高中物理運動學(xué)講義

1、經(jīng)典力學(xué)研究的宏觀物體的低速運動，通常分為運動學(xué)和動力學(xué)。運動學(xué)只描 述物體的運動，不涉及引起運動和改變運動的原因；動力學(xué)則研究物體的運動與 物體間相互作用（即力）的內(nèi)在聯(lián)系。在物理學(xué)中，為了突出研究對象的主要性質(zhì)，暫不考慮一些次要的因素，經(jīng)常 引入一些理想化的模型來代替實際的物體?！百|(zhì)點”就是一個理想化的模型。在經(jīng) 典力學(xué)研究中，物體的形狀和大小是千差萬別的。對有些場合（如落體受到空氣 的阻力問題），物體的形狀和大小是重要的；但在很多問題中，這些差別對物體運 動的影響不大，若不涉及物體的轉(zhuǎn)動和形變，我們可暫不考慮它們的形狀和大小， 把它們當(dāng)作一個具有質(zhì)量的點（即質(zhì)點）來處理。1 運動學(xué)1.1

2、運動的相對性物體的運動總是相對于另一些選定的參考物體而言。所參照的物體，稱為參考 系。為了把物體在各個時刻相對于參考系的位置定量地表示出來，還需要在參考 系上選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。最常用的坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系。坐標(biāo)系實質(zhì)上是由實物 構(gòu)成的參考系的數(shù)學(xué)抽象，在討論運動的一般性問題時，人們往往給出坐標(biāo)系而 不必具體地指明它所參照的物體。1.2直線運動1.2.1 速度物體（質(zhì)點）軌跡是直線的運動，稱為直線運動。直線運動可以用一維坐標(biāo)描 述。如下圖所示，取 0為坐標(biāo)原點，物體在任一時刻t所經(jīng)歷的位置可用函數(shù)s （t ）來描述。E1-6直錢運動速度是描述物體運動快慢的物理量。平均速度的定義:Vt to(m/

3、s)當(dāng)厶t趨近零時，即為瞬時速度:m s dimotV亦即，在數(shù)學(xué)上瞬時速度是s (t)的一階導(dǎo)數(shù)。若以s為縱坐標(biāo)，t為橫坐標(biāo)， 則S(t)可用圖1-7中的曲線AB表示。時間間隔 t內(nèi)的平均速度即為割線 AB的 斜率，tO的瞬時速度則為曲線過 A點切線AT的斜率tan a .用瞬時速度來描述變 速運動，就可以精確地反映出它在各個時刻的運動狀態(tài)。團1T 在才七團上皓平均題與矚時速復(fù)質(zhì)點作變速運動時，各時刻的瞬時速度互不相同。用數(shù)學(xué)的術(shù)語說，瞬時速度v (t )也是時間的函數(shù)。若以v為縱坐標(biāo)，t為橫坐標(biāo)，則變速運動可用圖1-8中 的曲線AB來表示。團在廠t長1上的距離物體運動所經(jīng)過的距離s-so可

4、用圖1-8中速度曲線AB下的面積來表示，即:VtS SoVdtVo1.2.2 加速度加速度是描述物體運動速度變化快慢的物理量，平均加速度的定義如下:(m/s2)-VtVoat to當(dāng)厶t趨近零時，即為瞬時加速度:motdv1L2IL1.2.3 勻速直線運動瞬時速度恒定不變的一維運動即為勻速直線運動， 其加速度恒為零。勻速直線 運動的a-t圖為值為零的水平線，V-t圖為值為定值的水平線，S-t圖為傾斜向上的 直線。勻速直線運動的圖像可總結(jié)為零、平、斜。1.2.4 勻變速直線運動加速度恒定不變的一維運動即為勻變速直線運動。當(dāng)a0即為均加速直線運動，當(dāng)a0) 或傾斜向下(a0)的斜線，S-t圖為的二

