直線與平面垂直的判定和性質(zhì)(二)

1、直線與平面垂直的判定和性質(zhì)（二）1空間四邊形ABCD的四條邊相等，那么它的兩條對角線AC和BD的關(guān)系是（）A相交且垂直 B相交但不垂直C不相交也不垂直 D不相交但垂直2已知a、b是異面直線，那么經(jīng)過b的所在平面中（）A只有一個(gè)平面與a平行 B有無數(shù)個(gè)平面與a平行C只有一個(gè)平面與a垂直 D有無數(shù)個(gè)平面與a垂直3若直線l與平面a 所成角為，直線a在平面a 內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線a所成的角的取值范圍是（）A BC D4直線a、b均在平面a 外，若a、b在平面a 上的射影是兩條相交直線，則a和b的位置關(guān)系是（）A異面直線 B相交直線 C平行直線 D相交或異面直線5ABCD是平面a 內(nèi)的一個(gè)

2、四邊形，P是平面a 外的一點(diǎn)，則PAB、PBC、PCD、PDA中是直角三角形的最多有（）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)6已知直線PG平面a 于G，直線EFa ，且PFEF于F，那么線段PE、PF、PG的關(guān)系是（）APEPGPF BPGPFPECPEPFPG DPFPEPG7直線l是平面a 的斜線，l在a 內(nèi)的射影為若直線ml，則直線m和平面a 的位置關(guān)系是（）Ama Bma Cma Dma，或ma8下列命題中正確的是（）A若a是平面a 的斜線，直線b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影為，則abB若a是平面a 的斜線，平面b 內(nèi)的直線b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影為，則a bC若a是平面a 的斜線，直線b

3、平行于平面a ，且b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影，則abD若a是平面a 的斜線，b是平面a 內(nèi)的直線，且b垂直于a在另一個(gè)平面b 內(nèi)的射影，則ab9如圖9-28，已知PE垂直于O所在平面，EF是O的直徑，點(diǎn)G為圓周上異于E、F的一點(diǎn)，則下列結(jié)論中，不正確的是（）AFG平面PEG BPGFGCPF與平面PEG所成角為FPG DEGPF圖9-2810設(shè)正方體的棱長為1，則（1）A到的距離等于_；（2）A到的距離等于_；（3）A到平面的距離等于_；（4）AB到平面的距離等于_11已知正方體則（1）與平面ABCD所成的角等于_；（2）與平面ABCD所成的角的正切值等于_；（3）與平面所成的角等于_ ；（

4、4）與平面所成的角等于_；（5）與平面所成的角等于_.12如圖9-29，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)求證：MNAB圖9-2913如圖9-30，直線a、b是異面直線，它們所成角為30°，為a、b的公垂線段，另有B在直線a上，且BA=2cm，求點(diǎn)B到直線b的距離圖9-3014如圖9-31，SA、SB、SC三條直線兩兩垂直，點(diǎn)H是S在平面ABC上的射影，求證：H是ABC的垂心圖9-3115如圖9-32，ABD和ACD都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且AD=BD=CD，BAC=60°求證：圖9-32（1）BD平面ADC；（2）若H是ABC的垂心，則

5、H為D在平面ABC內(nèi)的射影16PA、PB、PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角為60°，求直線PC與平面PAB所成的角的余弦值參考答案1D取BD中點(diǎn)O，則BDAO，BDCO，故BD平面ACO，因此BDAC2A過b上任一點(diǎn)P作直線，由和b確定的平面a 與a平行，這個(gè)平面是過b且平行于a的唯一一個(gè)平面故排除B當(dāng)a與b不垂直時(shí)，假設(shè)存在平面b ，使bb ，且ab ，則ab，這與a、b不垂直矛盾，所以當(dāng)a、b不垂直時(shí)，不存在經(jīng)過b且與a垂直的平面，當(dāng)a、b垂直時(shí)，過b且與a垂直的平面是唯一的，設(shè)a、b的公垂線為c，則由c和b所確定的平面與a垂直，且唯一3C因?yàn)橹本€l是平面的斜線，斜線

