2020年深圳市普通高中高三年級線上統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)(文科)試題(含參考答案)

1、絕密啟用前試卷類型：（A）深圳市2020年普通高中高三年級線上統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)（文科）2020. 3本試卷共23小題，滿分150分.考試用時120分鐘.一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有 一 項(xiàng)是符合題目要求的.1 .已知集合A 1,2,3,4,5 , B 0,2, 4,6,則集合A。B的子集共有A. 2個B. 4個C. 6個D. 8個2,若復(fù)數(shù)z a 2i的實(shí)部為0,其中a為實(shí)數(shù)，則| z |1 iA. 2B.、口C. 1D. 2123 .已知向量 OA （ 1, k ） , OB （1,2） , OC （k 2, 0），且實(shí)數(shù) k 0，若 A、B

2、、C 三 點(diǎn)共線，則kA. 0B. 1C. 2D. 34 .意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的算經(jīng)中記載了一個有趣的問題：已知一對兔子每個月可以生一對兔子，而一對兔子出生后在第二個月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么兔子對數(shù)依次為： 1, 1, 2 ,3 , 5 ,8 ,13 , 21, 34 , 55 ,89 , 144，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是an an 1 an 2 （n 3, n N ），其中a1 1 ,a2 1 .若從該數(shù)列的前100項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是偶數(shù)的概率為.11“3B- 1002D- 1005 .設(shè)a 0.3, b （無嚴(yán)，c啕質(zhì)正，則下列正確的是深

3、圳市2020年普通高中高三年級線上統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)（文科）試題頁）第1頁（共66.如圖所示的莖葉圖記錄了甲，乙兩支籃球隊(duì)各 6名隊(duì)員某場比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)(單位：分).若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值為甲隊(duì)乙隊(duì)A. 2 和 6x。7.若雙曲線:2 a曲線的方程為2工b2A.B.C. 2 和 7D.的焦距為2 J5 ,且漸近線經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，則此雙2B. x22C.王 £ 1416D.2 x16y248.如圖,視圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 則該三棱錐的體積為粗線畫出的是由一個長方體切割而成的三棱錐的A. 12B.16C. 24D.329.已知函數(shù) f (x)A /支A

4、sin(x _)3b(A 0)的最大值、最小值分別為3和1,關(guān)于函數(shù)f (x)有如下四個結(jié)論:函數(shù)f (x)的圖象5兀.C關(guān)于直線x 一對稱；6函數(shù)f (x)的圖象C關(guān)于點(diǎn)(M,0)對稱;3函數(shù)一 ,、，一、一 ，汽 5 汽f (x)在區(qū)間(_, 一)內(nèi)是減函數(shù).6 6深圳市2020年普通高中高三年級線上統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)(文科)試題頁)第3頁(共6其中，正確的結(jié)論個數(shù)是A. 1B. 2C. 3D. 4深圳市2020年普通高中高三年級線上統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)(文科)試題 第3頁(共6頁)10 函數(shù)f (x) cos x ln(JX21 x)的圖象大致為11 .已知直三棱柱 ABC A1B1C1,ABC 90

5、 , AB BCAA1 2 , BB1和B1cl的中點(diǎn)分別為E、F，則AE與CF夾角的余弦值為)上的可導(dǎo)函數(shù),D.12.函數(shù)f (x)是定義在(0,f (x)為其導(dǎo)函數(shù)，若 xf (x) f (x) (1 x)ex,且f (2)0，則f(x) 0的解集為A. (0, 1)B, (0, 2)C, (1,2)D. (1,4)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若 sin(二)L 則 sin 2.4314 .在 ABC 中，角 A, B , C 的對邊分別為 a , b , c，若(a b)(sin A sin B) (a c)sinC ,b 2，則ABC的外接圓面積為 15 .

