與平行四邊形有關(guān)地常用輔助線作法歸類解析匯報

1、實用標準文檔與平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析本文結(jié)合例題歸納六類與平行四邊形有關(guān)的常見輔助線，供同學們借鑒：第一類：連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個全等三角形。例 1 如左下圖1，在平行四邊形ABCD 中，點 E, F 在對角線 AC 上，且 AECF , 請你以 F 為一個端點，和圖中已標明字母的某一點連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié) BF BFDE證明：連結(jié)DB,DF , 設(shè) DB,AC 交于點 O四邊形 ABCD 為平行四邊形 AOOC,DO OBAE FC AOAEOC FC即 OEOF四邊形 EBFD 為平行四邊形 BFDE

2、DDCCFOOEA圖 1BABE圖2第二類：平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例 2 如右圖 2，在平行四邊形 ABCD 中，對角線 AC 和 BD 相交于點 O，如果 AC12，BD 10， ABm ，那么 m 的取值范圍是（）AB2 m 22C10 m 12D5 m 61 m 11解：將線段 DB 沿 DC 方向平移， 使得 DBCE ,DC BE,則有四邊形 CDBE 為平行四邊形 , 在 ACE 中 ,AC 12, CEBD10,AE2AB2m12 102m 1210，即 22m22 解得1m11故選 A第三類：過一邊兩端點作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例 3

3、 已知：如左下圖3，四邊形ABCD 為平行四邊形求證： AC 2BD 2AB 2BC 2CD 2DA 2證明：過 A, D 分別作 AEBC于點 E， DFBC 的延長線于點 FAC2AE 2CE 2AB2BE 2(BC BE)2AB 2BC 22BE BCBD 2DF 2BF 2(CD 2CF 2)(BCCF)2CD 2BC 22BC CF則 AC2BD 2AB 2BC 2CD 2DA 22BC CF2BC BE四邊形ABCD 為平行四邊形 AB CD且 ABCD, ADBC文案大全實用標準文檔ABCDCFAEBDFC 90 0ABEDCFBE CFAC2BD 2AB 2BC 2CD 2DA

4、 2EDCD3 1APF2ECFBAKB圖3圖 4第四類：延長一邊中點與頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例 4：已知：如右上圖4，在正方形 ABCD 中， E, F 分別是 CD 、 DA 的中點， BE 與CF 交于 P 點，求證： APAB證明：延長 CF 交 BA 的延長線于點K四邊形 ABCD 為正方形 ABCD且 ABCD,CDAD ,BADBCDD 9001K又DDAK90 0,DFAF CDF KAF AKCDAB CE1 CD, DF1 AD CEDF22BCDD 900BCE CDF 121390 023900CPB900,則KPB 900 AP AB第五類：延長一邊上一

5、點與一頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例 5 如左下圖5，在平行四邊形ABCD 中，點 E 為邊 CD 上任一點，請你在該圖基礎(chǔ)上，適當添加輔助線找出兩對相似三角形。解：延長 AE 與 BC 的延長線相交于F ，則有AED FEC ,FAB FEC ,AED FABAADDENOFCFBECB圖5圖6文案大全實用標準文檔第六類：把對角線交點與一邊中點連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線例 6 已知：如右上圖6，在平行四邊形ABCD 中， ANBN,BE1BC, NE交BD于F，求BF:BD3解：連結(jié) AC 交 BD于點 O, 連結(jié) ON四邊形 ABCD 為平行四邊形 OAOC,OBBDOD2

6、 ANBNON 1BC且ON1 BC BEBF22ONFO BE1 BCBE:ON2 : 3BF23FO3 BF2BF:BD1: 5BO5綜上所述，平行四邊形中常添加輔助線是：連對角線，平移對角線，延長一邊中點與頂點連線等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形（或特殊三角形） 、矩形（梯形）等圖形，為證明解決問題創(chuàng)造條件。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大

7、片。梯形的輔助線口訣：梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。 至于選取哪種方法， 要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法如下：作法圖形文案大全平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。平移對角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。延長兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。中位線與腰中點連線。實用標準文檔ADBECEADBCADBCEFADEBCF（一）、平移1、平移一腰：例 1.如圖所示，在直角梯形ABCD中， A 90&#

