矩陣分析在通信領(lǐng)域的應(yīng)用

1、編 號(hào):審定成績(jī)；_重慶郵電大學(xué)矩陣分析小論文通信與信息工程學(xué)院胡曉玲信息與通信工程專業(yè)S7師:安世全時(shí)間：2016年12月矩陣在MIMO信道和保密通信上的應(yīng)用矩陣廣泛應(yīng)用于通信的各個(gè)環(huán)節(jié)，例如：奇異矩陣，酉矩陣等MIMO上的 應(yīng)用：可逆矩陣在保密通信上的應(yīng)用：生成矩陣，監(jiān)督矩陣在信道編碼上的應(yīng)用; Toeplitz和Hankel矩陣在通信信號(hào)處理中的應(yīng)用等。本文主要討論矩陣在MIMO 信道和保密通信上的應(yīng)用。一、矩陣應(yīng)用于MIMO信道我們知道MIMO信道在不增加頻譜資源和天線發(fā)射功率的情況下能顯著提 升系統(tǒng)容量，同時(shí)提高信道的可靠性，降低誤碼率。是4G和未來(lái)5G中的一個(gè) 非常重要的技術(shù)，因此

2、對(duì)MIMO的信道進(jìn)行建模研究具有巨大的指導(dǎo)意義。本 文首先建立了 MIMO信道模型，利用矩陣?yán)碚摰贸鯩IMO信道簡(jiǎn)化模型，再結(jié) 合信息論計(jì)算出信道容量，并得出結(jié)論。吁O首先建立一個(gè)MIMO信道模型，發(fā)射端通過(guò)空時(shí)映射將要發(fā)送的信號(hào)映射 到多根天線上發(fā)送出去，接收端將各根天線接收到的信號(hào)進(jìn)行空時(shí)譯碼從而恢復(fù) 出發(fā)射端發(fā)送的數(shù)據(jù)信號(hào)。當(dāng)發(fā)送信號(hào)所占用的帶寬足夠小的時(shí)候,信道可以被認(rèn)為是平坦的，這樣,MIMO系統(tǒng)的信道用一個(gè)n*m 的復(fù)數(shù)矩陣H描述。H的子元素表示從第Xi(iJ2n)根發(fā)射天線到第yj(j=1.2,.m)根接收天線之間的空間信道衰落系數(shù)。發(fā)送信號(hào)可以用一個(gè)n*l的列向量X=(Xl.X

3、2.Xn)表示，其中Xi表示 在第i個(gè)天線上發(fā)送的數(shù)據(jù)。用一個(gè)El的列向量丫比訶2.%）表示，其中w表示在第i個(gè)天線上接收的數(shù)據(jù)。信道中的噪聲為高斯白噪聲2通過(guò)這樣一個(gè)模型，在t 時(shí)刻接收信號(hào)可以表示為：y, = HXj + n.發(fā)送信號(hào)的協(xié)方差：Rxx=EXX" 發(fā)送信號(hào)的功率：P=tr（Rxx） 噪聲的協(xié)方差：Rnn=Enn"接收信號(hào)的協(xié)方差：R嚴(yán)屛=EU (Hx+ +=肛工？n因?yàn)閄與噪聲n不相關(guān)，所以Exh MIMO信道容量做一般性推導(dǎo)下面根據(jù)信息論知識(shí)，我們對(duì)MIMO信道容量做一般性推導(dǎo)。在下面的推導(dǎo)過(guò) 程中我們假設(shè)信道 矩陣H在接收端a經(jīng)完全己知，但是它是隨機(jī)的

4、，因此我們 可以得到瞬時(shí)信道容量為：Q（H） = niax加町（工）S是在己知信道H的情況下輸入X與輸出y之間的互信息量有:Hy是y的信息爛（微分爛），由于發(fā)送信號(hào)與噪聲之間是獨(dú)立的，因此有（屮）二旳）所以上式可以重新寫(xiě)為: q）=丹（$）_丹（町由于噪聲概率密度函數(shù)確定，所以Hn為定值，當(dāng)信道為加性高斯信道時(shí)，信源X服從高斯分布時(shí)此時(shí)接收信號(hào)y也服從高斯分布，根據(jù)信息論理論，此時(shí)（,）lxy 取最大，即為信道容量。此時(shí)y和n的信息爛分別為：§2 det 冗eRp； j bitjdet TtecrIbit所以我們可以得到信道瞬時(shí)交互信Ixy，也即信息容量為:C(/) = detdet

