九年級數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)代幾綜合問題

1、中考沖刺：代幾綜合問題【中考展望】代幾綜合題是初中數(shù)學(xué)中覆蓋面最廣、綜合性最強(qiáng)的題型.近幾年的中考壓軸題多以代幾綜合題的 形式出現(xiàn).解代幾綜合題一般可分為“認(rèn)真審題、理解題意；探求解題思路：正確解答”三個(gè)步驟，解 代幾綜合題必須要有科學(xué)的分析問題的方法.數(shù)學(xué)思想是解代幾綜合題的靈魂，要善于挖掘代幾綜合題 中所隱含的重要的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論的思想、方程（不等式）的思想等，把實(shí)際問題 轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，這是學(xué)習(xí)解代幾綜合題的關(guān)鍵.題型一般分為：（1）方程與幾何綜合的問題：（2）函數(shù)與幾何綜合的問題：（3）動態(tài)幾何中的函數(shù) 問題；（4）直角坐標(biāo)系中的幾何問題：（5）幾何圖形

2、中的探究、歸納、猜想與證明問題.題型特點(diǎn)：一是以幾何圖形為載體，通過線段、角等圖形尋找各元素之間的數(shù)量關(guān)系，建立代數(shù)方 程或函數(shù)模型求解；二是把數(shù)量關(guān)系與幾何圖形建立聯(lián)系，使之直觀化、形象化，從函數(shù)關(guān)系中點(diǎn)與線 的位置、方程根的情況得出圖形中的幾何關(guān)系.以形導(dǎo)數(shù)，由數(shù)思形，從而尋找出解題捷徑.解代幾綜 合題要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，關(guān)犍是要從題目中尋找這兩部分知識的結(jié) 合點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)解題的突破口.【方法點(diǎn)撥】方程與幾何綜合問題是中考試題中常見的中檔題，主要以一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān) 系為背景，結(jié)合代數(shù)式的恒等變形、解方程（組）、解不等式（組）、函數(shù)等知識.其

3、基本形式有：求代 數(shù)式的值、求參數(shù)的值或取值范圍、與方程有關(guān)的代數(shù)式的證明.函數(shù)型綜合題主要有：幾何與函數(shù)結(jié)合型、坐標(biāo)與幾何、方程與函數(shù)結(jié)合型問題，是各地中考試題 中的熱點(diǎn)題型.主要是以函數(shù)為主線，建立函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)、方程等解題.解題時(shí)要注意 函數(shù)的圖象信息與方程的代數(shù)信息的相互轉(zhuǎn)化.例如函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為相應(yīng)方程的根： 點(diǎn)在函數(shù)圖象上即點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式等.函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是中考命題的主要考查對象，由于這類題型能較好地考查學(xué) 生的函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，能較全面地反映學(xué)生的綜合能力，有較好的 區(qū)分度，因此是各地中考的熱點(diǎn)

4、題型.幾何綜合題考查知識點(diǎn)多、條件隱晦，要求學(xué)生有較強(qiáng)的理解能力，分析能力，解決問題的能力， 對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法有較強(qiáng)的駕馭能力，并有較強(qiáng)的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力.1 .幾何型綜合題，常以相似形與圓的知識為考查重點(diǎn)，并貫穿其他幾何、代數(shù)、三角等知識，以 證明、計(jì)算等題型出現(xiàn).2 .幾何計(jì)算是以幾何推理為基礎(chǔ)的幾何量的計(jì)算，主要有線段和弧長的計(jì)算，角的計(jì)算，三角函 數(shù)值的計(jì)算，以及各種圖形而積的計(jì)算等.3 .幾何論證題主要考查學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)幾何知識的能力.4 .解幾何綜合題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）注意數(shù)形結(jié)合，多角度、全方位觀察圖形，挖掘隱含條件，尋找數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系；（2）注意推理和計(jì)算相結(jié)合

5、，力求解題過程的規(guī)范化；（3）注意掌握常規(guī)的證題思路，常規(guī)的輔助線作法；（4）注意靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法.【典型例題】類型一、方程與幾何綜合的問題例1.如圖，RtZABC中，NC=90° , BC=8cm> AC=6cm.點(diǎn)P從B出發(fā)沿BA向A運(yùn)動，速度為每秒1cm, 點(diǎn)E是點(diǎn)B以P為對稱中心的對稱點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動的同時(shí)，點(diǎn)Q從A出發(fā)沿AC向C運(yùn)動，速度為每秒2cm, 當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)頂點(diǎn)C時(shí)，P, Q同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)P, Q兩點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t秒.（1）當(dāng)t為何值時(shí),PQ/7BC?（2）設(shè)四邊形PQCB的面積為y,求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）四邊形PQCB面積能否是AABC面積的2?

