雞兔同籠問(wèn)題解法及例題透析

1、雞兔同籠問(wèn)題解法及例題透析【含義】這是古典的算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問(wèn)題， 叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠 問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問(wèn)題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)=(實(shí)際腳數(shù)2X雞兔總數(shù))+ (4-2)假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)=(4X雞兔總數(shù)實(shí)際腳數(shù))+ (4 2)第二雞兔同籠問(wèn)題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)=(2X雞兔總數(shù)雞與兔腳之差)+ (4+ 2)假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)=(4X雞兔總數(shù)+雞與兔腳之差)+ (4+ 2)【解題思路和方法】解答此類(lèi)題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以

2、假設(shè)都是兔。如果先 假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類(lèi)問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。通過(guò)先假設(shè)， 再置換，使問(wèn)題得到解決。例 1 長(zhǎng)毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請(qǐng)你仔細(xì)算一算，多少 兔子多少雞解假設(shè)35只全為兔，則雞數(shù)=(4X 35 94) + ( 4 2)= 23 (只)兔數(shù)=35 23= 12 (只)也可以先假設(shè) 35只全為雞，則兔數(shù)=(94 2X 35) + ( 4 2)= 12 (只)雞數(shù)= 3512=23(只) 答：有雞 23只，有兔 12只。例 22 畝菠菜要施肥 1 千克， 5 畝白菜要施肥 3 千克，兩種菜共 16 畝，施肥 9

3、 千克，求白菜有多少畝解此題實(shí)際上是改頭換面的“雞兔同籠”問(wèn)題。 “每畝菠菜施肥 (1+2)千克”與“每只雞有兩個(gè)腳” 相對(duì)應(yīng)， “每畝白菜施肥 (3+5)千克”與“每只兔有 4只腳”相對(duì)應(yīng)， “16 畝”與“雞兔總數(shù)”相對(duì)應(yīng)， “9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對(duì)應(yīng)。假設(shè) 16 畝全都是菠菜，則有答：白菜地有 10 畝。白菜畝數(shù)=(9 1+ 2X 16) + ( 3+ 5 1 + 2)= 10 (畝)例 3 李老師用 69 元給學(xué)校買(mǎi)作業(yè)本和日記本共 45 本，作業(yè)本每本元，日記本每本元。問(wèn)作業(yè)本和日 記本各買(mǎi)了多少本解此題可以變通為“雞兔同籠”問(wèn)題。假設(shè) 45 本全都是日記本，則有作業(yè)本數(shù)=（6

4、9X 45） + （ ）=15 （本）日記本數(shù)=45 15= 30 （本）例4 （第二雞兔同籠問(wèn)題）雞兔共有1 00只，雞的腳比兔的腳多 80只，問(wèn)雞與兔各多少只解假設(shè) 1 00只全都是雞，則有兔數(shù)=（2X 100 80） + （ 4+ 2）= 20 （只）雞數(shù)= 100 20= 80（只）答：有雞 80 只，有兔 20 只。例5有100個(gè)饃100個(gè)和尚吃，大和尚一人吃 3個(gè)饃，小和尚 3人吃 1個(gè)饃，問(wèn)大小和尚各多少人解假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3X 100）個(gè)，比實(shí)際多吃（3X 100100）個(gè)，這是因?yàn)榘研『蜕幸菜愠闪舜蠛蜕?，因此我們?cè)诒ＷC和尚總數(shù) 100不變的情況下，以“小”換“大”，

5、一個(gè)小和尚換掉一個(gè)大和尚可減少饃（3 1/3 ）個(gè)。因此，共有小和尚（3X 100 100） + （ 3 1/3 ）= 75 （人）共有大和尚 10075=25（人）答：共有大和尚 25 人，有小和尚 75 人。雞兔同籠問(wèn)題例題透析 11、有若干只雞和兔子，它們共有88個(gè)頭， 244只腳，雞和兔各有多少只解： 我們?cè)O(shè)想，每只雞都是“金雞獨(dú)立”，一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著現(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，也就是244 + 2=122 （只）.在 122這個(gè)數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次 .因此從 122減去總頭數(shù) 88，剩下的就是兔子頭數(shù)122-88

6、=34 ，有34只兔子當(dāng)然雞就有54只.答：有兔子34只，雞54只.面的計(jì)算，可以歸結(jié)為下面算式：總腳數(shù)+ 2 -總頭數(shù)=兔子數(shù).上面的解法是孫子算經(jīng)中記載的 . 做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡(jiǎn)單！能夠這 樣算，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2，4又是 2的2倍.可是，當(dāng)其他問(wèn)題轉(zhuǎn)化成這類(lèi)問(wèn)題時(shí)， “腳數(shù)”就不一定是 4和2，上面的計(jì)算方法就行不通 .因此，我們對(duì)這類(lèi)問(wèn)題給出一種一般解法 .還說(shuō)此題.如果設(shè)想88只都是兔子，那么就有4X 88只腳，比244只腳多了88X4-244=108 （只）.每只雞比兔子少（4-2 ）只腳，所以共有雞（88X4 -244 ） + （ 4-2

