2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章數(shù)列第4講數(shù)列求和講義理含解析

1、（1）已知等差數(shù)列qj的公差為d,則有二一=42一二一）.（） aa.o 卜 & d 王 & 1/（2）推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin：r 4-sin=2° + sin:30 + + sir?88° +sir?89° =44. 5.（）（3）求S=a+2a:+3f+ Aa時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法 求得.（）若數(shù)列島, 上一一是（力1, £）首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，則 3”一 1數(shù)歹U a的通項(xiàng)公式是抵（）答案 X （2） J （3） X （4） V2.小題熱身（1）數(shù)列QJ的前

2、a項(xiàng)和為&,若a尸一,則，等于（）n a十1A. 1 B. f C. D: b b JU答案B解析 &=-=工TV* $ = &，+土 H1備=1-1+1一 Jd7=7.n n+1 n n+12 2 36 6數(shù)列4, 3；,，7嘏，（2n-l）+ 的前項(xiàng)和£的值等于（）Z 4 o 10乙2 , 1A. n +1-D.n+l-i乙B. 2n - n+1 一歹C. ri +1 -答案A解析 該數(shù)列的通項(xiàng)公式為.=（2a-1）+,則 £= 1+3+54F (2n1) + 信+*+、乙 乙=必+1-(3)數(shù)列QJ的通項(xiàng)公式為匿=(T尸(4- 3),則它的前1

3、00項(xiàng)之和$8等于( A. 200 B. -200 C. 400 D. -400答案B解析 設(shè)兒=丘-3,貝IJ6J是公差為4的等差數(shù)列，區(qū)=(一1廣況Sg= (d + 土)+ (a + a：) + (w + 加。)=(A 區(qū))+ (bs- b) + ( Al Ag)=4 4 4 4 = -4 X 50= - 200.（4）數(shù)列Q）的通項(xiàng)公式為a=ncos等，其前A項(xiàng)和為S,則£”3等于（）乙A. -1010 B. 2018 C. 505 D. 1010答案A解析 易知色=cos"y=0, a：=2cos n =2, a=0, a, = 4,.所以數(shù)列aj的所有奇數(shù)項(xiàng)為0,

4、前2016項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)(共1008項(xiàng))依次為-2, 4, 一 6, 8,，-2014, 2016.故 &。,6=0+ (-2+4) + (6+8) + (-2014+2016) =1008.全皿 =0, a：ou=2O18Xcos201 H = -2018, /.Siois = Sou + *oiS=1008-2018=-1010.故選 A. 乙經(jīng)典題型沖關(guān)題型一分組轉(zhuǎn)化法求和多維探究3【舉例說明】1. （2018 信陽模擬）已知數(shù)列&中,a尸比=1,=&+2, a是奇數(shù),2&，A是偶數(shù),則數(shù)列QJ的前20項(xiàng)和為（）A. 1121 B. 1122 C. 112

5、3 D. 1124答案c解析 由題意知，數(shù)列處是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列曲J是首項(xiàng)為1, 公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列QJ的前20項(xiàng)和為臺廣一+10X1+X2 = 1123.2. （2018 合肥質(zhì)檢）已知數(shù)列UJ的前a項(xiàng)和2=中，求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)兒=2助+（ D&,求數(shù)列&的前2A項(xiàng)和.解（1）當(dāng) 22=1 時，&i = S=l：當(dāng)時，a產(chǎn)SlS=n -n n-l "+ n- 1n.國也滿足故數(shù)列QJ的通項(xiàng)公式為af由知&=m故兒=2'+（D7.記數(shù)列的前2A項(xiàng)和為&,則兀尸（242'+2酎）+ （ 1+

6、2 3+4+2向.記力=2*+2'+2”, 6= 1+23+4 +2.2 1一2"貝。=一=2*'2, JL 乙B= (- 1+2) + ( - 3+4) + - (2n- 1) +2/J n.故數(shù)列伍的前2a項(xiàng)和熱=月+6=2"”+刀-2.結(jié)論探究 在舉例說明2條件下，求數(shù)列M的前a項(xiàng)和方.解 由舉例說明2知4=2"+(-1)%當(dāng)a為偶數(shù)時，。=(2/2，+2") +-1+2 - 3+4(n-l)+n=2729 +=2atl+2；，乙 乙乙G?-2) + (n 1) n =2"當(dāng)為奇數(shù)時,北=+2'+ 2? + 1 +

7、 2-3+4c . A 1 八A 5-2+丁=Z .一廠,2小+日一2, 為偶數(shù), 乙2.一一|, A為奇數(shù). 乙 乙【據(jù)例說法】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若a'=A±c”且伍), cj為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求的前a項(xiàng) 和.ba A為奇數(shù)，(2)通項(xiàng)公式為4="小”的數(shù)列，其中數(shù)列S3 遍是等比數(shù)列或等差gA為偶數(shù)數(shù)列，可采用分組求和法求和.如舉例說明L【鞏固遷移】I已知數(shù)列4是等差數(shù)列，滿足4=2, a尸8,數(shù)列&是等比數(shù)列，滿足區(qū)=4, A= 32.(1)求數(shù)列求和4的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列4+的前n項(xiàng)和Sa解(1)設(shè)等差數(shù)列UJ的公差為