6、已知一圓柱內(nèi)接于一個半徑為J3的球內(nèi)，則該圓柱的最大體積為 深圳市2020年普通高中高三年級線上統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)(文科)試題頁)第#頁(共6x2 y216 .設(shè)橢圓C : _ _ 1（a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,其焦距為2c , O為坐 a2 b2標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足|OP 2a，點(diǎn)A是橢圓C上的動點(diǎn)，且| PA I AFi 3必|恒成立，則橢圓C離心率的取值范圍是三、解答題： 共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第172 1題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、 23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共 60分.17 .（本小題滿分12分）已知數(shù)列a ,

7、a 4 , （n 1）an 1 nan 4（n 1） （n N ）.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1若bn a_一 ,求數(shù)列bn 前口項(xiàng)和為Tn . n n 118 .（本小題滿分12分）某公司為了對某種商品進(jìn)行合理定價，需了解該商品的月銷售量y （單位：萬件）與月銷售單價 X （單位：元/件）之間的關(guān)系，對近 6個月的月銷售量 yi和月銷售單價 Xi（i 1,2,3, ,6）數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:月銷售單價x （元/件）456789月銷售量y （萬件）898382797467（1）若用線性回歸模型擬合 y與x之間的關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位實(shí)習(xí)員工求得回歸直線方程分別為：

8、, 4x 105 , y? 4x 53和y? 3x 104 ,其中有且僅有一位實(shí)習(xí)員工的計(jì)算結(jié)果是正確的.請結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識，判斷哪位實(shí)習(xí)員工的計(jì)算結(jié)果是正確的，并說明理由；(2 )若用yax2bx c模型擬合y與x之間的關(guān)系，可得回歸方程為y? 0.375x2 0.875x90.25 ,經(jīng)計(jì)算該模型和（1）中正確的線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)R2分另1J為 0.9702和0.9524，請用 R2說明哪個回歸模型的擬合效果更好；（3）已知該商品的月銷售額為 z （單位:萬元），利用（2）中的結(jié)果回答問題：當(dāng)月銷售單價為何值時，商品的月銷售額預(yù)報值最大？（精確到0.01）參考數(shù)據(jù)：,6547 80

9、.91 .19 .(本小題滿分12分)如圖，四邊形ABCD為長方形，AB 2BC 4, E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，將 ADF 沿AF折到 AD F的位置，將 BCE沿CE折到 B CE的位置，使得平面 AD F 底面 AECF，平面BCE 底面AECF，連接BD .(1)求證：B D / 平面 AECF ;(2)求三棱錐 B AD F的體積.20 .(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，過點(diǎn)F (2,0)的動圓恒與y軸相切，F(xiàn)P為該圓的直徑，設(shè)點(diǎn)P 的軌跡為曲線C .(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)A(2,4)的任意直線l與曲線C交于點(diǎn)M , B為AM的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的 平行

10、 線交曲線C于點(diǎn)D , B關(guān)于點(diǎn)D的對稱點(diǎn)為N，除M以外，直線MN與C是否有其它 公共點(diǎn)? 說明理由.21 .(本小題滿分12分)已知函數(shù) f x x 1 In x ax21 a x 1.(1)當(dāng)a 1時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)討論f x零點(diǎn)的個數(shù).（二）選考題：共 10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定 的題目.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，22 .（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線Ci的參數(shù)方程為 x 2於t cos , （t為參數(shù)，為傾斜y t sin ,角），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線

11、C2的極坐標(biāo)方程為4 sin（1）求C2的直角坐標(biāo)方程；（2）直線5與C2相交于E, F兩個不同的點(diǎn)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2J3,兀）若2 EF PE PF ,求直線Ci的普通方程.23.（本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知a,b, c為正數(shù)，且滿足 a b c 1.證明：（1） 1 1 1 9 ； a b c（2） ac bc ab abc 8.27絕密啟用前試卷類型：（A）2020年深圳市普通高中高三年級線上統(tǒng)一測試文科數(shù)學(xué)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)、選擇題1. B2. A3. D4. B5. D6. C7. B8. B9. C10. B11. B12. B、填空題：744 1.13._14.

