2021年圓錐曲線解題技巧和方法綜合方法(精心排版)

1、*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07圓錐曲線的解題技巧歐陽光明(2021.03. 07)一、常規(guī)七大題型：(1)中點(diǎn)弦問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法(點(diǎn)差法)：設(shè)曲線上兩點(diǎn) 為(項(xiàng)，V), (/，為)，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān) 系及斜率公式(當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請款討論)，消去 四個參數(shù)。1一 y 一如：(1)+ 7T = l(4>b>°)與直線相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn) a b為M(x0,y0),則有貴+條攵 CiLz22(2)=-% = 1(">。，>。)與直線1相交于A、B,設(shè)弦AB中 a b' y點(diǎn)為

2、M(x0,y0)則有才- 7 =。(3)y2=2px(p>0)與直線1相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0), 則有 2y0k=2p,即 y0k=p.典型例題 給定雙曲線儲-1=1。過A (2, 1)的直線與雙曲線交 于兩點(diǎn)6及巴，求線段匕外的中點(diǎn)P的軌跡方程。(2)焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P,與兩個焦點(diǎn)K、尼構(gòu)成的三角形問題，常用 正、余弦定理搭橋。22典型例題 設(shè)P(x,y)為橢圓< +a=1上任一點(diǎn),與工(G。)*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07*歐陽光明*創(chuàng)編為焦點(diǎn)，/PRF? = a , ZPF2Fl=/3o(1)求證離心率©sin(a + P)s

3、ina + sin p(2)求ipfJ + pkF的最值。(3)直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一 元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理， 應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題, 如果直線過橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題拋物線方程二p(x + l)(p>0),直線x + y=t與x軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。(1)求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(diǎn)(2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B, fiOA±OB,求p關(guān)于t 的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。(4)圓錐曲線的相關(guān)最值(范圍)問題

4、圓錐曲線中的有關(guān)最值(范圍)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 <1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來 解決。<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo) 函數(shù)(通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式)求最值。(1),可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式,通過解不等式求出a的范圍, 即：“求范圍，找不等式”。或者將a表示為另一個變量的函數(shù)，利用 求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于(2)首先要把小NAB的面積表示 為一個變量的函數(shù),然后再求它的最大值，即:“最值問題，函數(shù)思想”。最值問題的處理思路：1、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元

5、二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是由方程求x、y的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方 程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p>0),過M (a,0)且斜率為1的直線L 與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B, |AB|<2p (1)求a的取值范圍；(2) 若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求a NAB面積的最大值。(5)求曲線的方程問題1 .曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線L過原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸 ±o若點(diǎn)A (-1, 0)和點(diǎn)B

6、 (0, 8)關(guān)于L的對稱點(diǎn)都在C上，求 直線L和拋物線C的方程。2 .曲線的形狀未知一-求軌跡方程典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q (2, 0)和圓八Mc： x2+y2=l,動點(diǎn)M到圓C的切線長與 NIMQI的比等于常數(shù)力。>0),求動點(diǎn)M的/軌跡方程，并說明它是什么曲線。I o /J q *(6)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題' =在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決： 求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。(當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決)典型例題 已知橢圓c的方程:+4=1,試確定m的取值范圍，使 43得對于直線y = 

7、9;+?，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱(7)兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用匕匕=止&=7來處理或用-匹向量的坐標(biāo)運(yùn)算來處理。典型例題已知直線/的斜率為3且過點(diǎn)尸(-2.。)，拋物線GV =40+1), 直線/與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)(如圖)。(1)求的取值范圍；(2)直線/的傾斜角8為何值時，A、B與拋物線C的焦點(diǎn)連線 互相垂直。四、解題的技巧方面：在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計(jì)算量較大。事實(shí)上, 如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn) 用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。下面舉例說明：(1)充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是

8、幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何 問題時，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾 何知識，這往往能減少計(jì)算量。典型例題 設(shè)直線3x + 4y + 7 = 0與圓/ +x-2y = 0相交于P、Q兩 點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若。以O(shè)Q,求?的值。(2)充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解， 這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。典型例題 已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線y = x + l*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07相交于P、Q兩點(diǎn)，且IPQ仁孚，求此橢圓方程。(3)充分利用曲