5、=-log, - det K&y + HRgFtbit) det祝/】工程中一般定義信道容量為單位時(shí)間內(nèi)的平均互信息，故定義MIMO的信道容 量：其中T為一個(gè)符號(hào)周期，根據(jù)采樣定理，(VT)>=2B ,其中B為信號(hào)帶寬，取 (VT)=2B ,代入得：C = B logbit / S這即是MIMO的信道容量一般公式。信道是極其復(fù)雜的。因此原始的信道矩陣也就顯得復(fù)雜，不便于分析，而且 一般矩陣不經(jīng)過(guò)處理計(jì)算行列式很困難。這就白然想到在信源端對(duì)發(fā)射信號(hào)做某 種預(yù)處理，使得經(jīng)過(guò)預(yù)處理的信號(hào)經(jīng)過(guò)的信道變得簡(jiǎn)單易分析，而且具體實(shí)現(xiàn)也 變得簡(jiǎn)單。對(duì)于信道矩陣來(lái)說(shuō)，對(duì)角矩陣是最簡(jiǎn)單的，所以白然就

6、想到把信道矩 陣分解，利用矩陣?yán)碚撝械钠娈愔捣纸饪梢赃_(dá)到這種目的。下面就矩陣的奇異值 分解來(lái)計(jì)算MIMO的信道容量。奇異值分解信道矩陣為：H=UDVD是的對(duì)角陣，其對(duì)角非零元素模值為H的正奇異值，U、1/分別為n切和 的酉矩陣，則接收信號(hào)可表示為：yt=UDWx 汁 rh兩邊同時(shí)左乘酉矩陣C/H,則y't = Dx； + H；若矩陣H的非零特征值的個(gè)數(shù)為f個(gè)，每個(gè)子信道的增益等于矩陣H的一個(gè)奇 異值。用(、優(yōu)i)表示矩陣H的奇異值，將丿4代入公式可得：兒+吃=12，r接收元素y/(i=r+l.m)并不依賴于發(fā)射信號(hào)，即信道增益為零。另一方面,接收元 素M(i“2j)僅僅取決于發(fā)射元素X

7、2因此得到的等效MIMO信道是由個(gè)去 耦平行子信道組成的，信道可等價(jià)為r個(gè)不相交的并行子信道，因此MIMO信道 模型可簡(jiǎn)化為：天線I: 令兀r丁 2人?£ r-l利用此簡(jiǎn)化模型結(jié)合信息論中信道容量的計(jì)算方法得到MIMO信道容量為:q十Z】。 1 +三J=1令A(yù).F眄丿m = nmi v”昇?普,/» < nHM ni > n 在信道衰落為平坦衰落，且接收端可準(zhǔn)確估計(jì)信道衰落的條件卞fP C = loe det I + 0 '"by由該公式可知，MIMO鏈路的信道容量很大程度上取決于H的秩心矩陣的 秩越大，容量也越大。所以，MIMO正是利用無(wú)線信

8、道的多徑效應(yīng)使相距超過(guò)半 個(gè)波長(zhǎng)的天線盡量不相關(guān)，從而使信道矩陣秩越大，進(jìn)而在不增加帶寬和發(fā)射功 率的情況下增加系統(tǒng)容量。二、矩陣在保密通信中的應(yīng)用保密通信是信息時(shí)代的一個(gè)非常重要的課題，基于加密技術(shù)的保密通信模 型是最基本的。基于加密技術(shù)的保密通信模型如下：加密模型：逆矩陣所傳遞的明文消息進(jìn)行加密（即密文消息），然后再發(fā)給接收方,而接收 方則可以采用相對(duì)應(yīng)的某種逆運(yùn)算將密文消息編譯成明文。若人代表可逆的加密 密鑰矩陣，e代表明文，C代表密文，則采用GBA對(duì)信息進(jìn)行加密，在接收端 利用對(duì)密文進(jìn)行解密。對(duì)于加密密鑰的選擇，可以通過(guò)對(duì)單位矩陣連續(xù)實(shí)施一系列所選擇的初等變 換得到加密矩陣。對(duì)于解密秘鑰的生成，只需要再次利用生成加密秘鑰時(shí)的變換 矩陣對(duì)初等矩陣作一系列的初等逆變換即可。通過(guò)這次小論文，我發(fā)現(xiàn)矩陣分析在通信的很多方面都有重要應(yīng)用。應(yīng)用矩 陣的相關(guān)知識(shí)，將保密通信、信息