1.1.1集合及其表示方法(新教材教師用書)

1、1.1.1 集合及其表示方法（教師獨(dú)具內(nèi)容）課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系.2.針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合.3.在具體情境中，了解空集的含義.4.能正確使用區(qū)間表示一些數(shù)集教學(xué)重點(diǎn)：1.集合概念的正確理解2元素的三性(確定性、互異性、無序性).3.元素與集合 關(guān)系的判定.4.集合常用的兩種表示方法(列舉法、描述法).5.區(qū)間的概念.教學(xué)難點(diǎn)：1.對元素的確定性的理解.2.描述法表示集合.【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨(dú)具內(nèi)容)一位漁民非常喜歡數(shù)學(xué)，但他怎么也想不明白集合的意義.于是他請教一位數(shù)學(xué)家：”先 生，您能告訴我，集合是什么嗎？

2、”由于集合是不定義的概念，數(shù)學(xué)家很難向那位漁民講清楚.直到有一天，數(shù)學(xué)家來到漁 民的船上，看到漁民撒下漁網(wǎng)，然后輕輕一拉，許多魚蝦在網(wǎng)中跳動.數(shù)學(xué)家非常激動，高 興地對漁民說：“這就是集合！ ”你能理解這位數(shù)學(xué)家的話嗎？【知識導(dǎo)學(xué)】知識點(diǎn)一集合與元素的定義(1)集合：把一些能夠確定的、不同的對象匯集在一起，就說由這些對象組成一個集合(有時簡稱為集).(2)元素：組成集合的每個對象都是這個集合的元素.(3)表示：通常用英文大寫字母 A, B, C,表示集合，用英文小寫字母 a, b, c,表 示集合中的元素.知識點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系(1) “屬于：如果a是集合A的元素，就記作J01a.A,讀作“

3、a屬于A” .(2) “不屬于：如果a不是集合A的元素，就記作J02Lo?A,讀作“a不屬于A” .知識點(diǎn)三空集般地，我們把不含任何元素的集合稱為01空集(empty set),記作02 ?.知識點(diǎn)四 集合中元素的三個特性(1)確定性；(2)互異性；(3)無序性.知識點(diǎn)五集合的分類有限集；(2)無限集.知識點(diǎn)六幾個常用數(shù)集的固定字母表示名稱符號非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)01 N正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集或隨N01 Z06 R知識點(diǎn)七集合的表示方法集合常見的表示方法有：01 一自然語言、02列舉法、國描述法、01 “區(qū)間”(以及后面將要學(xué)習(xí)的維恩圖法和數(shù)軸表示法等直觀表示方法).(1)列舉法：把集

4、合中的元素05列舉出來(相鄰元素之間用逗號分隔)，并寫在大括號內(nèi)，以此來表示集合的方法稱為列舉法.(2)描述法：如果屬于集合A的任意一個元素x都具有性質(zhì)p(x),而不屬于集合A的元素 都不具有這個性質(zhì)，則性質(zhì)p(x)稱為集合A的一個也6特征性質(zhì).此時，集合A可以用它的特 征性質(zhì)p(x)表示為x|p(x).這種表示集合的方法，稱為特征性質(zhì)描述法，簡稱為描述法.知識點(diǎn)八區(qū)間定義名稱符號1“ a, xa, x b, xb的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為 02a, +0), (a, +qq), ( qq, b, ( qq, b.定義符號數(shù)軸表示(OQ , + OO )可以看出，區(qū)間實(shí)質(zhì)上是一類特殊數(shù)集（即由數(shù)

5、軸某一段上所有點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)組成的集合 ） 的符號表示；例如，大于1且小于10的所有自然數(shù)組成的集合就不能用區(qū)間（1,10）表示.【新知拓展】1 元素和集合關(guān)系的判斷(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可此時應(yīng)先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的(2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可此時應(yīng)先明確已知集合的元素具有什么特征，即該集合中元素要滿足哪些條件2 集合的三個特性(1) 描 述 性 ： “ 集 合 ” 是 一 個 原 始 的 不 加 定 義 的 概 念 ， 它 同 平 面 幾 何 中 的 “點(diǎn)”“線”“面

