專題2-立方和(差)公式、和(差)的立方公式(必講)(張俊).

1、專題二立方和（差）公式、和（差）的立方公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：（ 1）平方差公式( ab)( ab)a2b2 ；（ 2）完全平方公式( ab) 2a22abb2 。我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（ 1）立方和公式( ab)(a2abb2 )a3b3 ；（ 2）立方差公式( ab)(a2abb2 )a3b3 ；（ 3）三數(shù)和平方公式(ab c)2a2b2c22(ab bc ac) ；（ 4）兩數(shù)和立方公式( ab) 3a33a2b3ab2b3 ；（ 5）兩數(shù)差立方公式(ab) 3a33a2b3ab2b3 。對上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明。反過來，就

2、可以利用上述公式對多項式進行因式分解。例 1計算：（1） (32y)(96y 4 y2 ) ；（2） (5 x1 y)(25 x25 xy1 y2 ) ；224（3） (2 x1)(4x22x1) 。分析： 兩項式與三項式相乘，先觀察其是否滿足立方和（差）公式，然后再計算.解：（ 1）原式 = 33(2 y) 327 8 y3 ；（ 2）原式 = (5 x)3( 1 y) 3125x31 y3 ；28（ 3）原式 = 8x34x22 x4x22x1 8x38x24x1。說明： 第（ 1）、（ 2）兩題直接利用公式計算. 第（ 3）題不能直接利用公式計算，只好用多項式乘法法則計算，若將此題第一個

3、因式中“+1”改成“ -1 ”則利用公式計算；若將第二個因式中“ 2x ”改成“2x ”則利用公式計算；若將第二個因式中“2x ”改成“4x ”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式計算(2 x1)(2 x 1) 2(2 x1) 3(2 x) 33(2 x) 2 1 3(2 x) 1 21 38 x312 x26 x 1。例 2計算：（1） ( x31)(x6x3 1)(x91) ；（2） ( x1)(x1)(x2x1)(x2x1)；（3） ( x2y) 2 ( x22xy4 y2 ) 2 ；分析： 利用乘法的交換律、積的乘方，找出滿足立方和（差）的兩個因式，是計算的關(guān)鍵.解：（

4、1）原式 ( x91)(x91) x18 1；（ 2）解法一：原式( x1)(x2x1)( x1)(x2x1) ( x3 1)(x3 1)x6 1 ；解法二：原式( x1)(x1)(x21)x( x21)x( x2 1)( x2 1)2x2 (x21)(x4x21)x61 ；（ 3）原式 ( x2 y)( x22xy 4 y2 ) 2( x38 y3 ) 2x616x3 y364 y6 。說明： 第（ 2）、（ 3）題往往先用立方和（差）公式計算簡捷. 相反，如第（ 2）題的第二種解法就比較麻煩 .例 3 因式分解：（1） x3 y3125 ；（ 2） a 27 a4 ；（3） x6y6 。分

5、析： 對照立方和（差）公式，正確找出對應(yīng)的a, b 是解題關(guān)鍵，然后再利用立方公式分解因式。解：（ 1）原式( xy)353(xy 5)(x2 y25xy25) ；（ 2）原式a(127a3 ) a13(3a)3 a(13a)(13a 9a2 )（ 3）原式( x3 )2( y3 )2( x3y3 )( x3y3 ) ( xy)( x2xyy2 )( x y)( x2xy y2 ) 。說明 ：我們可嘗試一下，第(3) 題先用立方差公式分解就比較復(fù)雜，會導(dǎo)致有的同學(xué)分解不徹底。例 設(shè) xy5, xy1 , 試求 x3y3 的值。分析： 對于立方和公式 a3b3(a b)(a2ab b2 )，我們

6、不難把它變成：a3b3( ab)( a b) 23ab ，即 a3b3(a b )33ab a(b )，再應(yīng)用兩數(shù)和、 兩數(shù)積解題較為方便。解： x3y3( x y)33xy(xy) 533( 1) 5 140。說明： 立方和（差）與和（差）的立方之間可以相互轉(zhuǎn)化。例5如果ABC 的三邊 a,b,c 滿足 a3a2bab 2ac2bc2b30，試判斷ABC 的形狀。分析： 直接看不出三角形邊之間的關(guān)系， 可把左邊的多項式分解因式， 變形后再找出三角形三邊之間的關(guān)系。解： 因為 a3a2b ab2ac 2bc 2b30 ，所以 a3b3( a2 b ab2 ) ( ac2bc2 ) 0 ，即 (

7、ab)(a2ab b2 )ab(ab)c2 ( ab) 0 ，(a b)( a2b2c2 )0 ，所以 ab 或 a2b2c2 ，因此 ABC 是等腰三角形或直角三角形 .說明： 此類題型，通常是把等式一邊化為零，另一邊利用因式分解進行恒等變形.練習(xí)1. 計算：（1） (4a)(16 4aa2 ) ；（2） (2 a1 b)(4 a22 ab1 b2 ) ；339（ 3） ( x 1)(x2 x 1) ；（4） x( x2)2( x22x4)(x2) 。2. 計算：（1） ( x2)( x2)2 (x22x4)( x22x4)；（2） (2 x3y)3 ；（3） (51 b)3 ；3（ 4）

8、( m 1)3 (m2 m 1)3 。3分解因式：（1） (2 x1)3x3 ；（2）27x38 y3 ；（3）2x31y3；4（4） m664 。4化簡：abaabb 。abaabb5若 a bc0 ，求證： a3a2cb2c abc b30 。6（ 1）已知 mn2，求 m3n36mn 的值；（ 2）已知： xy1，求 x3y33xy 的值 .7已知兩個正方體，其棱長之總和為48cm，體積之和為28cm3，求兩個正方體的棱長.8.已知 ab1，求 a33abb3 的值。9.已知 ab2, ab 48，求a4b4 的值。10. 已知實數(shù) a, b,c 滿足 abc0 ， ab c1,a2b2c22,a3b3c3 ，求 abc 的值。答案：1（ 1） 64a3 ；（ 2） 8a31 b3 ；（ 3）x31；（4）4x24x 8 。272（ 1） x664 ；（ 2） 8x336x2 y54xy227 y3 ；（ 3） 12525b5 b21b3 ；（4） m93m63m31。3273、（ 1） (3 x1)(3x23x1)；（ 2） (3x2y)(9 x26xy4 y2 ) ；（ 3） 1 (2 x y)(4 x22x