5、次拋物線。勻變速直線運動的圖像可總結(jié)為 平、斜、拋。例1 :一物體作勻加速直線運動，走過一段距離厶s所用的時間為 t1，緊接著走過下一段距離 s所用的時間為 t2。試證明物體的加速度為a亠h t2tl t2tit2證：設(shè)初速度為Vo,走過第一段 s的瞬時速度為Vi,走過第二段 s的瞬時 速度為V2。則第一段厶s的平均速度為：V1 VoS 陽2 SVi-10，即 Vi + Vo=(1)2 titi同理第二段s的平均速度為：V2 VV1S，即 V2+ Vi= (2)對兩段 s有: a普光,將3 *式代入即得a2 S ? ti t2 ti t2 ti t22 t2t2例2:由距離地面i5m處以初速度

6、I0m/s向上豎直拋出一小球，忽略空氣阻力的 影響，重力加速度取I0m/s S2 S2 Stit2。(i)求小球上升最高點距離地面的高度；(2)求小球落 地的時間。(I)小球上升到最高點的瞬時速度為零，設(shè)其上升最高點距離拋出位置的距離為As，則有：2V。 2g SI022g 2XI05m故小球上升最高點距離地面的高度為 20m（2）建立以地面為坐標(biāo)零點，垂直于地面為 x軸，向上為正方向的坐標(biāo)系，則小球的初速度Vo= 10m/s,初位置So= 15m,加速度a=-g,落地時末位置Si=0, 設(shè)小球落地時間為t,則有1 2 2由S So Vot -gt，代入數(shù)值求得t的一元二次方程：t 2t 3

7、0解該方程得ti=3s, t2=-1s（舍去）討論1:從上題可以看出，建立合適的坐標(biāo)系，正確確定各物理量的數(shù)值是解題的 關(guān)鍵。在一維直線運動中，各物理量均是代數(shù)量，當(dāng)其與坐標(biāo)軸正向一致時取正， 反之取負(fù)。員從離開跳臺到落水時間為t運動員上升到最高點時其速度為零，則有:V2 2g S V 2g S 、2X10X0.45 3m/s1由方程s So Vot -gt2,代入數(shù)值求得t的一元二次方程：5t2 3t 10 0可求出t=1.7s，負(fù)值舍去。例4:已知OABC為同一直線上的四點，AB間的距離為Li，BC間的距離為L2， 一物體自O(shè)點由靜止出發(fā)，沿此直線做勻加速運動，依次經(jīng)過 ABC三點，已知物

8、 體通過AB段與BC所用的時間相等。求O與A的距離。解：設(shè)物體經(jīng)過A點的速度為V。,通過AB段與BC所用的時間為t，O與A的距離為L。對AB段有：L1Vt1 .2 at2對AC段有：L1L22Vt2at2(2)(2)-2X(1) : L2 L1C(3)4X(1)-(1) : 3L1 L22Vt(4)由（3）、（4）可解出：aL2L1，V03L1t22t對OA段有：L，代入a和 V。可求出LL2(3L! L2)28(L2 LJ例5： （08年四川高考）A、B兩輛汽車在筆直的公路上同向行駛。當(dāng)B車在A車前84m處時，B車速度為4m/s,且正以2m/s2的加速度做勻加速運動；經(jīng)過一段時 間后，B車加

9、速度突然變?yōu)榱?。A車一直以20m/s的速度做勻速運動。經(jīng)過12s后 兩車相遇。問B車加速行駛的時間是多少？解析：設(shè)A車的速度為Va，B車加速行駛時間為t，加速度為a，B車初速度 為Vb,兩車在t0時相遇。則有：Sa VAto(1)1 2Sb VBt at (Vb at)? (to t) (2)2式中，to=12s, SA、Sb分別為A、B兩車相遇前行駛的路程。依題意有：SA SB S(3)式中s= 84 m。由(1)(3)式得：t2 2tot 2(Vb 沁 S 0(4)a代入題給數(shù)據(jù)：VA=20m/s, VB=4m/s, a=2m/，有：t224t 1080(5)解得：= 6s, t2= 18