6、若能，求出此時(shí)t的值：若不能，請說明理由；5<4）當(dāng)t為何值時(shí)，AAEQ為等腰三角形？（直接寫出結(jié)果）舉一反三：_【變式】如圖1，在菱形ABCD中，AB=g缶，tanNABC=2,點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速 度沿著射線DR的方向勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t （秒），將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a （ a=Z BCD）,得到對應(yīng)線段CF.（1）求證:BE=DF；（2）當(dāng)t=秒時(shí)，DF的長度有最小值，最小值等于：（3）如圖2,連接BD、EF、BD交EC、EF于點(diǎn)P、Q,當(dāng)t為何值時(shí)，/EPQ是直角三角形？（4）如圖3,將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角« （a=ZBCD）

7、,得到對應(yīng)線段CG.在點(diǎn)E的運(yùn)動過 程中，當(dāng)它的對應(yīng)點(diǎn)F位于直線AD上方時(shí)，直接寫出點(diǎn)F到直線AD的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式.類型二、函數(shù)與幾何綜合問題例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)0出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長的速度運(yùn)動t （t >0）秒，拋物線y=x二+bx+c經(jīng)過點(diǎn)0和點(diǎn)P.已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A （1, 0）、B （1, 一5）、D （4, 0）.求c、b （可以用含t的代數(shù)式表示）：當(dāng)t>l時(shí)，拋物線與線段AB交于點(diǎn)Y.在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，你認(rèn)為NAMP的大小是否會變化？若變 化，說明理由；若不變，求出NAMP的值：在矩形ABCD的內(nèi)部（不含邊

8、界），把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”.若拋物線將這些“好點(diǎn)” 分成數(shù)量相等的兩部分，請直接寫出t的取值范圍. 類型三、動態(tài)幾何中的函數(shù)問題例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系火廳中，已知二次函數(shù)y = aP+2ax + c的圖象與），軸交于C（0,3）,與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3,0）（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，若直線0M把四邊形ACDB分成面積為1:2的兩部分， 求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)：（3）點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，問：點(diǎn)P在何處時(shí)CP3的面積最大？最大面積是多 少？并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).舉一反三：【變式】如圖所示，四邊形

9、OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3, 0）, （0, 1）,點(diǎn)D是線段BC上的 動點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過點(diǎn)D作直線y = ;x交折線0AB于點(diǎn)E.（1）記AODE的面積為S,求S與的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段0A上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形0ABC”試探究OABC： 與矩形OABC的重登部分的而枳是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積：若改變，請說明理由.類型四、直角坐標(biāo)系中的幾何問題例4.如圖所示，以矩形OABC的頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，0A所在的直線為x軸，0C所在的直線為y軸，建立平 面直角坐標(biāo)系.已知0A=3, 0C=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在0A上取一點(diǎn)

10、D,將aBDA沿BD翻折，使點(diǎn)A 落在BC邊上的點(diǎn)F處.（1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；（2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半軸于點(diǎn)P,且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求 該拋物線的解析式；（3）在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、X,使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的 最小值：如果不存在，請說明理由.類型五、幾何圖形中的探究、歸納、猜想與證明問題例5.如圖所示，以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個(gè)等腰直角三角形ABA1,再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個(gè)等腰直角三角形，如此作下去，若OA=OB=1,則 第n個(gè)等腰直角三角形的面積S= (n為正整數(shù))

11、.舉一反三：【變式】閱讀下面的文字，回答后面的問題.求3+343斗+3'00的值.解：令 S=3+3434+3儂(1),(2),將等式兩邊提示乘以3得到：3s=3二+3'+3'+3皿(2) - (1)得到：2S=310l-33+32+35+31C0=問題：(1)2+24+230”的值為；(直接寫出結(jié)果)(2)求 4+12+36+4X3'的值:(3)如圖，在等腰RtAOAB中，0A=AB=L以斜邊0B為腰作第二個(gè)等腰Rt4OBC,再以斜邊0C為腰作 第三個(gè)等腰RtOCD,如此下去一直作圖到第8個(gè)圖形為止.求所有的等腰直角三角形的所有斜邊之 和.(直接寫出結(jié)果).【

12、鞏固練習(xí)】一、選擇題L如圖，0是邊長為4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P由A開始沿折線A - B - >1方向 勻速運(yùn)動，到M時(shí)停止運(yùn)動，速度為lcin/s.設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為t (s),點(diǎn)P的運(yùn)動路徑與OA、0P所 圍成的圖形而積為S (cm2),則描述面積S (cm:)與時(shí)間t (s)的關(guān)系的圖象可以是()D2 .如圖，夜晚，小亮從點(diǎn)A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點(diǎn)B,他的影長y隨他與點(diǎn)A之間的距離 x的變化而變化，那么表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致為()二、填空題3 .在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4, 0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4, 10),點(diǎn)C在y軸上，且AA