9、線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題 求經(jīng)過兩已知圓G： /_4% + 2y = 0和 C?： /+y22y_4 = 0的交點(diǎn),且圓心在直線/: 2x+4y-1 = 0上的圓 的方程。(4)充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以 解決相關(guān)的求最值的問題.這也是我們常說的三角代換法。廠 廠 1典型例題 P為橢圓了 +尸句上一動點(diǎn)，A為長軸的右端點(diǎn)，B 為短軸的上端點(diǎn)，求四邊形OAPB面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)。 (5)線段長的幾種簡便計(jì)算方法充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：

10、把直線方程 ，=kx + 8代入圓錐曲線方程中，得到型如ax? +法+。= 0的方程, 方程的兩根設(shè)為必，與，判別式為,則 IA8=HFl4-41=鏟舍，若直接用結(jié)論，能減少配方、 開方等運(yùn)算過程。例求直線 V + 1二°被橢圓/ +4)，= 16所截得的線段AB 的長。結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn), 結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。例 ”、鳥是橢圓£ +卷=1的兩個焦點(diǎn)，AB是經(jīng)過的弦，若IABI=8,求值II + I I利用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例點(diǎn)A (3, 2)為定點(diǎn)，

11、點(diǎn)F是拋物線V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在 拋物線尸=4%上移動，若IP4I+IPFI取得最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲備：1 .直線方程的形式(1)直線方程的形式有五種：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、 一般式。(2)與直線相關(guān)的重要內(nèi)容H頃斜角與斜率 = tan a,夕£。兀)點(diǎn)到直線的距離(/=午竺£夾角公式： VA2+B2tana =k?-k1 + k?k(3)弦長公式直線y = kx+b上兩點(diǎn)A(x, j,),8(，為)間的距離:AB =4+攵十一|=(1 +攵2)(演+/)24再或卜回=1 +9卜一%| (4)兩條直線的位置關(guān)系/ J_，2

12、O 秘2=-16/2 Ok】=一且仇工.2、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？(三種形式)2021.03.07*歐陽光明*創(chuàng)編22標(biāo)準(zhǔn)方程:+ = 1(加 。, 。且2 W n) in n距離式方程：J(x+c)2 + y2 +=2參數(shù)方程：x =。cosO.y-bsin6(2)、雙曲線的方程的形式有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程：- + - = K/h h0)m n距離式方程：I J(x + c)2+y2 J(x-c)2 + y2 l=2u(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？ (4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？如：已知不乃是橢圓1 + 4 = 1的兩個焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個動點(diǎn)M滿足|嗎|-明圖=

13、2則動點(diǎn)M的軌跡是()A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射 線(5)、焦點(diǎn)三角形面積公式:/FPF2 =8,cos 8 =I Pf； I2 +1 p/s I2-4c2PF-PF2，麗麗T麗II麗Icosd*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07(6)、記住焦半徑公式:(1)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時為4±ex0;焦點(diǎn)在y軸上時為。土分。,可簡記為“左加右減，上加下減”。(2)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時為el/l±4(3)拋物線焦點(diǎn)在v軸上時為lx11+彳,焦點(diǎn)在y軸上時為1必I+?(7)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？橢圓：b2+c2=a2 雙曲線：a2+b2=c2第

14、二、方法儲備*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.071、點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問題）具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上 兩點(diǎn)為（xl,yl）, （x2,y2,）,代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn) 關(guān)系及斜率公式，消去四個參數(shù)。22設(shè)鳳巧,為），為橢圓* + - = 1的弦"中 J點(diǎn)則有學(xué)+4=1；兩式相減得434343（X1 - X2 +工2）_ （口 一）'2 ）（乃 + y2 ）3=>nk、H=43八 8 4b2、聯(lián)立消元法：求弦長：設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未 知數(shù)，得到一個二次方程，使用判別式4之。，以及根與系數(shù)的關(guān)系, 代入弦長