6、與平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角，故a與l所成的角大于或等于；又因?yàn)楫惷嬷本€所成的角不大于，故選C4D5D作矩形ABCD，PA平面AC，則所有的三角形都是直角三角形6C如圖答9-17PGa ，EFa ，PFEF，則GFEF在RtPGF中，PF為斜邊，PG為直角邊，PFPG在RtPFE中，PF為直角邊，PE為斜邊，PEPF，所以有PEPFPG圖答9-177D8C如圖答9-18，直線b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影，但不能得出ab的結(jié)論排除A令b 是直線a與其在a 內(nèi)的射影確定的平面，在b 內(nèi)取垂直于的直線為b，不能得出ab的結(jié)論排除B同理排除D如圖答9-19，在a

7、內(nèi)任取點(diǎn)P， ，則過b與P確定平面g ，設(shè)，因?yàn)閎a ，則 ， ， ba于是C正確 圖答9-18 圖答9-199DG是O圓周上一點(diǎn)，則FGEG PE平面EFG， PEFG假設(shè)EGPF，又 EGFG， FG平面PFG EGPG PEEG，P、E、G共面， PEPG這與PE，PG交于一點(diǎn)P矛盾， “EGPF”不成立10（1）連接，AC，則，取的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，則 AE為點(diǎn)A到直線的距離，在RtACE中， ， 即A到、C的距離等于（2）連結(jié) AB平面， 在Rt中，AB=1，設(shè)A到的距離為h，則即， ，即點(diǎn)A到的距離為（3）連結(jié)交于F，則 CD平面，且AF平面， CDAF CDAD=D， AF平面

8、AF為點(diǎn)A到平面的距離 ， （4） ABCD， AB平面， AB到平面的距離等于A點(diǎn)到平面的距離，等于11（1） 平面ABCD， 為與平面ABCD所成的角，=45°（2） 平面ABCD， 為與平面ABCD所成的角設(shè)，則， （3） 平面， 平面， 與平面所成的角為0°（4） 平面， 與平面所成的角為90°（5）連結(jié)AC，交AD于H連結(jié)， 平面ABCD，CH平面ABCD， ，又 CHBD， CH平面 為在平面內(nèi)的射影 為與平面所成的角設(shè)正方體棱長為1，則， ，即與平面所成的角為30°12連結(jié)AC，取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OM，ON由OMBC，得OMAB又NOPA，

9、且PAAB，故NOAB由此可得AB平面OMN因此MNAB13如圖答9-20，過作，則與b確定平面a 作于C，在平面a 內(nèi)作CDb于D，連結(jié)BD ， ， BCa CDb， BDb（三垂線定理），即BD為B點(diǎn)到b的距離 ， 為異面直線a與b所成的角， ， CD=1在RtBCD中，CD=1，BCD=90°， ， 圖答9-2014 SCSA，SCSB，且SASB=S， SC平面SAB， ABSC H是S在平面ABC上的射影， SH平面ABC連結(jié)CH，CH為SC在平面ABC上的射影， ABSC，由三垂線定理的逆定理可知CHAB，即CH為AB的垂線同理AHBC，即AH為BC邊的垂線H為ABC兩條

10、垂線的交點(diǎn)， H為ABC垂心15（1）設(shè)AD=BD=CD=a，則 BAC=60°， 由勾股定理可知，BDC=90°即BDDC，又 BDAD，ADDC=D， BD平面ADC（2）如圖答9-21，要證H是D在平面ABC上的射影，只需證DH平面ABD連結(jié)HA、HB、HC H是ABC的垂心， CHAB CDDA，CDBD， CD平面ABD， CDAB CHCD=C， AB平面DCH DH平面DCH， ABDH，即DHAB，同理DHBC ABBC=B， DH平面ABC圖答9-2116如圖答9-22，在PC上任取一點(diǎn)D，作DH平面PAB于H，則DPH為PC與平面PAB所成的角作HEPA于E，HFPB于F，連結(jié)PH，DE，DF EH、