12、_n15. 416.93512 .【解析】設(shè) F(x) x f (x)，則 F (x) xf (x) f(x) (1 x)ex,因此，x (0,1) , F (x) 0 , F (x)遞增；x (1,) , F(x) 0 , F (x)遞減.因?yàn)楫?dāng) x 0 時，F(xiàn)(0)0,且有 F(2) 0 .所以由 F(x) x f (x)圖象可知，當(dāng)x (0, 2)時，F(xiàn)(x)xf (x)0 ,此時f (x)0 .16 .解析：為使 | PA |AF1 3 F1F2恒成立，只需 3 F1F2( PAAF1I )max,由橢圓的定義可得，AF1 AF2 2a ,所以PA |AFJ I PA |AF2 | 2

13、a PF2 2a,當(dāng)且僅當(dāng)P,F2,A三點(diǎn)共線時取等號(F2 在線段PA上)，又點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為2a的圓，所以圓上點(diǎn)P到圓內(nèi)點(diǎn)F2的最大距離為半徑與OF2的和，即PF2 2a c ,所以 PA AF1PF2 2a 2a c 2a 4a c ,c 4所以 6c 4a c , 5c 4a , e _ _,a 54又e 1 ,所以C的離心率的取值范圍為-,1 .三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第172 1題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、 23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共 60分.17 .(本小題滿分12分)已知數(shù)列Oi , a

14、 4 , (n 1)an 1 nan 4(n 1) (n N ).（1）求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式;1(2)若 bnan1,求數(shù)列bn 前n項(xiàng)和為Tn .解:(1)由(n1)an 1nan 4(n 1) (n N )可得,2a2ai4a416 ，nan(n1)an 1(n 2)累加得nan a1所以 nan =4+88 12 +4n , (4+4 n)n12 +4n=得 an =2n 2(n2)，由于a1 4 ,所以an=2n 2(n(2) bnan an 11 1.(_(2n_1)2)(2n_(14)12n 22n 411 (12n 2) 2n 42 42n 412分8n 16【命題意圖】本題主

15、要考查已知遞推公式用累加法求通項(xiàng)，注重思維的完整性和嚴(yán)密性,另外考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.重點(diǎn)考查等價轉(zhuǎn)換思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推 理 等核心素養(yǎng).18 .（本小題滿分12分）某公司為了對某種商品進(jìn)行合理定價，需了解該商品的月銷售量 y （單位：萬件）與月銷售單價 x （單位：元/件）之間的關(guān)系，對近6個月的月銷售量y和月銷售單價 x（i 1,2,3, ,6）數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示：月銷售單價x （元/件）456789月銷售量y （萬件）898382797467（1）若用線性回歸模型擬合 y與x之間的關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位實(shí)習(xí)員工求得回歸直線方程分別為：W 4

16、x 105 ,號4x 53和y? 3x 104,其中有且僅有一位實(shí)習(xí) 深圳市2020年普通高中高三年級線上統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)(文科)參考答案第7頁(共11頁)員工的計(jì)算結(jié)果是正確的.請結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識，判斷哪位實(shí)習(xí)員工的計(jì)算結(jié)果是正確 的，并說明理由；（2 ）若用y ax2 bx c模型擬合y與x之間的關(guān)系，可得回歸方程為y?0.375x20.875x 90.25,經(jīng)計(jì)算該模型和（1）中正確的線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)R2分別為0.9702和0.9524 ,請用 R2說明哪個回歸模型的擬合效果更好；（3）已知該商品的月銷售額為z （單位：萬元），利用（2）中的結(jié)果回答問題：當(dāng)月銷售單價為何值時，商品

17、的月銷售額預(yù)報值最大？（精確到0.01）參考數(shù)據(jù)：6547 80.91.89 83 82 79 74 67 796解：（1）已知變量x , y具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故乙不對,4 5 6 7 8 9 因?yàn)?x66.5 , y代入甲和丙的回歸方程驗(yàn)證甲正確.(2)因?yàn)?.97020.9524且R2越大，殘差平方和越小，模擬的擬合效果越好,所以選(3)2y?0.375x2由題意可知,3 *380,則0.875xz xy?90.25更好.（言之有理即可得分）0.375x3：2 361x ,則 z40.875x2 90.25x,9 x287 x 36144尸7 （舍去）或 x6547V910分V6547

18、7 ,當(dāng)x 0, x時，z單調(diào)遞增，當(dāng)x0時z單調(diào)遞減,9所以當(dāng)x x°時，商品的月銷售額預(yù)報值最大,11分深圳市2020年普通高中高三年級線上統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)（文科）參考答案第頁）9頁（共11因?yàn)?J'6547 80.91 ,所以 x 9.77,所以當(dāng)x 9.77時，商品的月銷售額預(yù)報值最大.12分19 .（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為長方形，AB 2BC 4 , E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，將 ADF 沿AF折到 ADF的位置，將BCE沿CE折到 BCE的位置，使得平面AD F 底面AECF ,平面BCE底面AECF ,連接bd ,（1）求證：BD / 平面 A

