點集拓撲學練習題參考答案

1、百度文庫點集拓撲學練習題（第6章）一、單項選擇題/1、設X是一個拓撲空間，若對于x,yX,xy,均有囪y,則*是（）To空間Ti空間丁2空間以上都不對工2、設X1,2,TX,1,則郃,?。┦牵ǎ㏕o空間Ti空間T2空間以上都不對答案：3、設X1,2,3,TX,1,則儀,?。┦牵ǎ㏕o空間T1空間丁2空間以上都不對答案：4、設X1,2,3,TX,2,3,則郃,?。┦牵ǎ㏕o空間T1空間丁2空間以上都不對答案：5、設X是一個拓撲空間，若X的每一個單點集都是閉集，則*是（）正則空間正規(guī)空間下空間T4空間/、答案：/6、設X是一個拓撲空間，若X的每一個有限子集都是閉集，則X是（）正則空間正規(guī)空間工空間

2、T4空間/答案：7、設X是一個拓撲空間，若對xX及x的每一個開鄰域U,都存在x的一個開鄰域V,使得VU,則*是（八/正則空間正規(guī)空間下空間T4空間答案：8、設X是一個拓撲空間，若對X的任何一個閉集A及A的每一個開鄰域U,都存在A的一個開鄰域V,使得VU,則*是（）正則空間正規(guī)空間Ti空間T4空間/答案：9、設X1,2,3,TX,1,2,3,則（X,T）是（）To空間Ti空間丁2空間正規(guī)空間10、設X1,2,3,TX,3,1,2,則b,丁）是（）To空間工空間丁2空間正則空間答案：11 .設（X.,T）是度量空間，則（X.,T）不必是：（）（A）A空間（B）正規(guī)空間（C）緊致空間（D）T2空間答

3、案：C12 .下列拓撲學的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（D）（A）工公理（B）T2公理（C）T3公理（D）T4公理二、填空題1 .T1空間不一定是有限補空間,有限補空間一罡T1空間。（填”是“或“不是“或“不一定是"）。2 .正規(guī)空間的每一個'%閉子空間也是正規(guī)空間.可分空間的每一個開子空間也是可分空間.三.判斷題1、設X1,2,3,TX,1,2,1,2,則（X,T）是T3空間.（）理由：因為2,3是X的一個閉集，對于點1和2,3沒有各自的開鄰域互不相交，所以X不是正則空間，從而不是T3空間.注：也可以說明X不是工空間.2、設X1,2,3,X,1,3,1,3,則（X,T）是T4

4、空間.（）答案：x理由：因為對于點1和點2,2沒有開鄰域不包含1,從而X不是T1空間.故/（X,T）是T4空間.注：也可以考慮點2和點3.3、丁3空間一定是丁2空間.（）答案：V理由：因為丁3空間是正則的Ti空間，所以對于丁3空間X中的任意不同的兩點X,yX,y是X中的閉集，由于X是正則空間，從而對于x,y它們有各自的開鄰域U,V使得UV,所以X是T2空間.4 .具有可數(shù)基的正則空間是正規(guī)空間。（V）5 .在A2且T3的拓撲空間中，緊致子集是有界閉集。（V）6 .在T0空間中，A的凝聚點的任一鄰域中含有A的無限多個點。（X）四.簡答題（每題4分）/1、設X是一個工空間，試說明X的每一個單點集是

5、閉集./答案：對xX,由于X是Ti空間，從而對每一個yX,yx,點y有一個鄰域U使得xU,即Ux，故y囪，因此畫x,這說明單點集x是一個閉集.2、設X是一個拓撲空間，若X的每一個單點集都是閉集，試說明X是一個Ti空間.答案：對于任意x,yX,xy,x,y都是閉集，從而x和y分別是y和x3百度文庫的開鄰域，并且有Xx,yy.從而X是一個Ti空間.3、若X是一個正則空間，試說明:一對x、X及x的每一個開鄰域U,都存在x的一個開鄰域V,使得V/U.答案：對xX,設U是x的任何一個開鄰域，則U的補集U是一個不包含點x的一個閉集.由于X是一個正則空間，于是x和U分別有開鄰域V和W,使得VW，因此VW,所

6、以VWWU；4、若X是一個正規(guī)空間，試說明：又tX的任何一個閉集A及A的每一個開鄰域U,都存在A的一個開鄰域V,使得VU.答案：設A是X的任何一個閉集，若A是空集，則結論顯然成立.下設A不是空集，則對A的任何一個開鄰域U,則U的補集U是一個不包含點A的一個閉集.由于X是一個正規(guī)空間，于是A和U分別有開鄰域V和W,使得VW,因此VW,所以VWWU.5、試說明Ti空間X的任何一個子集的導集都是閉集.答案：設A是X的任何一個子集，若A是空集，則d(A),從而A的導集是閉集.下設A不是空集，則對x(d(A),則x有開鄰域U，使得(Ux)A，由于X是Ti空間，從而Ux是開集，故Ux(d(A),于是U(d