6、”等概念一樣都只是描述性的說明(2)整體性：集合是一個整體，暗含“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對象一旦組成了集合，這個集合就是這些對象的總體(3)廣泛性：組成集合的對象可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式、方程，也可以是人或物，甚至一個集合也可以是某集合的一個元素3 使用列舉法表示集合時需注意的幾點(diǎn)(1)元素之間用“，”隔開；(2)元素不重復(fù)，滿足元素的互異性；(3)元素?zé)o順序，滿足元素的無序性；(4)對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但是必須把元素間的規(guī)律表述清楚后才能用省略號1 .判一判(正確的打“，”，錯誤的打“X”)(1)某校高一年級16歲以下的學(xué)生能構(gòu)

7、成集合()(2)已知A是一個確定的集合，a是任元素，要么aCA,要么a?A,二者必居其一且只居其一.()(3)對于數(shù)集 A=1,2 , x2,若 xC A,則 x=0.()(4)對于區(qū)間2a, a+1,必有a3的解集可以用區(qū)間表示為 .答案(1)A (2)? e ? ? ? e(3)2, +8)題型一集合概念的理解例1下列所給的對象能構(gòu)成集合的是.所有的正三角形；高一數(shù)學(xué)必修第一冊課本上的所有難題；比較接近1的正數(shù)全體；某校高一年級的全體女生；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點(diǎn)的距離等于 1的點(diǎn)的集合；參加2019年世乒賽的年輕運(yùn)動員；a, b, a, c.解析能構(gòu)成集合.其中的元素需滿足三條邊相等.不能

8、構(gòu)成集合.因“難題”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的，不確定的，故不能構(gòu)成集合.不能構(gòu)成集合.因“比較接近1”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以元素不確定，故不能構(gòu)成集合.能構(gòu)成集合.其中的元素是 “高一年級的全體女生” .能構(gòu)成集合.其中的元素是 “到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)”.不能構(gòu)成集合.因?yàn)椤澳贻p”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的，不確定的，故不能構(gòu)成集合.不能構(gòu)成集合.因?yàn)閮蓚€a是重復(fù)的，不符合集合元素的互異性.答案金版點(diǎn)睛判斷一組對象能否構(gòu)成集合的方法(1)關(guān)鍵：看是否給出一個明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對于任何一個對象能按此標(biāo)準(zhǔn)確定它是不是 給定集合的元素.(2)切入點(diǎn)：解答此類問題的切入點(diǎn)是集合元素的特性，即確定性、互異性和無序性.跟蹤訓(xùn)練

9、1判斷下列說法是否正確？并說明理由.(1)大于3的所有自然數(shù)組成一個集合；(2)未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個集合；3 1(3)1,0.5,萬，萬組成的集合含有四個兀素；(4)出席2019年全國兩會的所有參會代表組成一個集合.解(1)中的對象是確定的，互異的，所以可構(gòu)成一個集合，故正確.(2)中的“高科技”標(biāo)準(zhǔn)是不確定的，所以不能構(gòu)成集合，故錯誤.1(3)中由于0.5=2,不符合集合中兀素的互異性，故錯誤.(4)中的對象是確定的，所以可以構(gòu)成一個集合，故正確 .題型二元素與集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用例2 (1)下列所給關(guān)系正確的個數(shù)是() R；43?Q; 0CN*; |4|?N*.A. 1B. 2 C

10、. 3 D. 46(2)集合A中的兀素x?兩足CN, xCN,則集合A中的兀素為6 x解析(1)，冗是實(shí)數(shù)，熄是無理數(shù)，.正確；: N*表示正整數(shù)集，而0不是正整數(shù)，故不正確；又| 4| = 4是正整數(shù)，故不正確，正確的共有 2個.0,x0,6-x0, x0,0x6, .x=0,1,2,3,4,5.當(dāng)x分別為0,3,4,5時，工相應(yīng)的值分別為1,2,3,6,也是自然數(shù)，故填0,3,4,5.答案(1)B (2)0,3,4,5金版點(diǎn)睛1.常用數(shù)集之間的關(guān)系有理 實(shí)數(shù)數(shù)集-1,且一2CA, .x= 2.題型三 集合中元素的特性例3 已知集合A有三個元素：a 3,2a1, a2+ 1,集合B也有三個元

11、素：0,1, x.(1)若一3C A,求a的值；若x2C B,求實(shí)數(shù)x的化解(1)由一3C A且 a2 + 11,可知 a 3= 3或 2a1 = 3,當(dāng) a 3= 3 時，a=0;當(dāng) 2a1 = 3 時，a= 1.經(jīng)檢驗(yàn)，0與1都符合要求.得a = 0或一 1.(2)當(dāng) x=0,1, -1 時，都有 x2CB,但考慮到集合元素的互異性，30, xw1,故乂= -1.金版點(diǎn)睛利用集合元素互異性求參數(shù)問題(1)根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出參數(shù)的所有可能值，再根據(jù)集合中元素的互異性 對集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn).(也是本講易錯問題)(2)利用集合中元素的特性解題時，要注意分類討論思想的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練3

12、已知集合A包含三個元素：a-2,2a2 + 5a,12,且3CA,求a的值.解 因?yàn)锳包含三個元素a-2,2a2 + 5a,12,且一3CA,所以 a 2= 3 或 2a2 + 5a= 3,3解得a= - 1或a： .當(dāng)a= 1時，A中三個元素為：一3, 3,12,不符合集合中元素的互異性，舍去.3 73當(dāng)a= 2時，A中二個兀素為：一2， 3,12,湎足題思.故a=-.題型四集合的分類例4下列各組對象能否構(gòu)成集合？若能，請指出它們是有限集、無限集，還是空集.(1)非負(fù)奇數(shù)；(2)小于18的既是正奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)；(3)在平面直角坐標(biāo)系中所有第三象限的點(diǎn)；(4)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)方程(x2 1)(x

13、2+ 2x+ 1) = 0的解集；x2-x+ 1=0,(5)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)方程組x+y_1的解構(gòu)成的集合.解ID能構(gòu)成集合，是無限集.(2)小于18的質(zhì)數(shù)是2,3,5,7,11,13,17只有2是偶數(shù)，其余的都是正奇數(shù)，所以能構(gòu)成集 合，是有限集.(3)第三象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都小于 0,能構(gòu)成集合，是無限集.(4)能構(gòu)成集合，注意集合中元素的互異性，集合中的元素是一1,1,是有限集.cx2x+1=0,(5)由x2 x+ 1 = 0的判別式 a-30,1 + 2x 3x- 5的整數(shù)解組成的集合;(2)式子0, bw0)的所有值組成的集合.得 3x0,由1+2x 3x- 5又x為整數(shù)，故x的取

14、值為4,5,6,組成的集合為4,5,6.(2)aw0, b；a與b可能同號也可能異號，則:當(dāng) a0, b0 時，曰+|b1= 2; a b當(dāng) a0, b0, b0 或 a0 時，呼+ |jb|=0.故所有值組成的集合為2,0,2.題型六用描述法表示集合例6用描述法表示下列集合：(1)坐標(biāo)平面內(nèi)，不在第一、三象限的點(diǎn)的集合；所有被3除余1的整數(shù)的集合；一 1(3)使y = x2+x_ 6有息義的頭數(shù)X的集合.解(1)因?yàn)椴辉诘谝弧⑷笙薜狞c(diǎn)分布在第二、四象限或坐標(biāo)軸上，所以坐標(biāo)平面內(nèi)，不在第一、三象限的點(diǎn)的集合為(x, y)Xy 0, x R, y R.(2)因?yàn)楸?除余1的整數(shù)可表示為3n+1

15、, nCZ,所以所有被3除余1的整數(shù)的集合為x|x=3n+1, nCZ.一一 1(3)要使 v= x2 + x_6有意乂，則 x2 + x 6*0.由 x2 + x 6=0,得 x=2, x2= 3.一一1所以使y= x2+x_ 6有忠義白頭數(shù)x的集合為xk*2且xw 3, x R.金版點(diǎn)睛用描述法表示集合的注意點(diǎn)(1)用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型.一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個有序數(shù)對來表示.(2)用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義 或取值范圍.(3)多層描述時，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描

16、述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi). 跟蹤訓(xùn)練6 試用描述法表示下列集合：(1)方程x2 x 2=0的解集；(2)大于1 且小于 7 的所有整數(shù)組成的集合解 方程x2x 2=0的解可以用x表示，它滿足的條件是x2 x 2 = 0,因此，方程的解集用描述法表示為xC R|x2 x 2 = 0.(2)大于一1且小于7的整數(shù)可以用x表示，它滿足的條件是x Z,且1x7,因此，該集合用描述法表示為xZ|-1x 0,1 且 kw 0. k的取值范圍的集合為k|k 1且 20.金版點(diǎn)睛分類討論思想在集合中的應(yīng)用(1)本題在求解過程中，常因忽略討論 k是否為0而漏解.由kx2-8x+ 16= 0是否為 一元二次方程而分

17、k=0和kw0兩種情況，注意做到不重不漏.(2)解答與集合描述法有關(guān)的問題時，明確集合中的代表元素及其共同特征是解題的切入占八、 6跟蹤訓(xùn)練7 (1)設(shè)集合B= xC N 2TL CN2 I X試判斷元素1,2與集合B的關(guān)系；用列舉法表示集合B.(2)已知集合 A=xX2ax+b= 0,若 A=2,3,求 a, b 的化 6解(1)當(dāng)x=1時，狂7 = 2C N.,63當(dāng)乂= 2 時，27= 2?N.所以 1CB,2?B.e N, xC N,2 + x 只能取 2,3,6, .x只能取 0,1,4. .B = 0,1,4.2 + 3 = a,(2)由A=2,3知，方程x2 ax+ b= 0的兩

18、根為2,3,由根與系數(shù)的關(guān)系，得八c 2 X 3= b,因此 a= 5, b= 6.題型八 集合中的新定義問題例8已知集合A= 1,2,4,則集合B = (x, y)MCA, yC A中元素的個數(shù)為()A. 3B. 6 C. 8 D. 9解析根據(jù)已知條件，列表如下：yCt )*12IM41(1,1)(1.2)(1,4)I 2(2,1)(2,2)(2,4)4(4.1)(4,2)(4,4)由上表可知，B中的元素有9個，故選D.答案D金版點(diǎn)睛本例借助表格語言，運(yùn)用列舉法求解.表格語言是常用的數(shù)學(xué)語言，表達(dá)問題清晰，明了； 列舉法是分析問題的重要的數(shù)學(xué)方法，通過 “列舉”直接解決問題或發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，

19、此方 法通常配合圖表 含樹形圖 使用.跟蹤訓(xùn)練 8 定義 A*B = z|z= xy, xC A, yC B,設(shè) A=1,2 , B = 0,2,則集合 A*B 中的所有元素之和為（）A. 0B. 2 C. 3 D. 6答案 D解析 根據(jù)已知條件，列表如下：根據(jù)集合中元素的互異性，由上表可知 A*B=0,2,4,故集合A*B中所有元素之和為0 + 2 + 4 = 6,故選 D.1.下列所給的對象不能組成集合的是（）A.我國古代的四大發(fā)明B.二元一次方程x+ y= 1的解C.我班年齡較小的同學(xué)D.平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)答案 C解析 C項(xiàng)中“年齡較小的同學(xué)”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性.故選

20、C.2 .已知集合A含有三個元素2,4,6,且當(dāng)aC A時，有6aC A,則2為()A. 2B. 2或 4 C. 4 D. 0答案 B解析 集合A中含有三個元素2,4,6,且當(dāng)aCA時，有6 26人.當(dāng)2= 2CA時，6 a = 4CA, ；a = 2符合題意；當(dāng)a = 4CA時，6- a= 2CA, ；a=4符合題意；當(dāng)a = 6CA時，6 a = 0?A,綜上所述，a=2或4.故選B.3 .由實(shí)數(shù)一a, a, |a|,特所組成的集合最多含有的元素個數(shù)是()A. 1B. 2 C. 3 D. 4答案 B解析 對a進(jìn)行分類討論：當(dāng)a = 0時，四個數(shù)都為0,只含有一個元素；當(dāng)aw 0 時，含有兩