10、st2= 18s不合題意，舍去。因此，B車加速行駛的時間為6s。從解該題步驟中，我們應(yīng)有意識的培養(yǎng)利用參數(shù)符號推導(dǎo)的能力，切忌每步代入具體數(shù)值。推導(dǎo)出最終表達式后再代入數(shù)值的好處在于物理過程清晰，利于檢 查解題是否正確。這樣作的好出還在于考試評分時拿到盡量多的步驟分，對復(fù)雜 的大題尤有好處。每步代入數(shù)值，如果一步發(fā)生錯誤，則下面的所有步驟都會發(fā) 生差錯，改動工作量大，且容易遺漏差錯的地方。例6： AB兩輛小車以相同的初速度 V。同時由甲地出發(fā)駛向乙地。A車先加速一段 路程后再減速，到達乙地時速度恰為V0。B車先減速一段路程后再加速，到達乙地時速度也恰為V0。在整個行程中，兩車的速度均一直大于零

11、。則()(A) A車先到達乙地(B) B車先到達乙地(C) A、B兩車同時到達乙地(D)無法判斷解析： 對于速度連續(xù)變化的運動，平均速度肯定在其最小速度和最大速度之間。本題中A車的最小速度為V0,B車的最大速度為V0,故Va V0,Vb V0 Va Vb 在路程相同的條件下，平均速度大的 A車先到達目的地。應(yīng)選 A。1.3二維平面運動1.3.1 位移、速度和加速度質(zhì)點在高于一維的空間里運動，其軌跡一般是曲線，運動的描述需要用矢量首先，為了表征一個質(zhì)點在空間的位置，我們可以選擇一個原點0,從0點到質(zhì)點的位置P引入一個矢量0P。這個矢量定義為位矢。如圖1-12，S代表上海，G代表廣州，選擇北京的位

12、置 0作為原點，則上海和 廣州的位置可分別由位矢r1=0S和r2=0G來表示。當(dāng)一人自上海乘火車到廣州， 它所走過的路程如圖中的虛線所示， 其長度s代表此人旅程的長度。然而他位置的 變動，即位移，貝U要用矢量 r=SG來表征。由圖可以看出，位移矢量是終點位矢 與起點位矢之差：SG 0G 0S r2 r1在直線運動中質(zhì)點的位移矢量和運動軌道完全重合，在曲線運動中就不是這 樣，只有在厶t很短的情況下，質(zhì)點的位移和運動軌道才可以近似地看作重合；在 t0的極限情況下，位移和軌跡重合。因此在研究運動的速度時，可以把曲線 運動看作是由無窮多個無限短的直線運動所組成。在這樣的條件下我們用“以直代曲”的處理方

13、法來研究曲線運動的速度。t的瞬時速度矢量我們參照直線運動中瞬時速度的概念，將曲線運動中某時刻 表示為：drdt瞬時速度是一個矢量，它的方向為 t-0時厶r的極限方向。如圖1-13所示， r沿AB弦的方向，當(dāng) t-0時，AB趨于A點的切線，所以A點的瞬時速度v的方向是沿A點切線方向的。瞬時速度的數(shù)值叫瞬時速率。由于弧厶s在厶t0的極限情況下和厶r相等，所以瞬時速率為:V譏tds dt圖-14曲線運動中連度的堆呈在曲線運動中，速度的改變包括下述兩個意義：速度大小的改變和速度方向的 改變。例如，勻速率圓周運動的速度的大小雖不變，但方向不斷改變。為了使加 速度這個概念能反映曲線運動的情況， 我們引進瞬

14、時加速度矢量的概念。如圖1-14 所示，在時刻t質(zhì)點位于A點，速度為Va；經(jīng)過 t的時間后質(zhì)點位于B點，速 度為Vb。這樣，在時間厶t內(nèi)，速度的增量為 v= Vb-Va，其瞬時加速度矢量為：t 0 tlim 丄 dVt 0 t dt它既反映速度大小的變化，又反映速度方向的變化。矢量，或稱向量引入物理中表示即有大小又有方向的物理量，如位移、速度、 加速度等，極大的簡化了物理表述，提供了豐富的運算手段。大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用 可用著名的平行四邊形法則來得到。 向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段。 最先使用有向線段表示向量的是英

