2020-2021學年高中數(shù)學新教材人教A版必修第一冊學案：3.1.1 第2課時　函數(shù)的概念（二） Word版含解析

1、第2課時函數(shù)的概念(二)必備知識·探新知基礎(chǔ)知識知識點1同一個函數(shù)前提條件_定義域_相同_對應(yīng)關(guān)系_完全一致結(jié)論這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)思考1：函數(shù)有定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域三要素，為什么判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，只看定義域和對應(yīng)關(guān)系？提示：由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系可以求出函數(shù)的值域，所以判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，只看定義域和對應(yīng)關(guān)系即可知識點2常見函數(shù)的定義域和值域函數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)_a>0_a<0_對應(yīng)關(guān)系yaxb(a0)y(k0)yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)定義域rx|x0rr值域ry|y0y|yy|y思考2：求二次函數(shù)yax2bxc

2、(a0)的值域時為什么分a>0和a<0兩種情況？提示：當a>0時，二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，觀察圖象得值域為y|y當a<0時，二次函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，觀察圖象得值域為y|y基礎(chǔ)自測1判斷正誤(對的打“”，錯的打“×”)(1)f(x)與g(x)x是同一個函數(shù)(×)(2)若兩個函數(shù)的定義域與值域都相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)(×)(3)函數(shù)f(x)x2x與g(t)t2t是同一個函數(shù)()解析(1)f(x)與g(x)x的定義域不相同，所以不是同一個函數(shù)(2)例如f(x)與g(x)的定義域與值域相同，但這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)(3

3、)函數(shù)f(x)x2x與g(t)t2t的定義域都是r，對應(yīng)關(guān)系完全一致，所以這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)2(2019·江蘇啟東中學高一檢測)下圖中，能表示函數(shù)yf(x)的圖象的是(d)解析由函數(shù)定義可知，任意作一條垂直于x軸的直線xa，則直線與函數(shù)的圖象至多有一個交點，可知選項d中圖象能表示y是x的函數(shù)3若函數(shù)yx23x的定義域為1,0,2,3，則其值域為(a)a2,0,4b2,0,2,4cy|ydy|0y34下表表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是(d)xx<22x3x>3y101ay|1y1brcy|2y3d1,0,1解析函數(shù)值只有1,0,1三個數(shù)值，故值域為1,0,1關(guān)鍵能力&

4、#183;攻重難題型探究題型一函數(shù)的值域例1 函數(shù)yx21，1x<2的值域是(b)a(3,0b(3,1c0,1d1,5)分析首先看二次函數(shù)的開口方向，再考慮二次函數(shù)的對稱軸與限定區(qū)間的位置關(guān)系解析由yx21，x1,2)，可知當x2時，ymin413；當x0時，ymax1，因為x2，所以函數(shù)的值域為(3,1歸納提升二次函數(shù)yax2bxc(a>0)的值域(1)對稱軸在限定區(qū)間的左邊，則函數(shù)在限定區(qū)間左端點取最小值，右端點取最大值；(2)對稱軸在限定區(qū)間的右邊，則函數(shù)在限定區(qū)間左端點取最大值，右端點取最小值；(3)對稱軸在限定區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)在對稱軸處取最小值，限定區(qū)間中距離對稱軸較遠的端

5、點取最大值【對點練習】 下列函數(shù)中，值域為(0，)的是(b)aybycydyx21解析a中x0，所以y0；b中x>0，所以y>0；c中x0，所以y0；d中xr，所以y1.題型二同一函數(shù)例2 判斷下列各組函數(shù)是否是同一個函數(shù)，為什么？(1)y與y1；(2)y與yx；(3)y·與y.分析判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，只須看這兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否完全一致即可解析(1)對應(yīng)關(guān)系相同，都是無論x取任何有意義的值，y都對應(yīng)1.但是它們的定義域不同，y的定義域是x|x0，而y1的定義域為r，故這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)(2)對應(yīng)關(guān)系不相同，y|x|的定義域為r，yx的定義域也是

6、r，但當x<0時，對應(yīng)關(guān)系不同，故兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)(3)函數(shù)y·的定義域為使成立的x的集合，即x|1x1在此條件下，函數(shù)解析式寫為y，而y的定義域也是x|1x1，由于這兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同，所以兩個函數(shù)是同一個函數(shù)歸納提升判斷兩個函數(shù)f(x)和g(x)是不是同一函數(shù)的方法與步驟(1)先看定義域，若定義域不同，則兩函數(shù)不同(2)再看對應(yīng)關(guān)系，若對應(yīng)關(guān)系不同，則不是同一函數(shù)(3)若對應(yīng)關(guān)系相同，且定義域也相同，則是同一函數(shù)【對點練習】 f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是(d)af(x)x2，g(x)bf(x)1，g(x)(x1)0cf(x)，g(x)x3df(x

7、)，g(x)解析對于a，g(x)|x|，與f(x)的解析式不同；對于b，f(x)的定義域為r，g(x)的定義域為x|x1；對于c，f(x)的定義域為x|x3，g(x)的定義域為r；對于d，f(x)1(x>0)，g(x)1(x>0)，解析式與定義域都相同，故f(x)與g(x)表示同一函數(shù)題型三復合函數(shù)、抽象函數(shù)的定義域例3 (1)若函數(shù)f(x)的定義域為(1,2)，則函數(shù)f(2x1)的定義域為_(1，)_.(2)若函數(shù)f(2x1)的定義域為(1,2)，則函數(shù)f(x)的定義域為_(1,5)_.(3)若函數(shù)f(2x1)的定義域為(1,2)，則函數(shù)f(x1)的定義域為_(0,6)_.分析(