8、176;， ABDC，AD15，AB16，BC 17. 求 CD的長 .DC解：過點 D作 DE BC交 AB于點 E.又 ABCD，所以四邊形BCDE是平行四邊形 .所以 DEBC17， CDBE.在 Rt DAE中，由勾股定理，得ABDC222222AEDEAD，即 AE1715 64.所以 AE8.所以 BEABAE 1688.ABE文案大全實用標準文檔即 CD8.例 2 如圖，梯形 ABCD的上底 AB=3，下底 CD=8，腰 AD=4，求另一腰 BC的取值范圍。解：過點 B 作 BM/AD交 CD于點 M，在 BCM中， BM=AD=4，CM=CD DM=CDAB=83=5，所以 B

9、C的取值范圍是：54<BC<54，即 1<BC<9。2、平移兩腰：例 3 如圖，在梯形 ABCD中， AD/BC， B C=90°， AD=1，BC=3，E、F分別是 AD、BC的中點，連接 EF，求 EF的長。解：過點 E 分別作 AB、CD的平行線，交 BC于點 G、 H，可得EGH EHG= B C=90°則 EGH是直角三角形因為 E、F 分別是 AD、 BC的中點，容易證得F 是 GH的中點所以 EF1 GH1 (BCBGCH )221 (BCAEDE )1BC(AE DE )221 (BCAD )1(31)1223、平移對角線：例 4、已

10、知：梯形 ABCD中， AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形 AB CD的面積解：如圖，作 DE AC，交 BC的延長線于 E點文案大全實用標準文檔ADBC四邊形 ACED是平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4 在 DBE中， BD=3，DE=4，BE=5 BDE=90°BDED12作 DHBC于 H，則 DHBE5ADBHCE(AD BC) DH512S梯形 ABCD5622例 5 如圖，在等腰梯形 ABCD中， AD/BC，AD=3，BC=7，BD=5 2 ，求證： A CBD。解：過點 C作 BD的平行線交 AD的延長線于點

11、E，易得四邊形 BCED是平行四邊形，則 DE=BC，CE=BD=5 2 ，所以 AE=ADDE=ADBC=37=10。52，在等腰梯形 ABCD中， AC=BD=所以在 ACE中， AC 2CE 2(5 2)2(5 2)2100 AE 2，從而 ACCE，于是 AC BD。例 6 如圖，在梯形 ABCD中， AB/CD，AC=15cm，BD=20cm，高 DH=12cm，求梯形 ABCD的面積。解：過點 D作 DE/AC，交 BC的延長線于點 E，則四邊形 ACED是平行四邊形，即S ABDS ACD S DCE 。文案大全實用標準文檔所以 S梯形 ABCDS DBE由勾股定理得 EHDE

12、2DH2AC 2DH 21521229 （ cm）BHBD 2DH 220 212 216（cm）S DBE1 BEDH1(916)12 150(cm 2 )所以22，即梯形 ABCD的面積是2150cm。（二）、延長即延長兩腰相交于一點，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 7 如圖，在梯形 ABCD中， AD/BC， B=50°， C=80°， AD=2， BC=5，求 CD的長。解：延長 BA、CD交于點 E。在 BCE中， B=50°， C=80°。所以 E=50°，從而 BC=EC=5同理可得 AD=ED=2所以 CD=ECED=52=3例 8.

13、如圖所示，四邊形ABCD中， AD不平行于 BC，ACBD，ADBC. 判斷四邊形 ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.DC解：四邊形 ABCD是等腰梯形 .證明：延長 AD、BC相交于點 E，如圖所示 .ABACBD， ADBC， ABBA， DAB CBA. DAB CBA.E文案大全DCAB實用標準文檔EAEB.又 ADBC， DE CE， EDC ECD.而 E EAB EBA E EDC ECD180°， EDC EAB， DCAB.又 AD不平行于 BC，四邊形 ABCD是等腰梯形 .（三）、作對角線即通過作對角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 9 如圖 6，在直角梯形 ABCD中