8、&由題意得占V=2, O所以品=盤+5-1) d=2+ (n1) X2=2n.設(shè)等比數(shù)列8的公比為q,由題意得q'=2=8,解得q=2.因?yàn)?61=3=2,所以 b產(chǎn) b1 q '=2X2* x = 2”. Q小 a 2 + 2n , 2 1 -2fl. . ,-(2) S=+=廳+2'” - 2.10題型二裂項(xiàng)相消法求和多維探究【舉例說明】L已知數(shù)列QJ的通項(xiàng)公式為烝=1y/h+y/a+l若前n項(xiàng)和為10,則項(xiàng)數(shù)n為答案120 解析因?yàn)?a"='+； +=W+1-W，所以 Sn=(嫡-1) + (小4)d卜(yjn+15)=山+1-1,又因?yàn)?/p>

9、S=10,所以3+1 1 = 10,解得a=120.2. (2018 蕪湖模擬)已知數(shù)列4的前n項(xiàng)和為£, £=a：+a+2.(1)求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式：若九=一，求數(shù)歹IJ 兒的前h項(xiàng)和北, » 1解(1)S=/+a+2,當(dāng)22 時,S-x=(/7-l)2+(n-l)+2,4,刀=1,一得=2m當(dāng)a=1時，2=4,捻=«(a£N*).?，招2由題意,G2,當(dāng)A=1時,3/?-116 a+ 1G2.條件探究舉例說明2中，若小=然，b產(chǎn)log品 logm J求數(shù)列8的前A項(xiàng)和北.解baIfl 1log品 log出“ 2kn n+2jTr =3(T

10、)+d)+lH)+4 2A+21 2a+4.I【據(jù)例說法】幾種常見的裂項(xiàng)相消及解題策略 常見的裂項(xiàng)方法（其中A為正整數(shù)）裂項(xiàng)方法1- 1 f 11%(十4) k < n nrk數(shù)列（1-1 7?（ + ）/集為非零常數(shù)）171=4(嵩-露)2y/ nk- -y/nky/n)1。&（1十?。?021）bg0 (1 + ) = 10gM( 72 十 1) bg/Z<%為等差數(shù)列，公差為 a（awo）,- 4 4+1（2）利用裂項(xiàng)相消法求和時，應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能 前而剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使前 后

11、相等.【鞏固遷移】I1 .設(shè)&為等差數(shù)列QJ的前a項(xiàng)和，a=4, S=15,若數(shù)列彳上，的前。項(xiàng)和為七 aa,J11則 m=()A. 8 B. 9 C. 10 D. 11答案cai=4,解析 &為等差數(shù)列QJ的前a項(xiàng)和，設(shè)公差為d,加=4, £=15,貝IJir 5=15 = 56解得占1,則*=4+ (n4) =n.,1 _ 1 n1 n n+1 n a+1'則 £=1-潟；+W=1-2=1解得go.2.已知數(shù)列aj是遞增的等比數(shù)列，且m+ai=9,史士=8.(1)求數(shù)列QJ的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)£為數(shù)列%的前a項(xiàng)和，兒=言工 求數(shù)列8的前

12、a項(xiàng)和方.解(1)因?yàn)閿?shù)列QJ是遞增的等比數(shù)列，且由+布=9,全a=8.心=1, =(ai = 8=> q=8= q=2=> as= a- q 1 = 2a-1.ai + ai=9, 所以< A<a, q a尸 8(2)由(1)可知£=I"I1-2271-22n所以 bn= 2f - 21 7所以00±.L_152"- 21-1題型三錯位相減法求和【舉例說明】(2018 安徽皖江最后一卷)設(shè)aj是等差數(shù)列，扇是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且為= A=1,a+及=21,a+&=13求數(shù)列QJ和6J的通項(xiàng)公式:求數(shù)列等的前項(xiàng)和S.

13、 bn1 +2d+ q'=21,解(1)設(shè)QJ的公差為d, 仇的公比為q,則依題意有q0且t -(l+4d+?=13,解得 d=2, q=2.所以a=1+(a1) d=2nl, b=q 1 = 2' bUn2n-12n-3 2a-12-T 2廣，'c c i c t 5 , 2A-3 . 2n-l l、2£=2 + 3+5+ + -+t，一得 S=2+2+|+,-lk£-A=2+2X(l+B+H卜/)-2； J=2I” 2“ 2-12/+3十乙入12«-i -。2«-i -1 2【據(jù)例說法】利用錯位相減法的一般類型及思路(1)適用

14、的數(shù)列類型：Q上,其中數(shù)列4是公差為d的等差數(shù)列，8是公比為q#l 的等比數(shù)列.(2)思路：設(shè) £=a：& + a：良+ + aq4, (*)則 Sn= a：Zt + a：6j+ 4- aa tb-i abB. i, (*)(*) - (*)得：(1 -q) &=a：6：+d(&： + Z?5 + 6”)一抵bni *,就轉(zhuǎn)化為根據(jù)公式可求的 和.如舉例說明.提醒：用錯位相減法求和時容易出現(xiàn)以下兩點(diǎn)錯誤：(1)兩式相減時最后一項(xiàng)因?yàn)闆]有對應(yīng)項(xiàng)而忘記變號.(2)對相減后的和式的結(jié)構(gòu)認(rèn)識模糊，錯把中間的n-1項(xiàng)和當(dāng)作a項(xiàng)和.鞏固遷移】I(2018 蘭州模擬)己知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列丁'的前項(xiàng)和為2n+T(1)求數(shù)列UJ的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)A=(七+1)-2am求數(shù)列&的前a項(xiàng)和北.解(1)設(shè)數(shù)列aj的公差為W令n19符=個所以a：全=3.2士 3112令八=2,得一H=三，a;a o所以a出= 15