8、1)f(x)的定義域為(1,2)，即x的取值范圍為(1,2)f(2x1)中x的取值范圍(定義域)可由2x1(1,2)求得(2)f(2x1)的定義域為(1,2)，即x的取值范圍為(1,2)，由此求得2x1的取值范圍即為f(x)的定義域(3)先由f(2x1)的定義域求得f(x)的定義域，再由f(x)的定義域求f(x1)的定義域解析(1)由1<2x1<2，得1<x<，f(2x1)的定義域為(1，)(2)1<x<2，1<2x1<5，f(x)的定義域為(1,5)(3)由f(2x1)的定義域為(1,2)得f(x)的定義域為(1,5)，由1<x1<

9、5得0<x<6，f(x1)的定義域為(0,6)歸納提升函數(shù)yfg(x)的定義域由yf(t)與tg(x)的定義域共同決定：(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為數(shù)集a，則函數(shù)fg(x)的定義域由g(x)a解出(2)若已知函數(shù)fg(x)的定義域為數(shù)集a，則函數(shù)f(x)的定義域為g(x)在a中的值域【對點練習】 (1)已知函數(shù)f(x)的定義域為1,5，求函數(shù)f(x5)的定義域；(2)已知函數(shù)f(x1)的定義域是0,3，求函數(shù)f(x)的定義域解析(1)由1x55，得4x10，所以函數(shù)f(x5)的定義域是4,10(2)由0x3，得1x12，所以函數(shù)f(x)的定義域是1,2誤區(qū)警示函數(shù)概念理解有誤

10、例4 設(shè)集合mx|0x2，集合ny|0y2，給出下列四個圖形(如圖所示)，其中能表示集合m到n的函數(shù)關(guān)系的個數(shù)是(b)a0b1c2d3錯解函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可以一對一，也可以多對一，故(1)(2)(3)正確，選d錯因分析不但要考慮幾對幾的問題，還要考慮定義域中的元素x在值域中是否有相應(yīng)的y值與之對應(yīng)正解圖(1)定義域m中的(1,2部分在值域n中沒有和它對應(yīng)的數(shù)，不符合函數(shù)的定義；圖(2)中定義域、值域及對應(yīng)關(guān)系都是符合的；圖(3)顯然不符合函數(shù)的定義；圖(4)中在定義域(0,2上任給一個元素，在值域(0,2上有兩個元素和它對應(yīng)，因此不唯一故只有圖(2)正確答案為b方法點撥函數(shù)的定義中，從數(shù)的角度描

11、述了函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，首先它是兩個非空數(shù)集之間的對應(yīng)，它可以一對一，也可以多對一，除此之外，還要弄清定義域與數(shù)集a、值域與數(shù)集b之間的關(guān)系學科素養(yǎng)求函數(shù)值域的方法轉(zhuǎn)化與化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用1分離常數(shù)法例5 求函數(shù)y的值域分析這種求函數(shù)值域的問題，我們常把它們化為ya的形式再求函數(shù)的值域解析y3，又0，y3.函數(shù)y的值域是y|yr，且y3歸納提升求y這種類型的函數(shù)的值域，應(yīng)采用分離常數(shù)法，將函數(shù)化為ya的形式2配方法例6 求函數(shù)yx22x3(5x2)的值域分析這種題型，我們常利用配方法把它們化成ya(xb)2c的形式來求函數(shù)的值域解析yx22x3(x1)24，x5，2，其圖象是開口向下，頂

12、點為(1,4)，在x5，2上對應(yīng)的拋物線上的一段弧根據(jù)x5，2時的拋物線上升，則當x5時，y取最小值，且ymin12；當x2時，y取最大值，且ymax3.故yx22x3(5x2)的值域是12,3歸納提升遇到求解一般二次函數(shù)yax2bxc(a0)的值域時，應(yīng)采用配方法，將函數(shù)化為ya(x)2的形式，從而求得函數(shù)的值域3換元法例7 求函數(shù)yx的值域分析忽略常數(shù)系數(shù)，則x與隱含二次關(guān)系，若令t，則x(t21)，于是函數(shù)轉(zhuǎn)化為以t為自變量的二次函數(shù)，由于原函數(shù)的定義域由有意義確定，故t的允許取值范圍就是的取值范圍解析設(shè)u(x)，則x(u0)，于是yu(u0)由u0知(u1)21，則y.故函數(shù)yx的值域為，)歸納提升求解帶根號且被開方式為一次式的函數(shù)的值域，直接求解很困難，既費時又費力，所以遇到這樣的問題，我們要想到用一個字母代換掉帶根號的式子值得注意的是，在代換過程中，要注意新變量的取值范圍課堂檢測·固雙基1下列表格中的x與y能構(gòu)成函數(shù)的是(c)解析a中，0既是非負數(shù)又是非正數(shù)；b中，0又是偶數(shù)；d中，自然數(shù)也是整數(shù)，也是有理數(shù)，故選c2(2020·山東莒縣一中高一期末測試)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(a)ayx與ybyx2與ycy1與y(x1)0dy|x|與y()2解析選項b、c、d中兩函數(shù)的定