19、ECF ;（2）求三棱錐 B ADF的體積.B'解：(1)證明：作dm AF于點(diǎn)M，作BN EC于點(diǎn)N , 1分*JAD DF 2 , BC BE 2 , AD F CBE90, M , N為AF , CE中點(diǎn)，且DM BN 亞.2分7平面AD F底面AECF ,平面AD F門底面AECF AF ,D M AF , D M 平面 AD FD M 底面AECF , 3分理：BN 底面AECF , 4分D M / BN ,四邊形DBNM為平行四邊形，B D / /MN 5 分rB D 平面 AECF , MN 平面 AECF ,BD / 平面 AECF . 6分(2)設(shè)點(diǎn)B到平面AD F的

20、距離為h ,連接NF . 7分*D M /BN , D M 平面 AD F , BNB N / 平面 AD F ,平面AD F8分故點(diǎn)B到平面AD F的距離與點(diǎn)N到平面AD F的距離相等.VN 為 CE 中點(diǎn)，EF CE 2 ,NF CE ,深圳市2020年普通高中高三年級線AF / /CE ,NF AF , 9分:平面AD F 底面AECF ,8分平面 AD F0|底面 AECF AF , NF底面AECF ,NF 平陽 AD F ,二二二;二二：10 分 什藻珈市2020年普通高中高三年級線上統(tǒng)一測除數(shù)學(xué)（文科）試題點(diǎn)N到平面AD F的距離為NF J2,第11頁（共611分點(diǎn)B到平面AD

21、F的距離h.'SAD F深圳市2020年普通高中高三年級線上統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)(文科)試題頁)第12頁(共6三棱錐VB AD FAD F的體積1s一 AD F312分20 .(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)F(2,0)的動圓恒與y軸相切，F(xiàn)P為該圓的直徑，設(shè)點(diǎn)P 的軌跡為曲線C .(1)求曲線C的方程;(2)過點(diǎn)A(2,4)的任意直線l與曲線C交于點(diǎn)M ,B為AM的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的 平行 線交曲線C于點(diǎn)D , B關(guān)于點(diǎn)D的對稱點(diǎn)為N，除M以外，直線MN與C是否有其它 公共點(diǎn)？ 說明理由.【解析】(1)如圖，過p作y軸的垂線，交y軸于點(diǎn)H ,交直線x 2于點(diǎn)已,1 分質(zhì)得

22、,設(shè)動圓圓心為E ,半徑為r ,則E至ij y軸的距離為r ,在梯形OFPH中，由中位線性PH 2r 2 , 2 分所以 |PPi 2r 2 2 2r ,又 PF | 2r ,所以 PF PR , 3 分由拋物線的定義知，點(diǎn)P是以F(2,0)為焦點(diǎn)，直線x 2為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線C的方程為y2 8x . 4分(2)由A(2,4)得，A在曲線C上，2.(i)當(dāng)l的斜率存在時，設(shè) M (xi, y)(x12),則丫18x1,AM 的中點(diǎn) B( x_2 , y1 4),即 B( x_ 1, y, 2) , 5 分2222在方程y2 8x中令y t2得x 1(t2)2,28 2所以 D(1 ( I

23、l 2)2 , y1 2) . 68 221 yi2 xi 2設(shè)N(x2, y2 ),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式 x2 ( 2)又yi2 8x1，代入化簡得x2興2，所以N (上y1_ 2) , 7 分2 2 y_力力9yi(_22)224直線MN的斜率為y一 I 一，x 12_y_y_y_12 82 4直線MN的萬程為y _(x x1) y， yi，將x y2代入式化簡得 y 4_ x t，8 分1 8yi2將x y 2代入式并整理得 y2 2y y y 2 0，7i i式判別式(2y )2 4y 2 0 , 9 分ii所以直線MN與拋物線C相切,所以除M以外，直線MN與C沒有其它公共點(diǎn). 10分(ii

