線性代數(shù)與解析幾何：2向量空間和線性相關(guān)性

1、第四章第四章 線性方程組線性方程組第二節(jié)第二節(jié) n維向量空間維向量空間第三節(jié)第三節(jié) 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性1本次課主要包含以下內(nèi)容1.1.n維向量的概念維向量的概念2.2.向量的線性表示向量的線性表示3.3.向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)向量的線性相關(guān)與線性無關(guān) （定義，性質(zhì)和判斷）（定義，性質(zhì)和判斷）4.4.極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組n維向量維向量1 n矩陣1 n矩陣列向量列向量行向量行向量21. n1. n維向量空間概念維向量空間概念n維實向量空間1212 ,TnnnRa aaa aa為實數(shù)n維復(fù)向量空間12n12n ,z,zTnCz zz z為復(fù)數(shù)例：平面是二維向量空間，立體空

2、間中的向量是三維向量例：平面是二維向量空間，立體空間中的向量是三維向量1212,TTnna aab bb向量和相等對應(yīng)分量都相等1iiabin 222,Tnnab abab和的 120,0,0,負(fù)負(fù)零零TTnaaa向量稱為的向向量量- -1 12nkkkakaka 向向量量 與與數(shù)數(shù) 的的：， ，數(shù)數(shù)乘乘。3 1 ; 2:; 30; 40; 5 1; 6; 7 k lklkkk 加法交換律:加法結(jié)合律 向向量量加加法法和和向向量量與與數(shù)數(shù)的的數(shù)數(shù)乘乘運運算算規(guī)規(guī)律律 : : 8klkl41212,mmnk kk 設(shè)都是 維向量，若存在數(shù)使得, , 1122 mmkkk121212,mmmk k

3、k 則稱可由或稱是的其線性中表示數(shù)也稱線為組合系數(shù)。性組合52. 向量的線性表示向量的線性表示例如：例如：Rn 中的任一個n維向量 = ( x1, x2 , , xn )T都是單位向量組的一個線性組合。 = x11 + x22 + + xnn基本單位向量基本單位向量1 = ( 1, 0, , 0)T, 2 = ( 0, 1, , 0)T, , n = ( 0, 0, , 1)T為n維單位向量組。6向向量量線線性性表表示示與與線線性性方方程程組組的的關(guān)關(guān)系系1111211122122211211222221122n1nm , mmmmnnnmmnmna xa xaxba xa xaxba xax

4、aaaaabaax 給給定定具具有有個個變變量量的的 個個線線性性方方程程組組成成的的方方程程組組12122nnm, mmababba 1m7線性方程組向量方程形式112 mmxxx212,m 可由線性表示11 11221121 1222221 122 mmmmnnnmmna xa xa xba xa xaxba xa xaxb向向量量線線性性表表示示與與線線性性方方程程組組的的關(guān)關(guān)系系8方程組有解 12m向量可由向量線性表示, , ,rank, rank,mm 1212, , , , , , , , ,9向向量量線線性性表表示示與與線線性性方方程程組組的的關(guān)關(guān)系系112 mmxxx方程組有解

5、2定義：向量組間的線性表示定義：向量組間的線性表示1 2:(, , ):tisABAitB 若若向向量量組組中中每每個個向向量量都都可可經(jīng)經(jīng)向向量量組組線線性性表表示示，則則稱稱向向量量組組 可可以以經(jīng)經(jīng)向向量量組組 線線性性表表出出。1212,10ABBA如如果果向向量量組組 可可以以經(jīng)經(jīng)向向量量組組 線線性性表表出出，向向量量組組 也也可可以以經(jīng)經(jīng)向向量量組組 線線性性表表出出，則則這這兩兩個個向向量量稱稱組組等等價價。(1)(2)(3)易驗證，向量組的等價滿足：反身性對稱性傳遞性3. 向量組的向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)線性相關(guān)與線性無關(guān)1212:0, 0 mmmnAk kkkkkA 12

6、m12維向量組如果存在一組不全為 的數(shù) 稱向量組,線線性性相相關(guān)關(guān)12120 0mmmkkkkkkA12若當(dāng)且僅當(dāng)時成立，則。稱向量組線線性性無無關(guān)關(guān)11練習(xí)練習(xí)1： 考察考察 n 維向量組維向量組 解：解：解： 設(shè)有一組數(shù) 1， 2， ， n。使得 11 + 22 + + nn = 0即即：( 1, 0, , 0 ) + ( 0, 2, , 0 ) + + ( 0, 0, , n )= ( 1， 2， ， n ) = 0 1= 2 = = n = 0故故 1，2， ，n 線性無關(guān)線性無關(guān)。1 = ( 1, 0, , 0), 2 = ( 0, 1, , 0), , n = ( 0, 0, ,

