分塊矩陣的三角分解與局部重新分解

1、分塊矩陣的三角分解與局部重新分解及其在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用一、 引 言眾所周知,矩陣的三角分解法是一種非常有效的手段,已廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)應(yīng)用程序,諸如：潮流（牛頓-拉夫遜法）、快速解藕潮流、狀態(tài)估計、安全分析、最優(yōu)潮流、暫態(tài)穩(wěn)定等。本文對分塊矩陣的三角分解與局部重新分解列出了幾種算法,作了論證和分析比較,并給出了在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用二、 分塊矩陣的分解方法方法1、 按行列逐一形成法對于非奇異n階方陣,可分割成分塊矩陣：式中,12,和22分別為n1階和n2階方陣, n1+ n2=n, 11又為非奇異陣,L1和U1分別為下三角陣和上三角陣。分塊矩陣的劃分由一組正整數(shù)n1, n2, , nq確定,且n1

2、+ n2+ + nq=n。將寫作（1）,并根據(jù)式（1）記：則又可將（1）分割成分塊矩陣：式中，和分別為n1階和n1- n2階方陣，為非奇異陣。再記 逐次作類似上述處理,矩陣便得（推導(dǎo)略）：式中,子矩陣都是n1階方陣,q=n/ n1是正整數(shù)。若n1, n2, nq不盡相等,也可作類似處理。若為對稱矩陣,則U=。若為關(guān)聯(lián)對稱矩陣,則U,但稀疏結(jié)構(gòu)相同。方法2、直接計算法將、L、D和U寫成展開形式,就不難證明可由下列諸式來表述式(5(如果,k=1,2 ,q都非奇異,因而可藉以直接計算。式中, k=1,2 ,q,分塊矩陣的劃分由一組正整數(shù)n1, n2, nq確定,且n1+ n2+ + nq=n。在電力

3、系統(tǒng)應(yīng)用程序中,矩陣是稀疏的,子矩陣、有很多是零陣,作LDU分解后所得的三角矩陣也有高度的稀疏性。在很多程序中, n1= n2= =nq=2。方法3、簡單局部重新分解法只重新分解矩陣元素變化了的子矩陣,如圖1的陰影部分。即從矩陣元素開始有變化的k值起用式（9）-（12）計算一遍。因此,要更新的子矩陣的大小以及重新分解的工作量取決于變化了的矩陣元素所處的位置,如接近矩陣頂部,則重新分解的工作量節(jié)約甚微以至沒有。方法4、特殊排序的簡單局部重新分解法通過特殊排序,將變化了的矩陣元素集中到矩陣右下部,從而可減少重新分解的工作量。但有可能嚴(yán)重地降低了矩陣的稀疏性,從而又增加計算量。方法5、 重新分解有關(guān)

4、行列圖2示電力系統(tǒng)牛頓一拉夫遜法潮流計算的有關(guān)情況。圖2a為單線結(jié)線圖。圖2b為導(dǎo)納矩陣結(jié)構(gòu),其中黑點表示非零元素。圖2c為下三角矩陣結(jié)構(gòu),其中黑點表示與圖2b對應(yīng)的非零元素,圓圈表示三角分解時產(chǎn)生的非零“注入”元素。由電力系統(tǒng)理論可知,雅可比矩陣的稀疏性與系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣是一樣的,雅可比矩陣常以2階方陣作為子矩陣（元素）以構(gòu)成分塊矩陣。由式（9）可見,k=7,i=5,雖然=0，但0，因而0。設(shè)矩陣已作LDU分解,現(xiàn)在、變化了(設(shè)電力系統(tǒng)節(jié)點3與5之間有雙回線,一回斷開,則:按方法3,重新分解第3一8行列;按方法4,將節(jié)點號 3、5改成大的節(jié)點號(例如7、8,然后重新分解;按本法(方法5,只需重新

5、分解第3和第5一8行列.因為根據(jù)式（9）-(11可知,隨著和的改變, 、將相應(yīng)變化。重新分解的行列號可由補路徑圖（圖3）得到。圖2 8節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)（a） 實際系統(tǒng)圖；（b）導(dǎo)納矩陣結(jié)構(gòu)； （c）下三角矩陣結(jié)圖3 8節(jié)點網(wǎng)絡(luò)的路徑圖三、 在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用舉例1、 牛頓一拉夫遜法潮流計算潮流計算是應(yīng)用極其廣泛的,它是在向量F和雅可比矩陣J已知的情況下,用三角分解法求解下列方程中的向量X。如果J只有部分以至少量子塊發(fā)生變化,則可作局部重新分解。本文建議,對#節(jié)點和#3節(jié)點各考慮兩個方程,它們的雅可比矩陣的子塊分別為: 式中，i、j是 節(jié)點號；P、Q分別為有功功率和無功功率；e、f分別是電壓的實部和虛部；V是電壓的模。這樣,在節(jié)點類別變換時不致發(fā)生的結(jié)構(gòu)性變更。2、 穩(wěn)態(tài)狀態(tài)估計加權(quán)最小二乘法穩(wěn)態(tài)狀態(tài)估計的基本關(guān)系式：信息陣和向量B已知,求向量X。A劃分為22階的子矩陣：式中,i、j、e、f的含義與式（44）中相同,Zk為第k個量測,m為測量總數(shù)。為Zk的方差。也可應(yīng)用分塊矩陣的三角分解或局部重新分解。四、 結(jié)論很多問題應(yīng)用分塊矩陣的思想