15、公式。兩交點(diǎn)問題：設(shè)曲線上的兩點(diǎn)4x一）3區(qū),為），將這兩點(diǎn)代入 曲線方程得到翻兩個式子，然后。物，整體消元，若有兩個字母 未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點(diǎn)，則可 以利用三點(diǎn)A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之 間的關(guān)系,根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為y = b, 就意味著k存在。例1、已知三角形ABC的三個頂點(diǎn)均在橢圓41+5），2= 80上，目點(diǎn)A 是橢圓短軸的一個端點(diǎn)（點(diǎn)A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;（2）若角A為90。，AD垂直BC于D,試求點(diǎn)D的軌跡方程.分析：第一向抓住“重心二利用點(diǎn)差法

16、及重心坐標(biāo)公式可求出中 點(diǎn)弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為9?？?歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07得出ab±ac,從而得占%2 + My2 T做必+為)+16 =。，然后利用聯(lián)立消 元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程；解：(1)設(shè)B (包-)，C(£,%),BC中點(diǎn)為(工。廣。圻(2,0)則有 £ +五=1,五 + 21 = 1 20 1620 16兩式作差有區(qū)+祟-勺)+(),，*+%)=o費(fèi)+竽=0 (1)F(2,0)為三角形重心，所以由等 =2,得%=3,由/+廠4=0得 y0=-2,代入 得k=:直線BC的方程為6x-5y - 28 =

17、 02)由 AB±AC得再占 + My2T4(切 +y2) + 16 = 0(2)設(shè)直線 BC 方程 10kbX.+Xy =4 + 5 火 2_5Z?2-80為"石貨=8k加一80公rrr，Ji 乃=:77T 4 + 5A4 + 5A代入(2)式得y = kx+ b,代入 4/ +5y2 = 80 (4 + 5Z2)x2 + 10bkx+ 5b2 -80 = 09/一32-16 八祈 曰/ T； 44 + 56=°'解傳"=4(舍)或"二一可4Ay+一 1直線過定點(diǎn)(0,-：),設(shè) D (x,y ), (3x = 7,即 9xx9y2+

18、9x2-32y-16=0所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是/ +(),=(守("4)。3、設(shè)而不求法、/例2、如圖，已知梯形ABCD中|叫=2卬|,點(diǎn)E分有向線段/ 2p7 所成的比為3雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng) 叮1於時，求雙曲線離心率,的取值范圍。''34分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。 22建立直角坐標(biāo)系g,如圖，若設(shè)c(割，代入臺高土求得 X2 y2 = ,進(jìn)而求得.,y 再代入7一0=1,建立目標(biāo)函數(shù) /(“也G=0,整理f(e,R =

19、 0,此運(yùn)算量可見是難上加難.我們對 力可采取設(shè)而不求的解題策略,建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c, %) 二 °, 整理=o,化繁為簡.解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建 立直角坐標(biāo)系入的，則CD，y軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D,且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于),軸對稱>0 =Ah1+1依題意，記 A(-c,0), C 1,/? , E(xo,>'o),其中 c = ；lA8l為 雙曲線的半焦距，力是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得設(shè)雙曲線的方程為則離心率可由點(diǎn)c、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e = £代入雙曲線方 a程

20、得將式代入式，整理得*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.072-（4-42）=1 + 22 ,23233由題設(shè)Vw得，”一一J解得所所以雙曲線的離心率的取值范圍為他.師分析：考慮卜同卜。為焦半徑，可用焦半徑公式，|A4,|AC|用瓦C的 橫坐標(biāo)表示，回避”的計(jì)算，達(dá)到設(shè)而不求的解題策略.解法二：建系同解法一,IAE| = -(« +),AC =a + exc ,三江崎,又簿臺代入整理-一島,由題設(shè)得，343«-+2 4解得回所以雙曲線的離心率的取值范圍為他,加4、判別式法例3已知雙曲線0：4一1 = 1,直線/過點(diǎn)a(VIo),斜率為3當(dāng) 乙

21、乙。攵1時，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線/的距離為近， 試求攵的值及此時點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1:解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因 此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從“有且僅有”這 個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與/平行的直線，必與 雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式 =(). 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：直線在/的上方且到直線/的距離為41解得%的值解題過程略.分析2:如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式 表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線/的距離為血"，相當(dāng)于化歸的 方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計(jì)已題律題思路:簡解

