高中的絕對(duì)值不等式(精華版)適合高三復(fù)習(xí)用可直接打印

1、標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式|a b|a|b|, |a - b卜|a | |b |基本的絕對(duì)值不等式：|a|-|b|< |a ± b| < |a|+|b|y=|x-3|+|x+2|> |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5所以函數(shù)的最小值是5,沒(méi)有最大值|y|=|x-3卜|x+2|< |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y| < 5 得-5 < y < 5即函數(shù)的最小值是-5 ,最大值是5也可以從幾何意義上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2這 兩點(diǎn)的距離之和， 顯然當(dāng)-2 &

2、lt; x < 3時(shí)，距離之和最小，最小 值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2這兩點(diǎn)的距離之差， 當(dāng)x< -2時(shí)，取最小值-5 ,當(dāng)x> 3時(shí)，取最大值 5變題 1 解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ； (2)| x2 - 2x -6|<3 x思路利用丨 f(x) | <g(x)= -g(x)vf(x)vg(x) 和丨f(x)丨 >g(x)= f(x)>g(x) 或 f(x)v-g(x)去掉絕對(duì)值后轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次、一元二次不等式組來(lái)處理。解： 原不等式等價(jià)于 X+1>2 x或x+1<(2 - x)

3、1 1解得或無(wú)解，所以原不等式的解集是 x | x> 原不等式等價(jià)于3 X< X2I 3x I1.解不等式(1 )1 x-x 2-2 | >x2-3x-4 ; (2) x2：4 <1解：(1)分析一可按解不等式的方法來(lái)解.原不等式等價(jià)于：x-x 2-2>x 2-3x-4或 x-x 2-2<-(x 2-3x-4)解得：1- - 2 vX<1+ 2解得：x>-3故原不等式解集為 x | x>-3 分析二 Tl x-x 2-2 | = | x2-x+2 | 2x 6<3 X即X2-2x-6>-3x(x2 + x-6>0”(x +

4、 3)(x-2) > 0xv-3 或 x>2 => => 二 *x2-2x-63xlx2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 62< X<6所以原不等式的解集是 X|2< X<617而 x -x+2 = (x-) + . >044所以| x-x 2-2 |中的絕對(duì)值符號(hào)可直接去掉.故原不等式等價(jià)于 x2-x+2>x 2-3x-4解得：x>-3原不等式解集為 x>-3 3x(2)分析不等式可轉(zhuǎn)化為-1 w二 < 1求解，但過(guò)x - 4程較繁，由于不等式| xX 4 w 1兩邊均為正，所以可平方后

5、求解.文案大全原不等式等價(jià)于3xx2 - 4二 9x2w (x 2-4) 2 (x 工土 2)=x4-17x 2+16> 0二 x2w 1 或 x2> 16 =-1 w x w 1 或 x > 4 或 x w -4注意：在解絕對(duì)值不等式時(shí)，若I f(x) |中的f(x)的值 的范圍可確定(包括恒正或恒非負(fù)，恒負(fù)或恒非正 )，就可直 接去掉絕對(duì)值符號(hào)，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程 .第2變含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式變題 2解不等式(1) | x - 1|<| x + a| ; (2) | x-2 | + I x+3 I >5.思路(1 )題由于兩邊均為非負(fù)數(shù)，因此可以利用丨 f(x)

6、 I| g(x) |= f2(x) g2(x)兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)。(2)題可采用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值求解。解題(1)由于|x - 1| > 0, | x + a| >0,所以?xún)蛇吰?方后有：2 2I x -1| 2 <| x + a|即有 x2 -2X+i<x2+2ax+a2，整理得(2 a+2)x>i-1當(dāng)2a+2>0即a>- 1時(shí)，不等式的解為 x>2(1 - a)；當(dāng)2 a +2=0即a = - 1時(shí)，不等式無(wú)解；1當(dāng)2a+2<0即a<- 1時(shí)，不等式的解為 XV-(1-a)2(2)解不等式丨 x-2 | + | x+3 |

7、>5.解：當(dāng) x <-3 時(shí)，原不等式化為(2-x)-(x+3)>5= -2x>6 = x<-3.當(dāng)-3<x<2時(shí)，原不等式為(2-x)+(x+3)>5- 5>5無(wú)解.當(dāng) x >2 時(shí)，原不等式為(x-2)+(x+3)>5- 2x>4= x>2.綜合得：原不等式解集為 x | x>2或x<-3 .請(qǐng)你試試4 21 解關(guān)于 x 的不等式 |loga(V x)| |loga(1 x) I ( a>0 且a工1)解析：易知1< x <1 ,換成常用對(duì)數(shù)得：I lg(1 - x) | | lg(

