2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學(xué)

1、絕密啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共4頁，選擇題部分1至2頁；非選擇題部 分3至4頁。滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘?？忌⒁?1 .答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填在試題 卷和答題紙規(guī)定的位置上。2 .答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答,在本試題卷上的作答一律無效。參考公式：若事件 A, B 互斥，貝U P(A+B) =P(A)+P(B) 若事件A, B相互獨(dú)立，則P(AB) =P(A)P(B) 若事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 p,則n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件

2、 A恰好發(fā)生k次的概 率 Pn(k) =C： pk(1 _p)n上(k =0,1,2，川，n)1臺(tái)體的體積公式 V =3(SS1S2 S2)h其中S,S分別表示臺(tái)體的上、下底面積，h表示臺(tái)體的高柱體的體積公式V=Sh其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高1錐體的體積公式VSh3其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高球的表面積公式S = 4 二R2球的體積公式43V = R33其中R表示球的半徑選擇題部分(共40分)、選擇題：本大題共 10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集 U =1,0,1,2,3,集合 A = 0,1,2, B =

3、-1,0/,則 eUATl B =A. 1B.0,1?C. -1,2,3D.1,0,1,32.漸近線方程為 x±y=0的雙曲線的離心率是2A.萬B.D.x-3y 4_03,若實(shí)數(shù)x, y滿足約束條件3x-y-4<0,則z=3x+2y的最大值是B. 1C. 10D. 124 .祖咂是我國南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家.他提出的“哥勢既同，則積不容易”稱為祖附I原理，利用該原理可以得到柱體體積公式V柱#=Sh,其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示，則該柱體的體積是A. 158C. 182B. 162D. 325 .若 a>0, b>0,貝U "

4、 a+bw4” 是“abw4” 的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件6 .在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù) y = ；, y=loga(x+-), (a>0且aw0)的圖像可能是 a27.設(shè)0vav1,則隨機(jī)變量 X的分布列是X0a1p271130正箍則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí)A. D(X)增大B. D(X)減小C. D(X)先增大后減小D. D(X)先減小后增大8 .設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，記直線PB與直線AC所成角為 %直線PB與平面ABC所成角為8二面角P-AC-B的平 面角為4則A.華工必丫

5、B. 3<a,仔:丫C.火 a, faD. a<F39 .x, x ： 0已知a,bW R,函數(shù)f(x)=«1 312，若函數(shù)V_f (公ay b恰x3(a 1)x2 ax,x -0y - f (x) - ax -b32有三個(gè)零點(diǎn)，則A. a<-1 , b<0B. a<-1 , b>0C. a>-1, b>0D. a>-1, b<010.設(shè) a, bCR,數(shù)列an中 an=a, an+1=an2+b, bw n*，則bA>o a11 - 2一 1B.當(dāng) b=；, aio>10C.當(dāng) b=-2, aio>10

6、D.當(dāng) b=-4, aio>10非選擇題部分(共110分)、填空題：本大題共 7小題，多空題每題 6分，單空題每題 4分，共36分。11.復(fù)數(shù)z(i為虛數(shù)單位)，則|z|=12 .已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),半徑長是.若直線2x y+ 3= 0與圓相切于點(diǎn)a(-2, -1),則 m=, =.13 .在二項(xiàng)式(j2+x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是 ,系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是14 .在 4ABC 中，NABC=901 AB = 4, BC=3,點(diǎn) D 在線段 AC 上，若BDC=451則 BD=, cos/ABD =22PF的中x y15.已知橢圓 一+L=1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在

7、沖由的上方，若線段95點(diǎn)在以原點(diǎn)。為圓心，OF為半徑的圓上，則直線 PF的斜率是.316 .已知awr,函數(shù)f(x) = ax -x,右存在t= r ,使得 f(t+2)_ f (t)區(qū)工，則實(shí)數(shù)a 3的最大值是.17 ,已知正方形ABCD的邊長為1 ,當(dāng)每個(gè)(i =1,2,3,4,5,6)取遍±1時(shí)，11AB 2BCT T T十九DA +九AC +九BD|的最小值是,最大值是三、解答題：本大題共 5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18 .(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)=sinx,xw R .(1)已知日亡0, 2冗)，函數(shù)f(x+8)是偶函數(shù)，求6的值；

8、22(2)求函數(shù) y = f(x+)2 +f (x + )2 的值域.12419 .(本小題滿分15分)如圖，已知三棱柱ABC-ABC1,平面AACC，平面ABC/ABC=901 /BAC=30：AA=AC = AC,E,F 分別是 AC, A1B1 的中點(diǎn).(1)證明：EF_LBC；(2)求直線EF與平面AiBC所成角的余弦值20 .(本小題滿分15分)設(shè)等差數(shù)列耳的前n項(xiàng)和為Sn，03 = 4,數(shù)列bn滿足：對(duì)每個(gè)nW N*,Sn+tn,Sn書+ bn,Sn書+bn成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式；(2)記 cn=/,nw n” 證明：Ci+C2+“l(fā)+Cn <2赤刀W

9、N. 2>221 .(本小題滿分15分)如圖，已知點(diǎn)F (1,0)為拋物線y =2pXp>0),點(diǎn)F為焦點(diǎn)， 過點(diǎn)F的直線交拋物線于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得 4ABC的重心G在x軸 上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q,且Q在點(diǎn)F右側(cè)5E AFG , CQG的面積為 19.(1)求p的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；,S ,一 (2)求一的最小值及此時(shí)點(diǎn) G的坐標(biāo).S222 .(本小題滿分15分)已知實(shí)數(shù) a#0,設(shè)函數(shù) f(x)=alnx + Jx+1,x>0.3(1)當(dāng)a =時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;4(2)對(duì)任意xw4，y)均有f(x)< ,求a的取值范圍. e22a注：

10、e=2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4分，滿分40分。1 . A2. C3.C4. B5. A6. D7. D8.B9. C10. A二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。11.12,-2,. 513,162,514,山，力251015.1516.-17,0,2.53三、解答題：本大題共 5小題，共74分。18.本題主要考查三角函數(shù)及其恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力。滿分14分。（I ）因?yàn)閒 （ x+日）=s i nt（e是偶函數(shù)，所

11、以，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有 s i rx（+e =）sx nq ,即 sinxcosH +cosxsin 日=-sinxcos日 +cosxsin日,故 2sin xcos6 = 0 ,所以 cos- - 0 .又8 W0, 2支），因此日=：或3- . 一 2 -2（口）y = fix fix = sin.2 二 . I x sin21 x ! I 12 力! I 4力 I 12j I 4）1.3-3 .八1cos2x - sin2x2 22（，兀）1 -cosI2x.6 .21 -cos I 2x，冗：cosI2x 3因此，函數(shù)的值域是1 -3,1 3.2219 .本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置

12、關(guān)系，直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。滿分 15分。方法一：(I)連接AiE,因?yàn)锳iA=AiC, E是AC的中點(diǎn)，所以AiEXAC.又平面AiACC平面ABC, AiE二平面A1ACC1,平面 AiACCi n平面 ABC=AC,所以，AiE，平面 ABC,則 AiEBC.又因?yàn)?A1F/AB, /ABC=90°,故 BCAiF.所以BC，平面AiEF.因此 EF J_ BC.第 19 WA（n）取BC中點(diǎn)G,連接EG, GF,則EGFA1是平行四邊形.由于AiE，平面ABC,故AEEG,所以平行四邊形 EGFAi為矩形.由（I）得BC，平面EGF

13、Ai,則平面ABC,平面EGFAi,所以EF在平面AiBC上的射影在直線AiG上.連接AiG交EF于O,則/ EOG是直線EF與平面AiBC所成的角（或其補(bǔ)角） 不妨設(shè) AC=4,則在 RtAAiEG 中，AiE=2j3，EG= J§ .由于。為AiG的中點(diǎn)，故EO=OG = &G2T5=，2所以 cos EOG =EO2 OG2 - EG22EO OG3因此，直線EF與平面AiBC所成角的余弦值是 一.5方法 連接AiE,因?yàn)锳iA=AiC, E是AC的中點(diǎn)，所以AiEXAC.又平面AiACCj平面ABC, AiE二平面AiACCi,平面AiACCiC平面ABC=AC,所以

14、，AiEL平面ABC.如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC, EAi為y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系 E iyz.*19芯串不妨設(shè)AC=4,則A1 (0, 0, 24) , B(73, 1, 0),川后32 & ， F(,3,273)，C(0，2,2 20).因此，eF=§,|,2® BC=(,。).由 EF BC =0得 EF _L BC .20 .本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力。滿分 15分。(I)設(shè)數(shù)列a的公差為d,由題意得a +2d =4向 +3d=B+3d,解得 a(=0,d = 2.

15、*從而 an =2n -2,n N .由Sn +bn,S書+6,6也+tn成等比數(shù)列得(Sn 書 +4 2 =(& +bn X & 出 + bn ).解得。=；(S2+SnSn 電).d2*所以 bn =n n,n N(n)"a7=2n -22bn -' 2n(n 1)n -1n(n 1)我們用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n=1時(shí)，。=0<2,不等式成立;(2)假設(shè)n = k(k w N* )時(shí)不等式成立，即 G十傘十|十Ch <2尿.那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，ci- c2nr ck - ck 1 :二2 k(k 1)k 2) ：2k Ji2k-2 k 2

16、(Jk_i - 4)=2 ki .k 1 . k即當(dāng)n = k +1時(shí)不等式也成立.根據(jù)(1)和(2),不等式c1 +c2 +| + cn c2jn對(duì)任意nw N*成立.21.本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力。滿分15分。(I)由題意得R =1 ,即p=2.2所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為 x=-1.(n)設(shè) A(xv yA), B 為，必)，C x，y,重心 G(xG,yG ).令 Ya = 2t,t#0 ,則XA=t2.由于直線AB過F,故直線AB方程為x = Lry + 1,代入y2=4x,得2 2t2-1y - y -4 =

17、0 ,一 ,2/2)故2tyB = -4，即 yB = -：，所以 B 2,_y又由于xg1-xaxbxc3c 2c2t -+yc =0 ,1),yG = -( yA + yB + yc )及重心 G 在 x 軸上， 3所以，直線 AC方程為 y-2t =2t(xt2 ),得 Q(t2 -1,0由于Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，故t2 >2 .從而1-S _嚴(yán)1%2t4 - 2t2 23t2-1 |2t |S212|QG| yc |t2-1_ 4"" 2 T2t -2t2”2t4 -1t2 -2t4 -13P令 m = t2 一2 ,則 m>0,一一一mS2m 4m 312

18、 3,m 4m當(dāng)m=/3時(shí)，S取得最小值1十S2亨，此時(shí)G (2,0).22.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用，同時(shí)考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力。滿分15分。3_,3(I)當(dāng) a = -一時(shí)，f (x) = -ln x +1 +x, x > 0 .44f'(x) = -43x 2-Tx(J x -2)(2、, 1 x 1)所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0, 3),單調(diào)遞增區(qū)間為(3, +吧).12(n)由f (1) <，得 0 <a M.2a42 一、 x x x 2 1 xM 時(shí),f (x) E 等價(jià)于一2- 一- 21n x 0.42aa2a設(shè) g(t)=t26-2tV1x2lnxt 22山，則 g(t)之g(2>/2) =8Vx-4V2Vi+x-2lnx.rz 1當(dāng)x一片 lt_7g(t)之g(2V2)=8Vx -4底尸x-21nx.記 p(x) = 4、x -2 , 2 , 1 x Tn x, x - 1 ,則P'(x)2x x . x 1 - 2x - x 1x x 1故x17(7,1)1(1, fP'(x)0+