15、國大科學(xué)家牛頓。在高中階段，僅需掌握兩個 向量的加法（即兩個向量的合成）采用平行四邊形法則即可。一般向量用黑斜體 字母或在字母上加有向箭頭表示。高中我們僅研究兩類二維平面運動：拋體和勻速圓周運動。1.3.2 拋體運動在歐洲中世紀(jì)人們的觀念里，拋體的軌跡由三段組成：初始一段直線，中間一 段圓弧，最后一段垂直下落。伽利略發(fā)現(xiàn)落體是勻加速運動后，第一次正確指出， 拋體的運動可看成是水平的勻速運動和垂直的勻加速運動的合成，其軌跡是拋物 線。在地球表面附近不太大的范圍內(nèi)，重力加速度g可以看成常量。如果再忽略空 氣阻力的話，則拋體運動的水平分量和垂直分量將相互獨立，使問題大為簡化。 取直角坐標(biāo)（如圖1-1

16、6所示），x軸和y軸分別沿水平和豎直方向。拋體運動沿 x 軸方向無加速度，是勻速運動，沿 y軸方向以加速度-g作勻加速運動。設(shè)拋物體 的初速度為Vo，它與x軸成a角，則它的兩分量為 V0x = Vocosa，Voy= Vosina， 在任何時刻t拋體運動的速度分量和坐標(biāo)為：VxV0 cos(1)VyV0 singt (2)x(V0 cos)t(3)y(V0 sin)tIgt22由3式和4式消去t，得軌跡方程y xta nx22V02 cos2這是拋物線方程（見圖1- 16中的實線軌跡，而虛線軌跡是考慮到空氣阻力時 的軌跡）。拋物體所能達到的最大咼度稱為射咼，以ym表示之。由其特征Vy= 0可求

17、得t = Vosina /g,將其代入4式，從而:ymMsin )2拋物體所能達到的最遠點稱為射程，以Xm表示之，則由其特征y = 0可求得t=2Vsin a /g，將其代入3式,從而：XmA/、2Vsin(V0cos )V02 sin 2gg由上式，可得a =45時，xm有最大值。例1: 一人在平板車上，車以8.0m/s的速度勻速行駛（如圖）。此人欲拋一球，使球水平地通過一固定圓環(huán)。圓環(huán)距他的手的高度為4.9m，球拋出的速度相對地為25m/s。試求球的初速度的垂直分量必須是多少？球拋出后經(jīng)過幾秒通過此環(huán)？(3)他必須在環(huán)的前方多遠的水平距離處拋球？Voygt9.89.81.0s(1) 根據(jù)題

18、意，球水平地通過圓環(huán)，即球過環(huán)時，垂直速度分量為零，則有:22IV0y2gh V0：2gh 一 2X9.8X4.9 9.8m/s(3) 設(shè)拋球時車與環(huán)的水平距離為xo,球初速度Vo的水平分量(相對于人或車)為Vox，車速為Vf，則當(dāng)球通過環(huán)時有：Xo(V0x Vf)t(1)因 VxV。球通過圓環(huán)的時間為： V。；(2)由 1 式、2 式有：Xo ( V。2 Vo2y Vf)t將已知條件 Vo=25m/s，Vf=18m/s和已求得的 Voy=9.8m/s、t=1.os代入上式可 求出 xo=41m。討論：涉及拋體運動的問題其實沒有新的公式， 了解拋體運動是水平勻速直線運動和垂直方向加速度為g的均

19、變速直線運動的合成，就只需分別利用前面勻速 直線運動和均變速直線運動的公式即可。 在向上平拋運動的最高點，質(zhì)點僅有水 平速度分量是一個重要的解題條件，需充分利用 。1.3.3 勻速圓周運動1.331圓周運動的角速度和線速度對于圓周運動，可以采用如下圖的極坐標(biāo)，B為極角描述圓周運動的快慢可以采用B角的變化率，即角速度3。lim （rad /s）t 0 t dt在國際單位制中角度采用弧度制，而非我們熟悉的“度”。當(dāng)我們采用度作為 單位時，B角對應(yīng)弧長為：L 答？（毛 ）?R36003600Ro如果設(shè)二，則弧長的表達式將非常簡潔，即L360即為弧度制，從上式我們可以得出弧度與度之間的換算關(guān)系式，即：