7、 ） = 54 （只）.說(shuō)明我們?cè)O(shè)想的 88 只“兔子”中，有 54 只不是兔子 . 而是雞 . 因此可以列出公式雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)）+ （兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.當(dāng)然，我們也可以設(shè)想 88只都是“雞”，那么共有腳2X 88=176 （只），比244只腳少了 244-176=68 （只）.每只雞比每只兔子少（ 4-2）只腳，68+2=34（只） .說(shuō)明設(shè)想中的“雞”，有 34只是兔子，也可以列出公式兔數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)X總頭數(shù)）+ （兔腳數(shù) -雞腳數(shù)）.上面兩個(gè)公式不必都用，用其中一個(gè)算出兔數(shù)或雞數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就知道另一個(gè)數(shù).假設(shè)全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解，有人稱(chēng)為

8、“假設(shè)法”.雞兔同籠問(wèn)題例題透析 2紅鉛筆每支元，藍(lán)鉛筆每支元，兩種鉛筆共買(mǎi)了 16支，花了元 . 問(wèn)紅、藍(lán)鉛筆各買(mǎi)幾支解：以“分”作為錢(qián)的單位 .我們?cè)O(shè)想，一種“雞”有 11 只腳，一種“兔子”有 19只腳，它們共有 16個(gè)頭， 280只腳.現(xiàn)在已經(jīng)把買(mǎi)鉛筆問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問(wèn)題了 . 利用上面算兔數(shù)公式，就有藍(lán)筆數(shù)=（19X 16-280 ） + （ 19-11 ）=24+8=3（支） .紅筆數(shù) =16-3=13 （支）答：買(mǎi)了 13 支紅鉛筆和 3 支藍(lán)鉛筆 .對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算，常?？梢岳靡阎_數(shù)的特殊性 .例 2中的“腳數(shù)” 19 與 11之和是 30.我們也 可以設(shè)想 16

9、只中， 8只是“兔子”， 8只是“雞”，根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是8X( 11 + 19) =240.比 280 少 40.40+( 19-11 ) =5.就知道設(shè)想中的 8 只“雞”應(yīng)少 5 只，也就是“雞”(藍(lán)鉛筆)數(shù)是 3.30X8比19X 16或11 X 16要容易計(jì)算些.利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來(lái)完成計(jì)算實(shí)際上，可以任意設(shè)想一個(gè)方便的兔數(shù)或雞數(shù) . 例如，設(shè)想 16只中， “兔數(shù)”為 10，“雞數(shù)”為 6， 就有腳數(shù)19X10+11X6=256.比 280 少 24.24+( 19-11 ) =3，就知道設(shè)想 6 只“雞”，要少 3 只 .要使設(shè)想的數(shù)，能給計(jì)算帶來(lái)方便，常常取決于你的心

10、算本領(lǐng).雞兔同籠問(wèn)題例題透析 3一份稿件，甲單獨(dú)打字需 6小時(shí)完成 . 乙單獨(dú)打字需 10小時(shí)完成，現(xiàn)在甲單獨(dú)打若干小時(shí)后，因有事 由乙接著打完，共用了 7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí)解：我們把這份稿件平均分成 30份(30是 6和10的最小公倍數(shù)) ，甲每小時(shí)打30+6=5 (份) ，乙每小時(shí)打 30+ 10=3(份).現(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成“兔”頭數(shù)， 乙打字的時(shí)間看成“雞”頭數(shù)， 總頭數(shù)是 7.“兔”的腳數(shù)是 5， “雞”的腳數(shù)是 3，總腳數(shù)是 30，就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問(wèn)題了.根據(jù)前面的公式“兔”數(shù) =(30-3X7)+( 5-3)=，“雞”數(shù) =，也就是甲打字用了小時(shí)，乙打字用了小時(shí)答：甲打字用了 4 小時(shí) 30 分 .小毛參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共做 20道題，得 64分，已知做對(duì)一道得 5 分，不做得 0 分，錯(cuò)一題扣 2分，又知道 他做錯(cuò)的題和沒(méi)做的一樣多問(wèn)小毛做對(duì)幾道題 >>分析：解答雞兔同籠問(wèn)題，一般采用假設(shè)法，這道題用兩次假設(shè)假設(shè)做錯(cuò)的和沒(méi)做的一樣多，就假定這兩種情況都倒扣（1分）；假設(shè)20道題全做對(duì)，與題中給出得64分相比較