8、1 x) |lgaIg a.|lg(1- x)|2 |lg(1x)|2于是 lg2(1 - x)lg2(1 x) 0=gcl X)十 _g(.x)=_gu X)丄 g(-tX)*1 X _g(：)_g二_k+ x 1AXA12 OA V-X A V- _g (1 X2A0 _g1 XXAoOAXAX2 X+3H2X1A5+1S孺»R 賈_X+3H2X1IT4 I x(x M 1)24X + 2(3< x < ) - 2. x 4(x 譏 3)- xB13AXAMI卑 4X+2A51Bxz 3 卑 xXV2 3AXA oo標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用2綜上x(chóng)<7或x>22故填（八廣

9、7）（Z ）3.求不等式iogi x3+ log3 -3- x-1的解集.文案大全解：因?yàn)閷?duì)數(shù)必須有意義，即解不等式組'x = 0丄 0，解得0 ” x3 - x又原不等式可化為log 3 X（i）當(dāng) 0x1 時(shí)-log3 x log3 3 x1log3 3 x - log33x3 一 x 3xIog3（ 3- x） z 1不等式化為 即3x綜合前提得：430 x乞4。(2)當(dāng) 1<x < 2 時(shí)，即 log3 x log3 3 - x - log33.2x 3x 3' 0 x o（1）當(dāng) 2x 3 時(shí)，log3x log3 3 - x - log33(2) x -

10、 3 3 - xx - 4,結(jié)合前提得:（3_9綜合得原不等式的解集為1°刁U歷,3丿第3變解含參絕對(duì)值不等式變題3解關(guān)于x的不等式 x2 - 4mx 4m2 m3思路本題若從表面現(xiàn)象看當(dāng)含一個(gè)根號(hào)的無(wú)理根式不等 式來(lái)解，運(yùn)算理較大。若化簡(jiǎn)成 |x-2mm 3，則解題過(guò) 程更簡(jiǎn)單。在解題過(guò)程中需根據(jù)絕對(duì)值定義對(duì)m 3的正負(fù)進(jìn)行討論。解題原不等式等價(jià)于I x - 2mm 3當(dāng) m 3 ° 即 m -3時(shí) ,x - 2m m 3或 x 2m -（m 3） x 3m 3或x m - 3當(dāng) m 3 = ° 即 m 3 時(shí)， | x 6 | °/. x6當(dāng) m 3

11、 7即 m ” -3時(shí)，x R請(qǐng)你試試4 32a21.解關(guān)于x的不等式:分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對(duì)值不等式的解法，分類(lèi)討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對(duì)參數(shù) a進(jìn)行討論，而是去絕對(duì)值時(shí)必須對(duì)末知數(shù)進(jìn)行討論，得到兩個(gè)不等式組，最后對(duì)兩個(gè)不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。解：當(dāng)axa ax-a時(shí)，不等式可轉(zhuǎn)化為2即 22l9x(x- a)蘭 2a i9x - 9ax- 2a 蘭 03+ Vl7a乞xabx £ ax £ a當(dāng)a時(shí)不等式可化為2即 22iax(a -x)蘭 2ai9x - 9ax+2a 0a十2ax 或 x a33故不等式的解集為Cl空,3 a3. 36 一。2.

12、關(guān)于x的不等式| kx - 1| < 5的解集為 x| 3< x < 2，求k的值。按絕對(duì)值定義直接去掉絕對(duì)值符號(hào)后，由于k值的不確定，要以k的不同取值分類(lèi)處理。解：原不等式可化為4w kx W 646當(dāng)k >0時(shí)，進(jìn)一步化為 x ，依題意有kkk二 2k =3，此時(shí)無(wú)解k = 3當(dāng)k=o時(shí)，顯然不滿(mǎn)足題意當(dāng)k<o時(shí)，丄2廠(chǎng)X 一匚，依題意有 6k 2kk3Ik綜上，k =-2。第4變含參絕對(duì)值不等式有解、解集為空與恒成立問(wèn)題變題4若不等式I x 4|+|3 - X|V a的解集為空集， 求a的取值范圍。思路此不等式左邊含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，可考慮采用零點(diǎn)分段法，即

