2020年高三數(shù)學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試1月試卷理

1、2020年高三數(shù)學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試（1月）試題理本試卷共150分，考試時間120分鐘。、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合 A= x| 1<x<2, B= 2, 0, 1, 2,則 AAB=A.B.0,1 C.0, 1, 2D.-2, 0,1, 22.若(2 + i)z=5,的虛部為A. - 1B.1C.i D.ij , ,x23.已知雙曲線22 y_ b21（b 0）的兩條漸近線互相垂直，則b =A.1 B. 2C.3D.24.由兩個圓柱組合而成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為皿

2、現(xiàn)國A. B.5.函數(shù)f(x)C. 兀 D.2 兀 26.已知關(guān)于x的不等式= (x22x)ex的圖象可能是ax22x+3a<0在（0 , 2上有解，則實數(shù) a的取值范圍是A.4 C.-3D.7.已知a, b為實數(shù)，則0<b<a<1 是 log ab>log ba 的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.已知隨機(jī)變量E , Y的分布列如下表所示。則123PJ.32_67123P2 23A. E E ,DD B. E,D DC. E E ,DD D. E,D D9.在 ABC中，若A.1 B.2210.在矩形ABC邛,已知AB=

3、 3, AA 4, E是邊BC上的點，EC= 1, EFCD,將平面 EFDCg EF旋轉(zhuǎn)90°后記為平面“，直線AB繞AE旋轉(zhuǎn)一周,則旋轉(zhuǎn)過程中直線 AB與平面a相交形成的點的軌跡是A.圓 B. 雙曲線 C. 橢圓 D. 拋物線11.已知函數(shù) f(x) = (lnx 1)(x 2) i m(i = 1,2) , e是自然對數(shù)的底數(shù)，存在mC RA.當(dāng)i =1時，f(x)零點個數(shù)可能有 3個 B.當(dāng)i =1時，f(x)零點個數(shù)可能有4個C.當(dāng)i=2時，f(x)零點個數(shù)可能有 3個 D.當(dāng)i = 2時，f(x)零點個數(shù)可能有4個12.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足an(2Sn-a

4、n) = 1,則下列結(jié)論中數(shù)列Sn2是等差數(shù)列; anan+ 1<1A.僅有正確 B.僅有正確C.僅有正確D.均正確二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13.1742 年 6 月 7 日,哥德巴赫在給大數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出：任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)的和。這就是著名的“哥德巴赫猜想”，可簡記為“ 1 + 1”。1966年，我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了“1 + 2”，獲得了該研究的世界最優(yōu)成果，若在不超過30的所有質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù),則兩數(shù)之和不超過 30的概率是sinA14.已知 ABC的面積等于 1 ,若BC= 1 ,則當(dāng)這個三角形的三條高的乘積取最大值時,22

5、x y15 .已知F是橢圓C:工 -y_ i(a b 0)的一個焦點，P是C上的任意一點，則|FP|稱為橢圓C a b的焦半徑。設(shè) C的左頂點與上頂點分別為 A、B,若存在以A為圓心，|FP|為半徑長的圓經(jīng)過點 B, 則橢圓C的離心率的最小值為。16 .設(shè)函數(shù)f(x) = |x 3 6x2+ ax+ b| ,若對任意的實數(shù) a和b,總存在xo 0 , 3,使得f(x o) > m, 則實數(shù)m的最大值為 。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：60分。17 .(1

6、2分)已知角”的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點P(1, J3)。求cos()的值； 2(2)求函數(shù)f(x) = sin 2(x + a ) - cos2(x - a )(x C R)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間。18 .(12分)如圖，多面體ABCDE沖，四邊形ABE林口四邊形 CDF比兩個全等的菱形， AB= 2, / BAF=/ ECD= 60°。(1)求證：BD± DC(2)如果二面角B-EF- D的平面角為60° ,求直線BD與平面BCE/f成角的正弦值。19 .(12分)已知等比數(shù)列an的公比q>1,且& + a3+a

7、5 = 42, a3+9是a1, a5的等差中項。數(shù)列bn上一2n*的通項公式bn/,n N。a 1 0 1 1(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)證明：b b2bn J2n 1 1,n N*。20 .(12分)已知拋物線C: x2=2py(p>0),焦點為F,準(zhǔn)線與y軸交于點E。若點P在C上，橫坐標(biāo)為2,且滿足:PE物 PF|。E/(1)求拋物線C的方程;M, N(其中，點M在第一象(2)若直線PE交x軸于點Q過點Q做直線l ,與拋物線C有兩個交點限)。若qM mN ,當(dāng)入e (1, 2)時，求SOMP的取值范圍。S ONP21.(12 分)已知函數(shù) f(x) =(x + 1)(e x1