14、，AD/BC，ABAD，BC=CD，BE CD于點 E，求證： AD=DE。解：連結(jié) BD，由 AD/BC，得 ADB=DBE；由 BC=CD，得 DBC= BDC。所以 ADB=BDE。又 BAD= DEB=90°， BD=BD，所以 RtBAD RtBED，得 AD=DE。（四）、作梯形的高1、作一條高例 10 如圖，在直角梯形 ABCD中， AB/DC， ABC=90°， AB=2DC，對角線 A CBD，垂足為 F，過點 F 作 EF/AB，交 AD于點 E，求證：四邊形 ABFE是等腰梯形。文案大全實用標準文檔證：過點 D作 DG AB于點 G，則易知四邊形 DG

15、BC是矩形，所以 DC=BG。因為 AB=2DC，所以 AG=GB。從而 DA=DB，于是 DAB=DBA。又 EF/AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。2、作兩條高ADBEFC例 11、在等腰梯形 ABCD中， AD/BC，AB=CD， ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，求： (1) 腰 AB的長； (2) 梯形 ABCD的面積解：作 AE BC于 E，DF BC于 F，又 ADBC，四邊形 AEFD是矩形，EF=AD=3cmAB=DCBEFC1 (BC EF ) 1cm2在 RtABE中， B=60°， BE=1cmAB=2BE=2cm， AE3BE3cmS梯

16、形 ABCD( AD BC)AE4 3cm22例 12 如圖，在梯形 ABCD中， AD為上底， AB>CD，求證： BD>AC。證：作 AEBC于 E，作 DFBC于 F，則易知 AE=DF。在 RtABE和 Rt DCF中，因為 AB>CD，AE=DF。所以由勾股定理得 BE>CF。即 BF>CE。文案大全實用標準文檔在 RtBDF和 Rt CAE中由勾股定理得 BD>AC（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點，作梯形的中位線。例 13 如圖，在梯形 ABCD中， AB/DC，O是 BC的中點， AOD=90°，求證：ABCD=AD。1證：取 A

17、D的中點 E，連接 OE，則易知 OE是梯形 ABCD的中位線，從而 OE=2（ ABCD）在 AOD中， AOD=90°， AE=DE所以O(shè)E1AD2由、得 ABCD=AD。2、已知梯形兩條對角線的中點，連接梯形一頂點與一條對角線中點，并延長與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例 14 如圖，在梯形ABCD中， AD/BC， E、F 分別是 BD、AC的中點，求證：（ 1） EF/AD；（ 2） EF1 (BC AD) 。2證：連接 DF，并延長交 BC于點 G，易證 AFD CFG 則 AD=CG，DF=GF由于 DE=BE，所以 EF是 BDG的中位線從而 EF/BG，且 E

18、F1 BG2因為 AD/BG， BGBC CG BC AD文案大全實用標準文檔所以 EF/AD，EF1 (BC AD )23、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點時，過這點構(gòu)造出兩個全等的三角形達到解題的目的。0例 15、在梯形 ABCD中， ADBC， BAD=90，E 是 DC上的中點，連接AE和 BE，求 AEB=2 CBE。解：分別延長 AE與 BC ，并交于 F 點0 BAD=90且 ADBC00 FBA=180 BAD=90又 ADBC DAE= F( 兩直線平行內(nèi)錯角相等 )AED=FEC（對頂角相等）DE=EC（E 點是 CD的中點） ADE FCE （ AAS） AE=FE0在 ABF中

19、 FBA=90且 AE=FE BE=FE （直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） 在 FEB中 EBF= FEBAEB=EBF+ FEB=2CBE例 16、已知：如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC，ABBC，E 是 CD中點，試問：線段 AE和 BE之間有怎樣的大小關(guān)系？解： AE=BE，理由如下：延長 AE，與 BC延長線交于點 FDE=CE， AED=CEF，DAE=FADEBCF ADE FCEAE=EFABBC， BE=AE例 17、已知：梯形 ABCD中， AD/BC，E 為 DC中點， EF AB于 F 點， AB=3c m，EF=5cm，求梯形 ABCD的面積文案大全實用標準文檔解：如圖，過 E 點作 MN AB，分別交 AD的延長線于 M點，交 BC于 N 點DE=EC，ADBC DEM CNE四邊形 ABNM是平行四邊形EFAB，2S