13、令每一項(xiàng)都等于o,得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間討論絕對(duì)值不等式，最后應(yīng)求出解集 的并集，這是按常規(guī)去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法求解，運(yùn)算量較 大。若仔細(xì)觀(guān)察不等式左邊的結(jié)構(gòu)，利用絕對(duì)值的幾何意義 用數(shù)形結(jié)合方法或聯(lián)想到絕對(duì)值不等式| a + b | < I a|+| b|，便把問(wèn)題簡(jiǎn)化。解題解法一（1）當(dāng)a < o時(shí)，不等式的解集是空集。當(dāng)a >o時(shí)，先求不等式| x4|+|3 x |< a有解時(shí)a的取值范圍令 X 4=0 得 X =4,令 3 X =0 得 X =3當(dāng)X4時(shí)，原不等式化為 X 4+ X 3<a ,即2 X 7<ag47 + a解不等式組：

14、2x-7<a八*，二a>1當(dāng)3vx<4時(shí)，原不等式化為4 X + x 3< a 得 a >1當(dāng)X < 3時(shí)，原不等式化為4 X +3 X < a 即 7 2X<a解不等式37 - 2x aa>i綜合可知，當(dāng)a >1時(shí)，原不等式有解，從而當(dāng)0<a < 1時(shí)，原不等式解集為空集。由知所求a取值范圍是a < 1解法二由| X 4|+|3 X|的最小值為1得當(dāng)a>1時(shí)，| x4|+|3 X|v a有解從而當(dāng)a < 1時(shí)，原不等式解集為空集。解法三： a>| X 4|+|3 x| > | X 4+3 x

15、|=1當(dāng) a>1 時(shí)，| x 4|+|3 x|< a有解從而當(dāng)a < 1時(shí)，原不等式解集為空集。標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用請(qǐng)你試試441. 對(duì)任意實(shí)數(shù)X，若不等式| X+1| - | X 2|> k恒成立， 求k的取值范圍。思維點(diǎn)撥：要使| X+1| | X 2|> k對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成 立，只要I X+1| | X 2|的最小值大于k。因I X+1|的幾 何意義為數(shù)軸上點(diǎn) X到1的距離，|X 2|的幾何意義為 數(shù)軸上點(diǎn)X到2的距離，| X+1| | X 2|的幾何意義為數(shù) 軸上點(diǎn)X到一1與2的距離的差，其最小值可求。此題也可把不等式的左邊用零點(diǎn)分段的方法改寫(xiě)成分段函數(shù)，通過(guò)畫(huà)出圖象

16、，觀(guān)察k的取值范圍。解法一 根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義， 設(shè)數(shù)X , 1,2在數(shù)軸 上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為 P、A、B,則原不等式即求|PA| |PB|> k 成立 |AB|=3，即 | X+1| | X 2| > 3故當(dāng)k< 3時(shí)，原不等式恒成立-3, -1標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用故k <3滿(mǎn)足題意2. 對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式|x+1|+|x-2|>a 恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。分析：經(jīng)過(guò)分析轉(zhuǎn)化，實(shí)質(zhì)上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a應(yīng)比最小值小。解：由絕對(duì)值不等式：|x+1|+|x-2|_|(x+1)-(x-2)|=3:當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)(x-2)<0,即-V X乞2時(shí)

17、取等號(hào)。故a<3說(shuō)明：轉(zhuǎn)化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立問(wèn)題、定義域?yàn)镽等問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為求最大、最小值問(wèn)題。(在 這些問(wèn)題里我們要給自己提問(wèn)題，怎樣把一般性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到某個(gè)特殊的值的問(wèn)題，常問(wèn)的問(wèn)題是：要使，只3 .已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|va在實(shí)數(shù)集 R上的解集不是空集，求a的取值范圍分析(一)|x-4|+|x-3|-|x-4 (x-3)|=1當(dāng)|x-4|+|x-3|va 在實(shí)數(shù)R上非空時(shí)，a須大 于|x-4|+|x-3| 的最小值，即a>1（二）如圖，實(shí)數(shù)x、3、4在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 P、A、B則有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB

18、| PA|+|PB| _1恒有 y_1數(shù)按題意只須a>1A BPllllll034x（四）考慮|z-4|+|z-3|va（z c）的幾何意義（五）可利用零點(diǎn)分段法討論.以上三種情況中任一個(gè)均可滿(mǎn)足題目要求，故求它們的并集，即仍為a>1.變題：文案大全1、若不等式 |x-4|+|x-3|>aa的取值范圍2、若不等式 |x-4|-|x-3|<aa的取值范圍3、若不等式 |x-4|-|x-3|>a范圍對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，求的解集在R上不是空集，求在R上恒成立，求a的取值絕對(duì)值三角不等式問(wèn)題變 題 5:已 知 函 數(shù)2f (x)二 ax bx c (a,b,c R)，當(dāng)