22、：設(shè)點(diǎn)加（尤亞7逗）址曲線C卜支H干一點(diǎn).則點(diǎn)M到直（0<女<1）有唯一解于是.問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于工的方程.仰化了一.三法嬴的問題由于 OvZvl , 所以 /2 + x2 > Ld > kx , 從而有求解kx-，2 + 廠 ->/2Zr| = -kx +，2 4 v 口L 于是關(guān)于元的方程由OvZvl可知:方程憶-1* + 2心2（公+1）一 日卜+（72a2+1）-也- 2 = 0的二根同 正，故/故+1）+依>0恒成立,于是（*）等價于依 一 1 卜2 +2k。2（6+1）-y/2k）x +。2（父+1）-y2k-2 = 0.由如上關(guān)于尤的方程有

23、唯一解，得其判別式A =。，就可解得 ,2y5 k =5點(diǎn)評：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷迸行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了 全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4已知橢圓C:/+2），2=8和點(diǎn)P （4, 1）,過P作直線交橢圓于 A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q,使第=一卷，求動點(diǎn)Q的軌跡 所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點(diǎn)的困擾，學(xué)生往 往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解.因 此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn)y）的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直 線A

24、B的斜率k作為參數(shù)，如何將乂），與k聯(lián)系起來？一方面利用點(diǎn)Q 在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：喘=-葬來轉(zhuǎn)化.由A、 rDB、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到占"廣"'一"也,要建立工與女的關(guān)系，8-（一+）只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于 如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).AP _ AQ PB - QB在得到“/之后，利果能夠，整體卜叫握,認(rèn)識到：所謂消參， 4（貓 +0） 2（0目的不過是得到關(guān)于. X 二 一首七四，則可由y =攵。-4） +1解得攵=上1，直接代入冒=/（

25、女）即可：將直線方程代入橢圓方程,消去y，利用韋達(dá)定理x - 4+程。I * 二如利用點(diǎn)Q滿足直線AB的方程：y = k（x-4）+l.消去參數(shù)k簡解：設(shè) A（x., % ）,、c/血_3 = _= 5可：l =l-,點(diǎn)Q的軌跡方程 PB QB與一4解之得:4(Xj + x2)-2x1x28 - (演 +一2)(1)設(shè)直線AB的方程為：y = k（x-4） + 1,代入橢圓C的方程，消去）,得出關(guān)于X的一元二次方程：（2k2 +1 卜2 + 4 攵（1 4k） X + 2（1 4女尸8 = 0(2)42(41)x + x-2k? + 12(1-軟)28 2k2+ 1代入（1）,化簡得:4k+

26、3x =k + 2*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07與 y =攵5-4） + 1聯(lián)立，消去得：（2x+y-4）（x-4） = 0.在（2）中，由 4 = -6軟2+64k + 240,解得'® 人,2 +、，1。,結(jié)44合（3）可求得16-2、,歷一16 + 2、而 99故知點(diǎn)Q的軌跡方程為：2x+y-4 =。（止瀉一 吟叵）.點(diǎn)評：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個變量的一元 二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到.這當(dāng)中，難點(diǎn)在 引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參，而“引參、用參、消參”三 步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.5、求根公式法例5設(shè)直

27、線/過點(diǎn)P （0, 3）,和橢圓+ 4 = 1順次交于A、B兩94點(diǎn)，試求工的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：*丁幺，但從此后卻 18 4一籌莫展，問題的根源在于對題目的整體把握不夠.事實(shí)上，所謂求 取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個） 參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實(shí)施；其二則 是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.分析1:從第一條想法入手，蕓已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于有兩個變量4,/,同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然 想到利用第3個變量直線AB的斜率k.問題就轉(zhuǎn)化為如何將 4，4轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程,

28、 消去y得出那蟠嘮需物逑寓求根港我中之欲出.求根公式*歐陽光明*創(chuàng)編XA-f (A), xb= g (k)2021.03.07*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07簡解1：當(dāng)直線/垂直于x軸時，可求得條=上 A LJ當(dāng)/與x軸不垂直時，設(shè)A（X,y）,8*2，%）,直線/的方程為: y = kx+ 3,代入橢圓方程，消去y得伙? +4卜，+54-+45 =。解之得”苦部因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮女>。的情 形.當(dāng)心。時，.叫霜三,“gF所以"=上-% + 2頻=_】8PB 士9- + 2J弘。59- + 2的公-5一二73由 = （一54攵）2一180（9/