24、)當(dāng) l 的斜率不存在時，M (2,4), B(2,0) , D(0,0) , N( 2,0),分上式直線MN方程為y x 2 ,代入y2 8x得x2 4x 4 0 , ii方程判別式 0,除M以外，直線MN與C沒有其它公共點(diǎn).綜上，除M以外，直線MN與C沒有其它公共點(diǎn). 12分【命題意圖】本題以直線與圓、直線與拋物線為載體，利用直線與圓的位置關(guān)系等知識 導(dǎo)出拋物線的方程，借助幾何關(guān)系，利用方程思想解決問題，主要考察拋物線的定義、直線 與拋物線的位置關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識，考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及思辨能力.21.(本小題滿分12分)已知函數(shù) f x x 1 I

25、n x ax21 a x 1.(1)當(dāng)a 1時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)討論f x零點(diǎn)的個數(shù).解：(1)因?yàn)?a 1,所以 f x x 1 In x x2 2x 1 x 1 In x又 f x In x 2x 1 3，設(shè) hx In x 2x 1 3,xx1 -1 2x 1 1 x222，x xx所以h x在0,1為單調(diào)遞增；在 1,為單調(diào)遞減,所以h x的最大值為h 10 ,所以f x 0 ,所以f x在0, 單調(diào)遞減.4分（2）因?yàn)?f x x 1 ln x ax 1所以x 1是f x 一個零點(diǎn)5 分設(shè) g x In x ax 1,所以f x的零點(diǎn)個數(shù)等價于g x中不等于1的零點(diǎn)個數(shù)再加上

26、1.當(dāng)a 1時，由（1）可知，f x單調(diào)遞減，又x 1是f x零點(diǎn)，所以此時f x有且只有一個零點(diǎn)；6分(ii)當(dāng) a0時，g x單調(diào)遞增，又g 10,2 x 1ln x ax 1x 1ax 1ax2a 3 x 1x 1又 ax2a 3 x 1a 4 x2a 3 x 1深圳市2020年普通高中高三年級線上統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)（文科）參考答案第 15頁（共11頁）1有一個零點(diǎn)且g 10,所以此時f x8分所以g 0 ,綜上可知g x在0,a 4有兩個零點(diǎn)；a 0 ,單調(diào)遞減.ax 1（iii）又g x ,所以當(dāng)1 x、乂» 4g x在0,單倜遞增，在g x的最大值為g 1 ln 10a a又

27、g x 2 x 1 ax 1 2 x 11 0x 1x 1g 10，又 g：a 03ee所以g x在0, 1有一個零點(diǎn)，在 1 ,也有一個零點(diǎn)且g 10 .aa10分所以此時f x共有3個零點(diǎn);（iv）又g x ax 1 ,所以當(dāng)a 1時，xg x在0, 1單調(diào)遞增，在 1 ,單調(diào)遞減.g x的最大值為g 1 ln a0,所以g x沒有零點(diǎn)，此時f x共有1個零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)a1時，f x共有1個零點(diǎn)；當(dāng)1a 0時，f x共有3個零點(diǎn);當(dāng)a 0時，f x有兩個零點(diǎn).12分（二）選考題：共 10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分

28、，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.22.（本小題滿分10分）選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1的參數(shù)方程為x2KB上8s，（t為參數(shù)，為傾斜y t sin ,角），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4sin（1）求C2的直角坐標(biāo)方程；（2）直線C1與C2相交于E, F兩個不同的點(diǎn)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2J3,力，若2 EF | PE | pF ,求直線 0的普通方程.解：（1）由題意得，C2的極坐標(biāo)方程為4sin ，所以2 4 sin , 1分又x cos , y sin , 2分 代入上式化簡可得，x2 y2 4y 0 , 3分所以C2的直角坐標(biāo)方程 x2 （y 2）2 4 . 4分（2）易得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（2j3,0）,將x2 J3 cte0s，代入C2的直角坐標(biāo)方程，可得y t sin ,t 2 (4。3cos4sin )t 12 0,(4 .cos 4sin )2 48=8sin(二)2 48 0 ,解得sin( 3 / ,或 sin( _5?,3232不難知道必為銳角，故sin( _5 73，32所以:V，即0,6分3333設(shè)這個方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為ti , t2 ,則t1 t