8、)。(1)求f(x)在點(一1, f( 1)處的切線方程;(2)若方程f(x) = b有兩個實數(shù)根 xi , x2,且xi<X2,證明:x1x2 1b e 1 ebo3e 1 e 1(二)選考題：共10分。請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。作答時請寫清題號。22.選彳4 4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程(10分)(1)以極坐標(biāo)系Ox的極點。為原點，極軸x為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，把極坐標(biāo)方程sin0 + p 2cos 0 = 2化成直角坐標(biāo)方程。(2)在直角坐標(biāo)系XxOy中，直線l :數(shù)),其中a>0。23.選

9、修45:已知正數(shù)x, y,(1)求證:若曲線C上所有點均在直線不等式選講(10分)z 滿足 x + y + z = 1。2y2y 3z 2z 3x 2x 3y13t cos4 (t為參數(shù))，曲線C:+ . 3t sin 一4l的右上方，求a的取值范圍。2cos 、，公(0為參sin12一；(2)求16x 16y 16z的最小值。5中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測試診斷性測試2020年1月測試1234567gg101112BABCBAACcDcD理科數(shù)學(xué)（一卷）答案一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.二.填空題：本大題共4小題，每小題5分，

10、共20分.16. 2每個試題考生都必須作答.第22. 23題為選考題.(1)必考超：60分.17.解：(1)由題急得。尸=2,則cosa = 一,， 2z 7T.V3cos(a+) = -sin a =.“ J i v? Y i(2)y Jx) = Slnxcosx cosx +I 22)1mt 2i故 T = = 7T 2一由2上萬-萬4 2%M 22萬.知單調(diào)遞增區(qū)間為kr-考生根據(jù)要求作答.sina = ,2 分25分V3.Y1?_sin x cos 2x 8 分2)210分- - .krr (/r e Z) .12 分三解答JH：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步騾.第17

11、21題為必考題,D（第18題圖）F （第i$題圖）18. t?： （1）如圖，取EF的中點G,連接方G、DG 在菱形ABEF中, , "NF = 60 , ASEF是正三角形， EF1BG,I分同理，在菱形CD莊中，可證EF1Z>G,vDGBGG,2 分且DGf 6G均在面BDG內(nèi)；.E尸_L平面BDG ,BD u 畫BDG/. EF1 BD4 分又 CDh EF.:.CD1BD.5 分（2）由（1）知，/BGD就是二面角B-EF-D的平面角.即 ZBGD = 60，又 BG = GD = 6所以ABDG是正三角形，故有即如圖，取DG的中點0,連接8。，則夕0J,DG, 又由（

12、D得EFLBO.又因為DGCEF ,G.DGu平面CDE尸" u平面CDE尸3所以.301平面CDEE.且30 =一 . 2又 8D1CD.在直角ARM中.BCJ .所以 5皿=；"J，9分設(shè)。到¥面BCE的距離為人，則Vs 皿=-B0 S6DC =-x -x x4 = Ud-bb = hs皿E=gxhx = R 所以）="工 JJT /故直線B。與平面ECE所成角正弦值為七=#.12分(建系或作出線面角的平面角按步驟相應(yīng)給分)19 .解：(1)由%+9是q, 4的等差中項得4+% =2%+18，I分所以q+%+氏=泡+18 = 42, 矯得力=8。3分

13、由4+4=34,得 4+8 = 34,解得相=4或/=L q-4達(dá)為0>1,所以g = 2.5分所以圖二2'.6分(2)法 1：由(1)可得"=I ' / , nwN .2n224-1-，27-1)b = "j1 1= ,/ K V2H-1+。2川 一 1 (V2W-1 + 42川 1 Xv2w-1-42 向一 1)=?(甲一:= ,環(huán)嚴(yán)工)=6口一行工 .9分2" 1 2 +12”. 4 十為+4 = (22-1 -) + (723-1 -722-1)+ 72"*1-1 - V2"-l=-T-l-lvT-l.12 分法2