20、1rad=180/ 冗也 57.32 ,1 = n /180 也 0.017 45radF面來求圓周運動的速度，也可稱為圓周運動的線速度的大?。ㄋ俾剩﹍im 丄 dLt 0 t dt？R ?Rdt dt這里用到了當(dāng)t趨于零時,位移和軌跡重合，即位移的大小和弧長相等。1.3.3.2 勻速圓周運動當(dāng)物體作勻速圓周運動時，其角速度恒定，線速度的大?。ㄋ俾剩┖愣?，但其 方向不斷地變化著。這時加速度 a沒有與v同方向的分量，它只反映速度 v方向 的改變，總與v垂直，指向圓心。有興趣的可以參考一下下面的論述：現(xiàn)在我們用矢量v方向改變的關(guān)系求勻速圓周運動中的加速度 a.如圖119所 示，設(shè)作勻速圓周運動的質(zhì)

21、點經(jīng)過 A、B點時的速度分別為Va和Vb，由A點運 動到B點所經(jīng)時間為 t,則按加速度的定義有：a= lal圖1-19中OA和0B都等于半徑，故 OAB為等腰三角形。將矢量vB平移, 使其起點與A重合（見圖中虛線矢量），則從 Va末端到Vb末端的矢量即 V=V b-Va。由于在本運動中速率不變，即I Va I = | Vb |,故Va、Vb和厶V三矢 量也構(gòu)成一個等腰三角形。又因 Va丄OA，Vb丄0B，所以它們之間對應(yīng)的頂角相 等（都用a表示），兩等腰三角形相似。令 L為AB的弦長，則由相似三角形得 如下比例關(guān)系：所以|Av| v ZLaTIaT當(dāng)lCI, B點fA點，弦長弧長于是(1 IS

22、)vv2a = li m 卞一=恵 mR At R再看a的方向，即 v的極限方向。在Va、Vb和厶v組成的等腰三角形中， 易見 V和Va的夾角為B=(n - a) 12 (三角形內(nèi)角和等于冗)，當(dāng)厶tf 0時, a 0,故這夾角Qfn /2,即a丄Va.可見，A點加速度方向垂直于A點速度的方 向，亦即沿半徑指向圓心，因此稱為向心加速度。勻速圓周運動的重要公式總結(jié)如下：V R (1)V22a R (2)R有關(guān)勻速圓周運動的所有運動學(xué)問題都可以由上面兩式解決。同時了解勻速周 運動的周期(T)和頻率(v )的關(guān)系式：T=1/ v =2n /3 , 3 =2nv。討論：從2式是否會得出勻速圓周運動的向

23、心加速度大下既可以說與半徑R成反比也可以說與變徑R成正比的結(jié)論。其實對一個圓周運動而言，速度V的大小會隨著R的變化而變化，只有角速度3是獨立于 R的一個變量。在討論向心加速度 與變徑的關(guān)系時就只能用a=R32 or，a是它邊緣上例1:( 92年高考)圖中所示為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為的一點。左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪的半徑為2r。b點在小輪上，到小輪中心的距離為r o c點和d點分別位于小輪和大輪的邊緣上若在傳動過程中,皮帶不打滑。則()(A) a點與b點的線速度大小相等(B) a點與b點的角速度大小相等(C) a點與c點的線速度大小相等(D) a點與d點的向心加速度大小相等分析

24、：對于皮帶傳輸裝置，在皮帶不打滑的情況下，兩輪皮帶各點的線速率相同對本題即Vc=Va。設(shè)c點所在輪的角速度為3, a點所在輪的角速度為3。則有:VcVa?2r?r2Vb?rVa? r, ba22aar? 2 r ? 222 24r, ad4r ?故應(yīng)選擇C、Daa ad1.4相對運動假設(shè)參考系K2相對于參考系Ki的位矢為R(見上圖)，從而K2系相對于Ki系的速度V為：VdRdt若K和&中坐標(biāo)軸始終保持平行，而在參考系 K中質(zhì)點P的位矢、速度、加 速度分別為ri, vi，則在參考系&中其位矢2、速度V2分別為：I.lrbr2 r- RV2聽坐Vi Vdt dtV1 V2 V這就是伽利略速度變換公式，適用于低速宏觀物體。因為推導(dǎo)中兩個參考系的 時間不變，它們建立在 牛頓“絕對時空”觀念之上的。高中階段僅掌握兩個參考系 間的相對運動為直線的情況，如人在運動的小車上行走，V人對地=V人對車+ V車對地。