多元函數(shù)復(fù)合求導(dǎo)和隱函數(shù)ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù)一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則xuuyxydddddd內(nèi)容內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法則微分法則機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 )(),(ttfz一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理定理. 若函數(shù)若函數(shù),)(, )(可導(dǎo)在點(diǎn)ttvtu),(vufz 處偏導(dǎo)連續(xù)處偏導(dǎo)連續(xù), ),(vu在點(diǎn)在點(diǎn)在點(diǎn) t 可導(dǎo)可導(dǎo), tvvztuuz

2、tzddddddz則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t且有鏈?zhǔn)椒▌tvutt機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 ( 全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式 )推廣推廣:1) 中間變量多于兩個(gè)的情形中間變量多于兩個(gè)的情形. 例如例如, ),(wvufz 設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .tzdd321fff2) 中間變量是多元函數(shù)的情形中間變量是多元函數(shù)的情形.例如例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下

3、頁 返回返回 完畢完畢 )(, )(, )(twtvtu又如又如,),(, ),(yxvvxfz當(dāng)它們都具有可微條件時(shí)當(dāng)它們都具有可微條件時(shí), 有有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里這里xzxfxz表示固定表示固定 y 對(duì)對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo),xf表示固定表示固定 v 對(duì)對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)口訣口訣 : 分段用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 單路全導(dǎo)單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)叉路偏導(dǎo)xfxvvfyvvf與與不同不同,v機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 例例1. 設(shè)設(shè),sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxye

4、yxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 例例2.2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例3. 設(shè)設(shè) ,sintvuz.ddtzz

5、tvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù),teu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到, 下列例題有助于掌握下列例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào)這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).為簡便起見為簡便起見 , 引入記號(hào)引入記號(hào),2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 設(shè)設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

6、),(zyxzyxfw求求.,2zxwxw解解: 令令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy那那么么zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論可見無論 u , v 是自變量還是中間變量是自

7、變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微都可微, , 其全微分表達(dá)其全微分表達(dá) 形式都一樣形式都一樣, 這性質(zhì)叫做全微分形式不變性這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 6. 利用全微分形式不變性再解例利用全微分形式不變性再解例1. 解解: :) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()s

8、in(yxyxxeyzyx所以所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 ,)(.02zyxezed解,)(02zdezdyxdezyxzdexdyydxezyx)()(2ydeexxdeeyzdzyxzyx)()(22,2zyxeeyxz.2zyxeexyz.,02.7yzxzezezyx和求已知例機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 二、方程組

9、所確定的隱函數(shù)組二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 y )(, 01sinxyyyxeyxyycos兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)xey0 yxxyeyx cos回憶回憶 利用隱函數(shù)求導(dǎo)利用隱函數(shù)求導(dǎo)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)數(shù)0)(,(xfxF兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設(shè)yxFxfy在在),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)那么那么機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 0),(.

10、1 yxF若若F( x , y ) F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)連續(xù), ,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) :)(yxFFxxyxxydd則還有則還有機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 例例1. 方程方程01sinyxeyx0dd,0dd22xxyxxy解解: 令令, 1sin),(yxeyyxFx, yeFxx那么那么xyFy cos求求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy

11、)cos(ddxyyexx1, 0, 0yyx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy0),(,(yxfyxF兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)xFzxFFxzzyFFyz同樣可得同樣可得,0),(),(所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)是是方方程程設(shè)設(shè) zyxFyxfz那那么么zFxz00),(000zFzyx的某鄰域內(nèi)在0),(. 2 zyxF解法解法1 利用公式利用公式設(shè)設(shè)zzyxzyxF4),(222那那么么,2xFxzxFFxz兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zF

12、z機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 例例2. 設(shè)設(shè),04222zzyx.22xz求解法解法2 利用隱函數(shù)求導(dǎo)利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 再對(duì)再對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)例例2. 設(shè)設(shè),04222zzyx.22xz求機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 例例2. 設(shè)設(shè),04222zzyx.22xz求解法解法3. 3. 利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù)利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù). .