7、(A),所以(d(A)是它每一點的鄰域，故(d(A)是開集，因此d(A)是閉集./五、證明題1、設X是一個工空間，AX,xd(A),證明：x的每一個鄰域U中都含有A中的無限多個點.(即UA是無限集)證明：設xd(A),若x有一個開鄰域U含有A中的有限多個點，設BUAx,則B是一個有限集，從而B是一個閉集，故UB是一個開集且是x的一個開鄰域.又易知(UB)(Ax)，從而xd(A),矛盾.故U含有A中的無限多個點.2、設X是一個正則空間，A是X的閉子集，XA,證明：X和A分別有開鄰域U和v使得UV./證明：由于X是一個正則空間，從而x和A分別有開鄰域W和V使得WV，故VW,因此VW.4分又由正則空

8、間的性質(zhì)知：存在x的開鄰域U使得UW,從而/UV.8分3、證明：每一個正則且正規(guī)白空間都是完全正則的.證明：設X是一個既正則又正規(guī)的空間.設xX,B是X中的不含點x的閉集，從而B是x的一個開鄰域.再由X是正則的，故此存在x的一個開鄰域U使得UB.于是AU與B是兩個不相交的閉集.而X又是正規(guī)的，由Urysohn引理，故存在一個連續(xù)函數(shù)f：X0,1使得對任意所為aA,f(a)0,特別f(x)0和bB,f(b)1.這說明X是完全正則的12分4、設xj是T2空間X的一個收斂序列，證明：為的極限點唯一.證明：若極限點不唯一，不妨設limxiy1,limxy2，其中y1y2,由于X是T2空間，故0和y2各

9、自的開鄰域U,V,使得UV.因pmxiy1，故存在N10,使得當iN1時，xU;同理存在N20,使得當iN2時，xV.令NmaxN1,N2,則當iN時，xiUV,從而UV，矛盾，/故x的極限點唯一./5、X是T4空間，B為X的一個拓撲基，則對于每一個BB及xB,都有一個B1B使彳3xB1B.證明：X是T4空間，必為3的正規(guī)空間對任意xX,x為閉集.對于BB且xB,B就是x的一個開鄰域由于X為正規(guī)空間，必存在x的一個開鄰域U,使得UB.U也是x的開鄰域，一定存在一個BiB，使彳mxBiU,且有BiU,當然就有xBiB.6、設X是Hausdoff空間，f:XX是連續(xù)映射.證明AxX|f(x)x是X

10、的閉子集.證明：對于xA,則f(x)x,從而f(x),x有互不相交的開鄰域U和V,設-1Wf(U)V,則W是x的開鄰域，并且xWA,故A是開集，從而A是閉集.7.設X和Y是兩個拓撲空間，并且Y是Hausdoff空間，如果f,g:XY是兩個連續(xù)映射.證明AxX|f(x)g(x)是X中的閉集.證明：AxX|f(x)g(x)是X中的閉集當且僅當XA是開集.xXA,則f(x)g(x).由于Y是Hausdoff空間，則f(x),g(x)在Y存在不相交的開鄰域U,V.再由的連續(xù)性，可知f7(U),g1(V)都是x的開鄰域，從而f1(U)。g1(V)也是x的開鄰域.但是(f1(U)p|g1、)卜，即(f1(

11、U)g1(V)/XA,因此XA是開集.8、設X為Hausdoff空間，f：XX是一個連續(xù)映射，且fff.證明：f(X)是X的閉集.證明：對xXf(X),則f(x)x,由于X是Hausdorff空間，存在x和f(x)的鄰域Ui，V,使得UiV/.又因為f連續(xù),故存在x的鄰域U2,使得f(U2)V,令UUiU2,則U是x的鄰域，且UXf(X).事實上，若存在zU使得zf(X)，即yX使得zf(y).于是f(z)fQf(y)f(y)z,而f(z)f(U)v,這樣，zUVUiV，矛盾.所以UXf(X)，即f(X)是閉集.9.設X是一個Ti空間，xX。證明：如果X中由異于x的點構成的一個序列為收斂于x,則序列x有一個由兩兩不同的點構成的一個子序列收斂于、x。證明：設Ax1,x2,由于xjAx,且x收斂于x,從而xd(A).、令Ni=1,假設取得Ni,N2，Nk，滿足Ni<N2V<