21、個元素a, -a,所以集合中最多含有2個元素.故選B.4 .用適當(dāng)符號(C , ?)填空.(1)(1,3)(x, y)|y= 2x+1;(2)2m|m=2(n1), n C Z.答案(1)C (2)解析 (1)當(dāng) x=1 時，y= 2X1+1 = 3,故(1,3)C(x, y)|y=2x+ 1.(2)當(dāng) n = 2CZ 時，m=2X(21)=2,故 2C m|m=2(n1), n Z.5 .設(shè)aR,關(guān)于x的方程(x1)(xa) = 0的解集為A,試分別用描述法和列舉法表示 集合A.解 A=x|(x 1)(x a)=0,當(dāng) a=1 時，A=1；當(dāng) a*1 時，A=1 , a.A 級：“四基”鞏固

22、訓(xùn)練一、選擇題1 .已知集合S= a, b, c中的三個元素是 ABC的三邊長，那么 ABC一定不是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形答案 D解析 因?yàn)榧蟂= a, b, c中的元素是 ABC的三邊長，由集合元素的互異性可知a, b, c互不相等，所以 ABC 一定不是等腰三角形.故選 D.2下列集合的表示方法正確的是()A.第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)集可表示為(x, y)|xy&0, xC R, ye RB.不等式x- 14的解集為x5C 全體整數(shù)D 實(shí)數(shù)集可表示為R答案D解析A 中應(yīng)是xy0； B 中的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的規(guī)范格式，缺少了豎線和豎線前面

23、的代表元素 x,應(yīng)為x|x0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. aw2B. a2 C. a2D. a = 2答案 C解析 因?yàn)??xx a0,所以2不滿足不等式x-a0,即滿足不等式x-a0,所以2 -a2,故選 C.二、填空題6 .若 A=2,2,3,4, B=x|x=t2, tCA,則用列舉法表示 B =.答案4,9,16解析 由題意，A= 2,2,3,4, B = x|x=t2, t C A,依次計(jì)算出B中元素，用列舉法表 示可得B = 4,9,16,故答案為4,9,16.7 .已知集合A=x|ax23x 4=0, x R,若A中至多有一個元素，則實(shí)數(shù)a的取值范 圍是.一、.9答案 a =

24、0或a0 16解析 當(dāng)a = 0時，A= x|x= 3；當(dāng)aw0時，關(guān)于x的方程ax23x 4 = 0應(yīng)有兩個9 .相等的實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)根，所以 A= 9+16a0,即a016.故所求的a的取值范圍是a= 0-9或a0 一而8 .已知集合A中的元素均為整數(shù)，對于kCA,如果k1?A且k+ 1?A,那么稱k是A的 一個“孤立元”.給定集合 S= 1,2,3,4,5,6,7,8,由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 個.答案 6解析根據(jù)“孤立元”的定義，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的 集合為1,2,3, 2,3,4 , 3,4,5 , 4,5,6 , 5,6,

25、7 , 6,7,8,共有 6 個.故答案為 6.三、解答題9 .用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)絕對值不大于3的偶數(shù)的集合；(2)被3除余1的正整數(shù)的集合；(3) 一次函數(shù)y=2x 3圖像上所有點(diǎn)的集合；x+y=1,(4)方程組 彳的解集.x y= 1解(1)-2,0,2.(2) m|m=3n+1, nCN.(3)(x, y)|y= 2x- 3.(0,1) .10.已知集合 A=a+3, (a+1)2, a2+2a + 2,若 1 C A,求實(shí)數(shù) a 的值.解若a+3=1,則a= 2,止匕時A=1,1,2,不符合集合中元素的互異性，舍去.若(a+1)2=1,則 a= 0 或 a= 2.當(dāng)a = 0時，A= 3,1,2,滿足題意；當(dāng)a= 2時，由知不符合條件，故舍去.若 a2+2a + 2=1,則 a= 1,此時A=2,0,1,滿足題意.綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為1或0.B級：“四能”提升訓(xùn)練1,已知集合 A=x|x= 3n+1, n C Z , B = x|x= 3n+