19、 x i,i時(shí)I f (x)卩1，求證：lb|;2若 g(x)二 bx ax c(a,b,c R)，則當(dāng) x -1,1時(shí)，求證： |g(x)F 2。思路本題中所給條件并不足以確定參數(shù)a,b , c的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是b或g(x)的確定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用 f -1 、f (0)、 f 1來(lái)表示a, b , c。因?yàn)橛梢阎獥l件得|f(-1)F1，| f(0)F 1, |f(1)F 1。解 題 證 明： (1) 由1f 1 二 a b c, f -1 匚 a b c= b f1 f - 1 2，從而有11|b|f(1)- f(-1)(|f(1)| I

20、 fC 1)|)】| f(1)F 1,1 f(-1)|221|bF 列 f (1)| | fd)|P 1.由1f 1 二 a b c, f T 二 a b c= b f 1 - f - 1 ,1從而 a 石f 1 f -1k f(0)將以上三式代入2g(x)二 bx ax c(a,b,c R)，并整理得2 ii|g(x)|=|f(0)(x2-1)2 f(1)(x 1) 2f(")(j x)|211-|f(0)(x2)|2lf(1)(x"I2lf1)x)l211= |f(0)|x2-1|f(1 )| x1|?|f(-1)|1-x|2 1 1 2 1 1 |x2-1| x 1|

21、1-x|=1-x2 (x 1)(1-x)=2-乞2請(qǐng)你試試4 51 .已知函數(shù) f(x)=1x2 , a,bR,且a - b，求證|f(a)-f(b)|v|a-b|分析：要證| T a2b2 |a - b|，考察左邊，明| 1 a2|a b| |a - b| |a| |b|a _ b|= |a _ b|a| |b|a| |b|是否能產(chǎn)生|a-b|證|f(a)-f(b)|=（其中 -1 a a2 =|a|，同理、1 b2|b|,1 1< Ha2b2|a| |b|）咼中不等式習(xí)題精選精解一、求取值范圍2、已知a b c，且a b c=O，求c/a的取值范圍。解：由已知條件，顯然 a 0, 0

22、b e, a 2c a b c 二 0, a 0, c/ a -1/ 2a b, 2a c a b c = 0, c - 2a, a 0, c/ a - 2綜上所述c/a的取值范圍是-2,-1/23、正數(shù)x, y滿(mǎn)足X' 2y = 1，求1/x 1/y的最小值。解：1/x 1/y 1*(1/x 1/y)二(x 2y)(1/x 1/y)二 1 x/y 2y/x 2- 3 2、(x/y)(2y/x) = 3 22 ( x, y 為正數(shù))25、已知函數(shù)f (x)二ax bx(a 0)滿(mǎn)足 仁f (-1)乞2 , 2空f(shuō)(1戶(hù)5，求f (-3)的取值范圍。解：由習(xí)已知得：仁a - b遼2,2豈

23、a b 5設(shè)：n = 9 (-3) = 9a - 3b 二 m(a b) n(a - b)二二im- n= -3f C3p 6* f C 1) 3* f (1),12 豈 f C 3尸 27所以f (-3)的取值范圍是12,27】&若關(guān)于x的方程4x a 2x a V 0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。x解一：設(shè) t = 2x，： 2t2 at a V 0在0, *上有解。共有兩種情況，一種是有兩個(gè)根，一種是只 有一個(gè)根(如圖所示)，由二次函數(shù)的圖像和2性質(zhì)，得方程t + at + a + 1 = 0在(0廣)上 有實(shí)數(shù)解的充要條件為：= a2 - 4(a+ 1p 02f(0) =-4(

24、a 1)0a仁0f (0p a 10注：兩組不等式分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)圖解得12 2V2或1,即2 2弋2所以a的取值范圍是- ：2 - 2 21+12解二：由方程 t2 at a 1 = 0得 a - 1 t (t 0)1+12函數(shù)f (t)1 t (t 0)的值域就是a的取值范標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用1 t21 t- (t2 -1) - 21 t2FT(t1)-21乞 -(2、2 -2) = 2 - 2、2所以a的取值范圍是： ,2 -2豆、解不等式1、(x- 2)Px2 - 2x3 - 0解：不等式f(x) J麗- 0與f(x) - 0g(x) 0 或 g(x)文案大全同解，也可以這樣理解:符號(hào)“一 ”是由符號(hào)

