【KS5U解析】廣東省東莞市光明中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、2019-2020學(xué)年度第二學(xué)期高三年級(jí)第一次月考高三年級(jí)理科數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘 總分：150分） 第卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由中不等式變形得，解得，即，故選c. 2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足：（2i）z1i，其中i是虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)為（ ）a ib. ic. d. 【答案】b【解析】【分析】把等式變形，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算先求出z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得出答案.【詳解】由（2i）z1i，得zii.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)

2、的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義.3.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（ ）a. 16b. 19c. 20d. 25【答案】b【解析】【分析】利用，成等比數(shù)列求解【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，成等比數(shù)列，因?yàn)?，所以，?故選：b【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列前n項(xiàng)性質(zhì)，熟記性質(zhì)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題4.點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，則a的值為( )a. 1b. 1或3c. 或d. 或【答案】c【解析】【分析】對(duì)分成和兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合拋物線的定義求得的值.【詳解】依題意可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為當(dāng)時(shí)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的距離為，解得.當(dāng)時(shí)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的距離為，解得.所以的值為或.

3、故選：c【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義和準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題.5.如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為4，則輸入的實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】，否，；，否，；，否，；，是，即；解不等式，且滿(mǎn)足，綜上所述，若輸出的結(jié)果為4，則輸入的實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選點(diǎn)睛：算法與流程圖考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是求和還是求項(xiàng).6.在中，角a，b，c所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若，則的最小值為( )a. b. c.

4、 d. 【答案】b【解析】【分析】利用余弦定理表示，再利用基本不等式求得的最小值.【詳解】由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：b【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.7.已知兩點(diǎn)，以及圓c：（），若圓c上存在點(diǎn)p，滿(mǎn)足，則r的取值范圍是( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】求得以為直徑的圓的圓心和半徑，根據(jù)圓與圓有公共點(diǎn)列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】由于圓c上存在點(diǎn)p，滿(mǎn)足，故以為直徑的圓與圓有公共點(diǎn).圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為所以，而，所以，解得.故選：b【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積為

5、零的幾何意義，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.8.給出下列說(shuō)法：設(shè)，則“”是“”的充分不必要條件；若，則，使得；為等比數(shù)列，則“”是“”的充分不必要條件；命題“，使得”的否定形式是“，使得” .其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為( )a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】b【解析】【分析】將“”與“”相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷充分、必要條件，由此判斷的正確性.利用基本不等式等號(hào)成立的條件，判斷的正確性. 將“”與“”相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷充分、必要條件，由此判斷的正確性.根據(jù)命題的否定的知識(shí)，判斷的正確性.【詳解】對(duì)于，當(dāng)“”時(shí)，如，結(jié)論錯(cuò)誤，“”不是“”的充分條件，故錯(cuò)誤.對(duì)于

6、，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故錯(cuò)誤.對(duì)于，在等比數(shù)列中，當(dāng)“”時(shí)，所以等比數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以“”.當(dāng)“”時(shí)，如，不能推出“”.所以正確.對(duì)于，命題“，使得”的否定形式是“，使得”，故錯(cuò)誤.綜上所述，正確說(shuō)法個(gè)數(shù)為個(gè).故選：b【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查命題的否定，考查基本不等式等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.9.已知某幾何體是兩個(gè)正四棱錐組合體，其三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】判斷出球心和半徑，由此計(jì)算出外接球的表面積.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為兩個(gè)正四棱錐的組合體，由于正四棱錐的

7、底面是正方形，由三視圖可知，正方形的中心即外接球的球心，且正方形的對(duì)角線長(zhǎng)的一半為外接球的半徑，即外接球的半徑為.所以外接球的表面積為.故選：a【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖，考查幾何體外接球的表面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.10.不等式組表示的點(diǎn)集記為a，不等式組表示的點(diǎn)集記為b，在a中任取一點(diǎn)p，則的概率為( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】畫(huà)出點(diǎn)集的圖像，用陰影部分的面積除以三角形的面積，由此求得所求的概率.【詳解】點(diǎn)集表示的圖像為如圖所示三角形，點(diǎn)集表示的圖像為如圖所示陰影部分.由于三角形的面積為，陰影部分的面積為.所以所求的概率為.故選：c【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何概型的

8、計(jì)算，考查定積分，考查不等式組表示區(qū)域的畫(huà)法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.11.橢圓c：（ab0）的左右焦點(diǎn)為f1，f2，過(guò)f2作x軸的垂線與c交于a，b兩點(diǎn)，f1a與y軸相交于點(diǎn)d，若bdf1a，則橢圓c的離心率等于（）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由題意可得，的坐標(biāo)，且知點(diǎn)為的中點(diǎn)，再由，利用斜率之積等于列式求解【詳解】由題意可得，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，由，得，即，整理得，解得故選【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是中檔題12.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，函數(shù)是最小正周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值

9、范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】把函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有3個(gè)不同根，畫(huà)出函數(shù)與的圖象，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組求解【詳解】解：由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，得，函數(shù)是最小正周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即有3個(gè)不同根，畫(huà)出函數(shù)與的圖象如圖：要使函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則，且，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是故選：b【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題第卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分將答案填在題中的橫線上.13.已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為

10、_.【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義求出函數(shù)在上的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出的值，即為所求結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，.因此，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，同時(shí)也考查了利用奇偶性求函數(shù)的解析式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14.如果的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開(kāi)式中的系數(shù)是_ .【答案】-189【解析】令，得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為.由，得，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為. 由，得，展開(kāi)式中的系數(shù)是.15.已知中，點(diǎn)p為外接圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi).【答案】18【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得外接圓的方程，設(shè)出點(diǎn)的