7、1)的線性相關(guān)性。12練習(xí)練習(xí)2: 討論向量組討論向量組 1= ( 1, 1, 1), 2= ( 2, 0, 2), 3= ( 2, 1, 0)的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性。 解：設(shè)有一組數(shù)1, 2，3 , 使1 1 + 2 2 + 3 3 = 0即 ( 1+ 22 + 23 , 13 , 122 ) = (0, 0, 0)1+ 22 + 23 = 01 3 = 0122 = 013解得：3 = 11221取 1= 2 , 得非零解 1= 2， 2 = 1, 3 = 2所以，向量組 1, 2 , 3 線性相關(guān)。向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)與與方方程程組組的的關(guān)關(guān)系系1111221211221112

8、2121122222n1nm00 , 0mmmmnnnmmamna xa xaxa xa xaxa xaaaaaaxax 給給定定具具有有個個變變量量的的 個個線線性性方方程程組組成成的的方方程程組組1212nm, mmmaaa 14線性方程組向量方程形式112 0mmxxx211 1122121 122221 12200 0mmmmnnnmma xa xa xa xa xaxa xa xax15方程組只有零解向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)與與方方程程組組的的關(guān)關(guān)系系12,m 線性無關(guān):A 12m向量組線性無關(guān), , ,rank,mm 12, , , ,16向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)與與方方程

9、程組組的的關(guān)關(guān)系系121 0mmxxx 方方程程組組只只有有零零解解2即一組線性無關(guān)的向量排列成的矩陣的秩恰好就是向量的個數(shù)即一組線性無關(guān)的向量排列成的矩陣的秩恰好就是向量的個數(shù)1定定理理 ：至至少少有有一一個個向向量量可可由由其其他他向向量量線線性性表表示示向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)17基本基本定理定理12,證證明明：向向量量線線性性相相關(guān)關(guān)，則則m 121122,0mmmk kkkkk存在不全為零的數(shù)使1所以向向量量可可用用其其他他向向量量線線性性表表示示122 mmcc，反之若12210mmcc12,m 線線性性相相關(guān)關(guān)3211231110m不不妨妨設(shè)設(shè)，則則有有 mkkkkkkk所以

10、所以12,m 向量線性相關(guān)，則121122,0mmmk kkkkk存在不全為零的數(shù)使1向向量量可可用用其其他他向向量量線線性性表表示示122 mmcc反之，若12210mmcc12,m 線線性性相相關(guān)關(guān)m1313212110kkkkkkkm，則有不妨設(shè)18所以所以1212,mkkm 向量組，中部分向量，線性證明：相關(guān)，則121122,0kkkc ccccc存在不全為零的，使1212 ,0,0 ,向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)kmc cc 不全為零于是192定定理理 部部分分向向量量線線性性向向量量組組線線性性向向量量組組線線性性任任意意部部分分向向相相關(guān)關(guān)相相關(guān)關(guān)無無關(guān)關(guān)量量線線性性無無關(guān)關(guān)00

11、012211 mkkkccc 從而203 nn+1定定理理如如果果 維維向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)，那那么么在在每每一一個個向向量量上上添添加加一一個個分分量量得得到到的的維維向向量量組組也也線線性性無無關(guān)關(guān)。練習(xí)練習(xí)3：向量組 :已知321,133322211,.,:321線性無關(guān)試證證明: 用定義，設(shè)0332211kkk0)()()(133322211kkk0)()()(323212131kkkkkk,321線性無關(guān)21線性無關(guān)000322131kkkkkk10111020011而 ，故只有零解：0321kkk.,321線性無關(guān)所以：224. 極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組定義：設(shè)定義：設(shè) A1 是向量組是向量組 A 的一個部分向量組，的一個部分向量組，如果如果 A1 線性無關(guān)，但將線性無關(guān)，但將 A 中其他向量中其他向量(若有若有)添加進(jìn)添加進(jìn) A1 后所得的部分向量組線性相關(guān)，后所得的部分向量組線性相關(guān)，則稱