25、“ >”“=”合成的，故不等式f(x) Jg(x)-0 可轉(zhuǎn)化為 f(x)飛 g(x) 0 或f (x) g(x) = 0。解得：原不等式的解集為'x|x- 3或x二X2 3x 22、X2 2x 3(x2 - 3x 2)(x2 - 2x - 3廠(chǎng) 0x2 - 2x - 3 = 0用根軸法(零點(diǎn)分(X -1)(X- 2)(X- 3)(x1) = 0(x- 3)(x 1p 0段法)畫(huà)圖如下:原不等式的解集為xp V x 1或2豈3。3、 x2 1 ax T,(a0)解：原式等價(jià)于 V x2 T豈1 axv x211,1 ax - 1，即 ax 一 0 注：此為關(guān)鍵a 0/ x 0 原

26、不等式等價(jià)于不等式組x2 V (1 ax)2x 0解得：1時(shí)，原不等式解集為2a1 - a2'當(dāng)a a 1時(shí)，原不等式解集為x| 04、（x- 2）（ax- 2）0解：當(dāng)a= 0時(shí)，原不等式化為x - 2 “ 0，得x 2 ；2當(dāng)a “ 0時(shí)，原不等式化為（x- 2）（x-0，得a2cx 2.a；2當(dāng)0舟a舟1時(shí)，原不等式化為（x- 2）（-）0，得a2x 2或 x .a ；2當(dāng)a = 1時(shí)，原不等式化為（x2）0，得X 2 ；當(dāng)a 1時(shí)，原不等式化為（x2）（xa）0，得x 或 x 2a綜合上面各式，得原不等式的解集為:5、關(guān)于X的不等式ax - b 0的解集為1,求ax b 門(mén)x

27、20的解集。x 2解:由題意得：a 0，且a - bax+b °：(ax+b)(x-2)> 0則不等式X _ 20與不等式組X _ 2 = 0同解得所求解集為'X | - 1或 x 26、已知a 0且a 1，關(guān)于X的不等式ax 1的解集解：1是 XX0，解關(guān)于X的不等式loga(x_0zv的解集。丁關(guān)于X的不等式ax > 1的解集是X X > 0，loga(x - )0 =xx0xx- .1x52或x原不等式的解集是(“T)u(i,o三、證明題a"12、設(shè) a b0, n為偶數(shù)，證明bnn -1n -bauL.-111 _n-(a -nn-1n-1

28、、b )(a- b )證： 十nnabab(ab)n當(dāng)a0,b0時(shí)(ab)nn0, (a -bn)(an-15n(a-bn)(an -1-bn1)(ab)n_0，故n -1n -1b a i i+ 十nna b a b ;當(dāng)a,b有一個(gè)負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)a 0,b ” 0 ,且a b 0,即 a |b| . n 為偶數(shù)時(shí)，(an - bn )(an1 - bnJ - 0 ,且(ab)n 0(an- bn)(a"- bn)(ab)n一 0，故bn1n1丄丄a 11+ -L + _La b a b .綜合可知，原不等式成立注：必須要考慮到已知條件a b 0，分類(lèi)討論，n n n-1n-1否則

29、不能直接得出(ab )(a b ) - 03、求證：'a2 16 /(a- 4)2 36 一 2 2944證：設(shè)向量 p 二(a,4), q = (4 - a,6),由T44 4I Pl |q| I p q|,得<a2 16/(a- 4)236 =|；|；|-| p q|= |(a,4)(4 a,6)|(4,10)丁16 100 二 2、29注意：當(dāng)p II q時(shí)，即a8 , p = (- 8,4), q=(-12,6) , p、q方向相同，取等號(hào)。當(dāng)利 用公式|p|jq|p-q|證 明時(shí)，會(huì)得：22 16,(a-4)2 36 p| |q | p - q |= | (a,4) -

30、 (a - 4,6) |= | (4, - 2) |= 716 4= 2 5的錯(cuò)誤結(jié)論，因?yàn)檫@里取等號(hào)的條件是p II q，且p、q方向相反，根據(jù)題設(shè)條件，4 *p ii q時(shí)，方向相同，故取不到等號(hào)，計(jì)算的結(jié)果也使不等式范圍縮小了。4、求證:11+ 22321+ 2n(n- 2)證一：n(n”n-1n( n 2)1 1 1 11 (1丄)(丄-丄) 丄一亠2-丄2 k23nT n n原不等式成立，證畢證二：當(dāng)n = 2時(shí)，原不等式為:1 o 1222，顯然成立;假設(shè)當(dāng)n取k -i時(shí)原不等式成立，即丄3212 ：(k-1)21成立，則1221321 1+(k-1)2 k22-k-1k2 - k 1(k- 1)k2k(k-1)(k -1)k21(k - 1)k22(k”2k時(shí)原不等式也成立。綜上，對(duì)于任意n（n - 2）原不等式