29、+4）之0,解得 爐,，所以 _1<i 9 + 2卜%5綜上飛修小分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往 往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負(fù)性可以很快確定k的取值范 圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來.一般來說，韋達(dá)定 理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在 于黑=-土不是關(guān)于對占的對稱關(guān)系式.原因找到后，解決問題的方 PB x2法自然也就有國牖樨蟹簫”對稱關(guān)系式.簡解2:設(shè)直線/齡方程為彳元y迄姓43,代入橢圓方程.消去），得（9r+4卜?+54（上科學(xué)0(*)xa+xb;”k), XAXB = g (k)AP/PB :(xA/xB構(gòu)

30、造所求量與k的關(guān)系式由判別式得出k的取值范圍 54% 匹+占=,1- 9k2+445-9/+4令則，2+1+2=2324 A 245/+20*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07在（*）中，由判別式2可得k£,從而有432二？,所以4«久+ , + 2«U，解得!<2<5.今。K 十 ZXj Dzt 53結(jié)合OV%K1 得:K4K1.綜上，-"AP 1& PB 5點(diǎn)評：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值 不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等.本題 也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗

31、，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能 說明問題，有時甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所在，只有 見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里.第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是 數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、 性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的 一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相 互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。 通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點(diǎn)為48,。為橢圓中心，尸為橢圓的右焦點(diǎn),*歐

32、陽光明*創(chuàng)編2021.03.07目#.麗=1, I萬萬1 = 1. (I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(H)記橢圓的上頂點(diǎn)為"，直線/交橢圓于尸,。兩點(diǎn)，問：是 否存在直線/，使點(diǎn)尸恰為APQM的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由。思維流程:得出關(guān)于 m的方程解題談兩根之和, 兩根之積加河=0(I)如圖建系，設(shè)橢圓方程為a+M=>b>。),則解出m又 ; AF FB = 1 即（a + c）（。-c） = 1 = 2故橢圓方程為1+丁=1(H )假設(shè)存在直線/交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且F恰為APQM的垂心，則 設(shè)尸(和片),0(,當(dāng))，,: M(0,1),尸(1,0),

33、故攵po =1,于是設(shè)直線/為 y = x+m ,由廣;：;得， x +2廠=2 »3r + 4機(jī)t + 2w2 -2 = 0,: MP FQ = 0 = xl(x2-i) + y2(yl-l)又y =毛+/(，= 1,2)得 士( 一 1) + (公 +7)(玉 +加-1)= ° 即2xtx2 + (3 + x2)(m-l) + nr-m = 0 由韋達(dá)定理得解得機(jī)=3或 ? = 1 (舍)經(jīng)檢驗(yàn)機(jī)=4符合條件.點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對邊，然后轉(zhuǎn)化為 兩向量乘積為零.*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07例7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn).焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，

34、目經(jīng)過 4-2.0）、B（2,0）、cjlj）三點(diǎn).乙）(I )求橢圓后的方程：(II )若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、8的任意一點(diǎn),F(-l,0),H(l,0),當(dāng)。尸內(nèi)切圓的面積最大時，求。F內(nèi)心的坐標(biāo);4(II ) IFH 1=2,設(shè)?？?邊上的高為之修=；x2x = 當(dāng)點(diǎn)。在橢圓的上頂點(diǎn)時，力最大為了,所以心印的最大值為6.設(shè)。尸的內(nèi)切圓的半徑為R,因?yàn)椤Ｊ闹荛L為定值6.所以,Swf =不 R x 6所以R的最大值為4.所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為(0.4).點(diǎn)石成金：$a的內(nèi)切圓=不x 的周長乂勺的內(nèi)切圓例8、已知定點(diǎn)C(-1,。)及橢圓一+3)，2=5,過點(diǎn)C的動直線與橢圓 相交于4 8兩

