 0應有一正 一負根或兩個負根.則<0或錯誤!.解得a<0或0<aw 1.綜上：若方程2+ 2x+ 1 = 0至少有一負根， 則 aw 1.故關(guān)于x的方程2+ 2x + 1 = 0至少有一個負根 的充要條件是aw 1.注意：(補充)證明充要條件務必明確充分性和必要性并分 別給予證明練習：(補充)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)， 求證：f (x)為增函數(shù)的充要條