11、坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得的表達(dá)式，并由此求得的最大值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，依題意，.外接圓的圓心，半徑為，所以外接圓的方程為，設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.16.在數(shù)列中，且.記，則_.【答案】3【解析】【分析】利用累乘法求得，利用裂項(xiàng)求和法求得，由此求得.【詳解】由于，所以，. 又，所以.所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查累乘法、裂項(xiàng)求和法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.三、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17

12、.在銳角三角形中，角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由正弦定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊的條件，再由余弦定理，求角即可；（2）利用二倍角公式化簡(jiǎn)，得到正弦型三角函數(shù)，分析角的取值范圍，即可求出三角函數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，即，則根據(jù)余弦定理得又因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所以則因?yàn)槿切螢殇J角三角形且，所以則所以，所以即的取值范圍為點(diǎn)睛：解決三角形中的角邊問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)條件選擇正余弦定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為邊的問(wèn)題或角的問(wèn)題，利用三角中兩角和差等公式處理，特別注意內(nèi)角和定理的運(yùn)用，涉及三角形面積最值問(wèn)題時(shí)，注意均值不等

13、式的利用，特別求角的時(shí)候，要注意分析角的范圍，才能寫(xiě)出角的大小.18.如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿邊折至位置，且平面平面.(1) 求證：平面平面；(2) 求二面角的大小.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】【詳解】試題分析：(1) 利用直角三角形，先證明折前有,折后這個(gè)垂直關(guān)系沒(méi)有改變，然后由平面平面的性質(zhì)證明平面,最后由面面垂直的判定定理即可證明平面平面；（2）為方便計(jì)算，不妨設(shè)，先以為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，以與平面向上的法向量同方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)給相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，接著計(jì)算出這兩個(gè)法向量夾角的余弦值，根據(jù)二面角

14、的圖形與計(jì)算出的余弦值，確定二面角的大小即可.試題解析：(1) 證明:由題可知：折前，這個(gè)垂直關(guān)系，折后沒(méi)有改變故折后有（2）不妨設(shè)，以為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，以與平面向上的法向量同方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系 7分則設(shè)平面和平面的法向量分別為，由及可得到即，不妨取又由及可得到即不妨取9分11分綜上所述，二面角大小為12分.考點(diǎn)：1.線線垂直的證明；2. 線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)；3.空間向量在解決空間角中的運(yùn)用問(wèn)題.19.某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2020年元旦期間游客購(gòu)買(mǎi)土特產(chǎn)的情況，對(duì)2019年元旦期間的90位游客購(gòu)買(mǎi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表.購(gòu)買(mǎi)金額（元）人數(shù)101520

15、152010（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)金額是否少于60元與性別有關(guān).不少于60元少于60元合計(jì)男40女18合計(jì)（2）為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案，購(gòu)買(mǎi)金額不少于60元可抽獎(jiǎng)3次，每次中獎(jiǎng)概率為（每次抽獎(jiǎng)互不影響，且的值等于人數(shù)分布表中購(gòu)買(mǎi)金額不少于60元的頻率），中獎(jiǎng)1次減5元，中獎(jiǎng)2次減10元，中獎(jiǎng)3次減15元.若游客甲計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)80元的土特產(chǎn)，請(qǐng)列出實(shí)際付款數(shù)（元）的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.附：參考公式和數(shù)據(jù)：，.附表：2.0722.7063.8416.6357.8790.1500.1000.0500.0100.005【答案】(1)見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)金

16、額是否少于60元與性別有關(guān).(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望75【解析】分析】（1）完善列聯(lián)表，計(jì)算得到答案.（2）先計(jì)算，分別計(jì)算，得到分布列，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）列聯(lián)表如下：不少于60元少于60元合計(jì)男124052女182038合計(jì)306090，因此有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)金額是否少于60元與性別有關(guān).（2）可能取值為65，70，75，80，且.，所以的分布列為65707580.【點(diǎn)睛】本題考查了列聯(lián)表，分布列，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算能力.20.已知橢圓的焦距為 ,短軸長(zhǎng)為.(1)求的方程;(2)直線與相切于點(diǎn)m,與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為a與b,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)m且與垂直,與的另一個(gè)交點(diǎn)為n.當(dāng)取得

17、最小值時(shí),求的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）直接計(jì)算得到，得到橢圓方程.（2）聯(lián)立，計(jì)算得到，根據(jù)均值不等式得到，再計(jì)算面積得到答案.【詳解】(1)因?yàn)?所以 又,所以,所以,所以的方程為. (2)聯(lián)立,消去y,得.因?yàn)橹本€l與相切,所以,即.在x軸y軸上的截距分別為,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí),取得最小值,此時(shí). 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,不妨取,此時(shí),即,從而 聯(lián)立消去y,得,則,解得,所以,故的面積為【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.21.已知函數(shù)（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，恒有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)

18、解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分成、三種情況，討論的單調(diào)區(qū)間.（2）先求得的最大值，由此化簡(jiǎn)不等式，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】（1）由（）當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上是減函數(shù)，由對(duì)任意的，恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，設(shè)，則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問(wèn)題的求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求，的值；（2）已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，與曲線交于，兩點(diǎn)，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)方程得到，根據(jù)參數(shù)方程得到答案.（2）將參數(shù)方程代入圓方程得到，根據(jù)韋達(dá)定理得到，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由，得，則，即.因?yàn)椋?（2）將代入，得.設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的