14、：由(1)可得 b =、/ i . nwN "三十在y我們用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)”=1時，4=r一廠=Q-1小,不等式成立； 7分(2)假設(shè)，=A (左wV)時不等式成立，即斗他+瓦<代，.那么，當(dāng) = A + 1時，4 + b?十十4 + bk4 < ,2t _ +:7r甲tJT亭匚TSJ）即當(dāng) = + 1時不等式也成立.11分根據(jù)(1)和(2),不等式a+也+ 4 ，2”】一1,對任苣藺成立.12分20 .解：由己知可得尸|0用，E 0,-" P 2,-v|PZ?| = V2|PF|,00,.,夕二2，.,.拋物線C的方程為Y = 4y.4分(2)由(1

15、)得。(2.1), £(0,-1),易求得0(1,0).5 分由題意得，直線/的斜率存在且不為0.可設(shè)直線/的方程為x = /«y + 1 , fx = my + 1x2 = 4y整理得 m1y2 + （2w 4）y + l = 0, A = 1646w >0 w < 1.設(shè)點（天.弘）,"（2.力），聯(lián)立方程組4 ,=口，+_1 = 4-2叫 1 % %必=4(乃一為)，匕=” 4+1之三（1.2）,二江=為z + 1|(4-2根從-2| |(4-2歷)-2|設(shè)AOMP在OP邊上的高為h“，XONP在OP邊上的高為八邸,Sromp .蕓 °

16、斗垢 _%-2對 _|5 2)升+1|_|(2加一4)乂十2Sgp 1. OP h. h 卜2%| |(m-2)y2+l| |(2w-4)y2+2設(shè)宜 x) = *(x + l) e1一21 A、，、1構(gòu) 造 F(x) = f(x)(x + l) = (x+l) ex 9 F/(x) = (x + 2)ex一一，e e)eFr(x) = (x + 3)ex. 所以產(chǎn)'(x)在(yo,-3)上單調(diào)遞誠，在(-3,-)上單調(diào)遞增. 5分又尸(_3)= _；,V0, UmF'(x) = 一L 產(chǎn)(-1) = 0,所以尸(x)在(-8,-1)上單調(diào)1 e遞減，任(-1.XO)上單調(diào)遞增

17、.所以尸(x)之尸(T) = 0=/(x)NS(x)=(x + 1).當(dāng) e且僅當(dāng)4 - 一1時取“二”.方程匕£(' + 1)=6的根土'=盧-1.又3 = sJ = /(西)2(再)，由5(上)在火上單調(diào)遞減,所以x：4%.7分另一方面，/在點(L2e-2)處的切線方程為y = (3e-l)x-c-l.S /(x) = (3e-V)x-e-構(gòu)造 G(x) = f(x) = (x + l)t” -l)-(3e-l)x + 0+l=(x +1 )。"-3幺 + 0.G'(x) = (x+ 2)/ -3e . G"(t) = (x + 3)/

18、 .所以G'(x)在在(y,-3)上單調(diào)遞減，在(-3,十8)上單調(diào)遞軌9分又G(-3)= -J-3e<0,嗯G'(x) = -3e, G (1) = 0.所以G(x)在(f.1)上單調(diào)遞成，在(1.)上單調(diào)遞增. 所以G(x)NG=0=>/(引2”兀)=(3-1)工一e-l ，當(dāng)且僅當(dāng)x = -l時取“=”10分v 方程，(#=(3。-1).50-1=6的根x；二二又b=八月)=與)2£(巧)，由在R上單調(diào)遞增，所以超工石,所以/ _玉-X =1 +Z> + <? + l3e-lcbde-1證.12分(-)選考題：共10分.請考生在第22,

19、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的 第一題計分.作答時請寫清題號.22 .【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】(10分)解：(1)當(dāng)。工0時，極坐標(biāo)方程兩邊同乘以夕得sine+/cose=2"在直角坐標(biāo)系下，x = pcos6.y = psin= x2 +y2.故化成直角坐標(biāo)系方程y十+y2) = 2jM+y2 ,不包括點(0,0)3分當(dāng)/產(chǎn)0時，(0,0)滿足原極坐標(biāo)方程，4分綜上，所求的直角坐標(biāo)方程為+ x (1 +y2)=2j+ J3 5分(2)由題意得，直線/的普通方程為x + y+3 = 0.設(shè)曲線C上的動點(2cos8。sin8)(8wR),因為曲線。上所有點均在直線/的右上方，所以對ewR恒有2cos8 + asin8 + 3>0，7 分即 7oZsin( 6+0)>-3,其中 1m。=二,。>0.所以1d +4 <3, 9 分