35、點(diǎn).*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07(I )若線段A3中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-；，求直線"的方程； (II)在工軸上是否存在點(diǎn)使瓦亞為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.思維流程：(I )解:依題意，直線A8的斜率存在,設(shè)直線A6的方程為產(chǎn)心+ D,消去了整理得將 y = &* + D 代入-v2 + 3y2 = 5 , (3k2 + l)x2 + 6k2x + 3/ _5 = 0. = 36k4 _ 4(3公 +1)(32-5)>0,(1)設(shè) A(X，x), B(x2,當(dāng))，則彳6k?玉 +M =-一；一-3k2+ 由線段A8中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-上 得小 =_堯

36、 =一'解得人士立， L，+123符合題意。所以直線A8的方程為x->/3y + l=0,或x + 0,，+ l=O.(H )解：假設(shè)在工軸上存在點(diǎn)M(?,O),使加后為常數(shù).當(dāng)直線口與x軸不垂直時，由(I )知6k23k2+3k2-5 再為=一；3k2+ 所 以 MA - MB = (%j m)(x2 -m) + yy2 =m)(x2 -7)+ 攵?(內(nèi) + l)(x2 +1)= (k2+ 1)XjX2 + (A:2 -+x2) + k2+m2,將 代入， 整 理 得(2m-)(3k2+l)-2m- -、；+ nv3k2+ =nr + 2m 36/72 + 143(3 /+1)

37、*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07注意到蘇痂是與女無關(guān)的常數(shù)，從而有6? + 14 =。，此時*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.0749當(dāng)直線相與戈軸垂直時，此時點(diǎn)4 8的坐標(biāo)分別為卜弓)11,-專當(dāng)機(jī)=彳時，亦有祝麗吟綜上，在x軸上存在定點(diǎn)a/-：。,使/蘇月為常數(shù). /點(diǎn)石成金1714 /久 n J 2 (2/77 )(3Zc- + 1) 2/77 雨.礪二型二匕三+療=_、1+病3k2+13A2+ 1例9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2 倍且經(jīng)過點(diǎn)M (2,1),平行于OM的直線/在y軸上的截距為m(n#0), /交橢圓于A、B兩個不同點(diǎn)。(I )求橢圓的方程；(

38、II)求m的取值范圍；(III)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.思維流程：解：(1)設(shè)橢圓方程為二+ = 1(“”。) cr b-a = 2b文7貝U 4 1挪碎,，橢圓方程為5 + 5 = 1+ -v = l b? =282cr b-(II) ;直線1平行于OM,且在y軸上的截距為m又KOM=L./的方程為：y = -x + m2.21y = x + m由 ,2)x2 + linx + hn1 - 4 = 0廠 廠 i182;直線1與橢圓交于A、B兩個不同點(diǎn)，*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07. = (2機(jī))24(2/-4) > 0

39、, 解得-2 < m < 2,且W 0(山)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為kl, k2,只需證明kl+k2=0 即可設(shè) A*】，),B(x2, y2),且X +x2= -2m,xx2 = 2m2 - 4貝此="肉=三= Xi 2 占一 2由 x2 + 2mx + 2 J - 4 = 0可得而一+ 2 2izl + &3-2-)*2) & - 2 x2 2(X1 2)(x2 2)故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形 。攵+42 = °例10、已知雙曲線W-4=1的離心率可，過4氏0),8(

40、0。)的直 cr b-3線到原點(diǎn)的距離是”.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線)，=入+5(攵工0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C, DfiC, D都 在以B為圓心的圓上，求k的值.思維流程：解：(1) £ =原點(diǎn)到直線AB: 二一左=1的距離a 3a b. ab ab y/3 Z/ = =y/a2 +b2 c 2 ; b = 1, a */3.r2 故所求雙曲線方程為 -2 =1.*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07（2 ）把丁二依+5代入工23），2=3中消去y ,整理得 （l-3f）r-30h-78 = 0.設(shè)CC%）D，D（孫力）,。9的中點(diǎn)是£（%,光），則即7 力二十 15；亍=。，又AXO,."1 =71 3Zcz 3k-故所求k=土行.點(diǎn)石成金:c, D都在以B為圓心的圓上oBC=BDoBE，CD;例11、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的 點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.（I ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）若直線/：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是左右 頂點(diǎn)），目以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn).求證：直線/過定 點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).思維流程：解：（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方