13、BC是直角三角形，則滿足條件的C點(diǎn)的坐標(biāo)為.4 .如圖，在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)A】（2, 0）,作x軸的垂線與直線y=2x交于點(diǎn)Bi,作等腰直角三角形AiBiA?; 又過點(diǎn)A2作x軸的垂線交直線y=2x交于點(diǎn)正，作等腰直角三角形A?B2A3：，如此反復(fù)作等腰直角 三角形，當(dāng)作到An （n為正整數(shù)）點(diǎn)時(shí)，則An的坐標(biāo)是.三、解答題5 .如圖，在 RtZABC 中，NC=900 , AC=4cm, BC=5cm,點(diǎn) D 在 BC 上，且 CD=3cm,現(xiàn)有兩個(gè)動點(diǎn) P, Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動：點(diǎn)Q以L25厘米/秒的 速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動.過點(diǎn)P作PEB

14、C交AD于點(diǎn)E,連接EQ.設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t秒（t>0）.(1)(2)連接DP,經(jīng)過1秒后，四邊形EQDP能夠成為平行四邊形嗎？請說明理由;連接PQ，在運(yùn)動過程中，不論t取何值時(shí)，總有線段PQ5線段AB平行.為什么？(3)當(dāng)t為何值時(shí)，£口!?為直角三角形.6 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是梯形，0A/7BC,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6, 0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為 <3, 4）,點(diǎn)C在y軸的正半軸上.動點(diǎn)M在0A上運(yùn)動，從0點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)；動點(diǎn)N在AB上運(yùn)動，從A 點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn).兩個(gè)動點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都是每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn) 也隨即停止，設(shè)兩個(gè)點(diǎn)

15、的運(yùn)動時(shí)間為t （秒）.（1）求線段AB的長；當(dāng)t為何值時(shí)，MN0C?（2）設(shè)QIN的面積為S,求S與t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；S是否有最小 值？若有最小值，最小值是多少？7 .條件：如下佟I，A、B是直線1同旁的兩個(gè)定點(diǎn).問題：在直線1上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小.方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A',連接N B交1于點(diǎn)P,則PA+PB=R' B的值最?。ú槐刈C明）. 模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2, E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動點(diǎn).連接BD,由正方形對稱 性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是；（

16、2）如圖2,。0的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。上，0A±0B, NA0C=60° , P是0B上一動點(diǎn)，求PA+PC 的最小值；（3）如圖3, ZA0B=45° , P是NA0B內(nèi)一點(diǎn)，P0=10, Q、R分別是0A、0B上的動點(diǎn)，求APOR周長 的最小值.8 .如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系的矩形紙片，0為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上, 0A=15, 0C=9,在AB上取一點(diǎn)M,使得ACBM沿CM翻折后，點(diǎn)B落在x軸上，記作N點(diǎn).（1）求N點(diǎn)、M點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）將拋物線產(chǎn)x二-36向右平移a （0<a<10）個(gè)單位后，得到拋物線工2經(jīng)

17、過點(diǎn)N,求拋物線1 的解析式：（3）拋物線】的對稱軸上存在點(diǎn)P,使得P點(diǎn)到M、N兩點(diǎn)的距離之差最大，求P點(diǎn)的坐標(biāo)； 若點(diǎn)D是線段0C上的一個(gè)動點(diǎn)（不與0、C重合），過點(diǎn)D作DE0A交CN于E,設(shè)CD的長為m, PDE的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明S是否存在最大值？若存在，請求出最大值： 若不存在，請說明理由.9 .如圖，直線產(chǎn)kx-1與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，tanNOCB.2（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)和k的值：（2）若點(diǎn)R（X, y）是第一象限內(nèi)的直線y=kx-1上的一個(gè)動點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動過程中，試寫出aAOB 的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）探索：在（2）的條件下：當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到什

18、么位置時(shí)，AOB的面積是工4在成立的情況下，X軸上是否存在一點(diǎn)P,使aPOA是等腰三角形？若存在，請寫出滿足條件的 所有P點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.10 .如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax- 2ax - 3a （a<0）與x軸交于A, B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn) B的左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)A的直線L廠kx+b與y軸交于點(diǎn)C,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且CD=4AC.（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線1的函數(shù)表達(dá)式（其中k, b用含a的式子表示）；（2）點(diǎn)E是直線1上方的拋物線上的一點(diǎn)，若4ACE的面積的最大值為至，求a的值；4（3）設(shè)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A, D, P, Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？ 若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.1L如圖，已知等邊三