13、,0)4(222 zzyxd,04222 dzdzdydx,04222 dzzdzydyxdx,22dyzydxzxdz ,dyyzdxxzdz zxxz 2思路：思路：把把z看看成成yx,的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)x求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得xz ，把把x看看成成yz,的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)y求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得yx ，把把y看看成成zx,的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)z求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 那那么么),(vufz 把把z看看成成yx,的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)x求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff ),(vufz 整理得

14、整理得,vuvuyzffxzff yx )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 把把x看看成成yz,的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)y求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 解法解法2.2.利用公式利用公式第六節(jié)第六節(jié) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 ),(vufz 設(shè)設(shè)zxyzzyxfzyxF ),(),(那那么么,vuxyzffF 1 vuzxyffFzxFFxz ,1vuvuxyffyzff ),(zyxzyxfz 解法解法3. 3. 利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù)利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù). .,

15、yx zd1f zyxddd 2f zyxyzxxzyddd :dx解解出出 d x21fzyf zfyxfd121 yfzxfd21 .zx 第六節(jié)第六節(jié) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 由由d y, d z 的系數(shù)即可得的系數(shù)即可得),(vufz 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的線性方程組這是關(guān)于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隱函數(shù)組有隱函數(shù)組那那么么兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得,),(),(yxvvyxuu設(shè)方程組設(shè)方程組xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0公式公式 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返

16、回返回 完畢完畢 二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形. 0),(0),(vuyxGvuyxF ),(),(yxvvyxuu由由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ ),(),(稱為稱為F、G 的雅可比的雅可比( Jacobi )行列式行列式.雅可比雅可比 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 ),(),(1vxGFJxu ),(),(1vyGFJyu ),(),(1xuGFJxv ),(),(1yuGFJyv vvvuvuGFGGFF

17、1 vvvuvuGFGGFF1 uuvuvuGFGGFF1 uuvuvuGFGGFF1 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 xxGFyyGFxxGFyyGF222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 二元線性代數(shù)方程組解的公式例例4. 設(shè)設(shè), 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xu 22yxvxuyyu方程組兩邊對(duì)方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求求0 vxvxxuy22yxvyuxxv 22yxuyvx練習(xí)練習(xí): 求求yvyu,0 xvyxuxu22yxvyuxyv機(jī)動(dòng)機(jī)

18、動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 答案答案:故有故有內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 單路全導(dǎo)單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)叉路偏導(dǎo)”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不變性全微分形式不變性, ),(vufz 對(duì)不論不論 u , v 是自變量還是因變量是自變量還是因變量,vvufuvufzvud),(d),(d機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 3、 隱函數(shù)隱函數(shù) ( 組組) 求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法方法方法1. 利用復(fù)合函

19、數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算 ;方法方法2. 代公式代公式;方法方法3. 利用微分形式不變性利用微分形式不變性 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 思考題思考題,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 知知求求.),(22xyyxf解解: 由由1),(2xxf兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 ,.223Cfxyyxfxz 設(shè)設(shè).,yxzyzyz222求求.解解xfxfxyz1213 ,2214fxfxxfx

20、fxxfxfx112221212114 ,221231152fxfxfx yyz222214fxfxyxz2xyz22214fxfxx,2214fxfxyz,23Cfxyyxfxz 212114134xyfyfxfx 22221222xyfyfxfx.2211421324fyfyxfxfx )()(xzzxyy及,2 yxeyx.ddxu求分別由下列兩式確定分別由下列兩式確定 :又函數(shù)又函數(shù)),(zyxfu 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,3. 設(shè)設(shè)解解: 兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì)兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0

21、)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2019考研考研)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 解得解得因而因而 zxFyFy0zFz fx)1 (y4. 設(shè)設(shè))(, )(xzzxyy 是由方程是由方程)(yxfxz 和和0),( zyxF所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) , 求求.ddxz解法解法1 分別在各方程兩端對(duì)分別在各方程兩端對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(9

22、9考研考研)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 解法2 微分法.0),(),(zyxFyxfxz對(duì)各方程兩邊分別求微分對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡得化簡得消去消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 可得可得一、填空題一、填空題: : 1 1、設(shè)、設(shè)xyyxzcoscos , ,則則 xz_； yz_. .2 2、 設(shè)設(shè)22)23ln(yyxxz , ,則則 xz_； yz_._. 3 3、設(shè)、設(shè)32sinttez , ,則則 dtdz_._.二二、設(shè)設(shè)uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzx