【KS5U解析】河南省開(kāi)封市五縣聯(lián)考2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題 Word版含解析

1、開(kāi)封五縣聯(lián)考高二期末考試數(shù)學(xué)（文科）第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，是兩個(gè)變量，下列四個(gè)關(guān)系中，呈負(fù)相關(guān)的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)變量，的散點(diǎn)圖，即可確定.【詳解】根據(jù)的散點(diǎn)圖可知，不呈負(fù)相關(guān).選項(xiàng)a，排除.根據(jù)的散點(diǎn)圖可知，不呈負(fù)相關(guān).選項(xiàng)b，排除.根據(jù)的散點(diǎn)圖可知，呈正相關(guān).選項(xiàng)c，排除.根據(jù)的散點(diǎn)圖可知，呈負(fù)相關(guān).選項(xiàng)d，成立.故選：d【點(diǎn)睛】本題考查變量的相關(guān)性，數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于較易題.2.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（ ）

2、a. 2b. 4c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的平均變化率的公式，求解即可.【詳解】故選：b【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的平均變化率，屬于容易題.3.雙曲線：的離心率是（ ）a. 3b. c. 2d. 【答案】d【解析】【分析】雙曲線：化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，則，根據(jù)離心率公式，求解即可.【詳解】雙曲線：化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，其離心率是.故選：d【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)化，是解決本題的關(guān)鍵，屬于較易題.4.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先求定義域，再求導(dǎo)數(shù)，令解不等式，即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榱睿獾霉蔬x：d【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)

3、數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.5.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則實(shí)數(shù)（ ）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】c【解析】【分析】先確定在曲線，求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率，列方程，求解即可.【詳解】將點(diǎn)代入曲線中，得，所以點(diǎn)在曲線上，求導(dǎo)得，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.因?yàn)橐阎芯€方程為，所以切線的斜率為1.依題意，解得.故選：c【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于較易題.6.某公司在20142018年的收入與支出情況如下表所示：收入（億元）2.22.43.85.26.0支出（億元）0.21.52.02.53.8根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，依此估計(jì)如果2019年該公司收入為8

4、億元時(shí)的支出為（ ）a. 4.502億元b. 4.404億元c. 4.358億元d. 4.856億元【答案】d【解析】【分析】先求，根據(jù)，求解，將代入回歸直線方程為，求解即可.【詳解】，即令，則故選：d【點(diǎn)睛】本題考查回歸分析，樣本中心點(diǎn)滿足回歸直線方程，是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.7.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）a. 90b. 110c. 45d. 55【答案】d【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，,根據(jù)，列方程組，求解與，即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，由，可知，解得.所以，則.故選：d【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和，屬于中檔題.8.已知雙曲線，點(diǎn)，是雙曲

5、線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】連接，取的中點(diǎn)，連接，則，在中，即，求解，即可.【詳解】如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，則.由，則.即.在中，則，即.所以雙曲線的漸近線方程為.故選：c【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線，屬于中檔題.9.設(shè)函數(shù)，若時(shí)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題意變形整理為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求在上的最小值，求解即可.【詳解】時(shí)，即，對(duì)成立.令，則令，即，解得.令，即，解得在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).故選：b【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，求參數(shù)

6、的取值范圍，屬于難題.10.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（ ）a. 4b. 3c. 2d. 1【答案】b【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義和三角形相似、可知，進(jìn)而可求得結(jié)果?！驹斀狻咳鐖D所示：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用拋物線定義得到.設(shè)準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)，因，所以，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，所以， 所以.故選b.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題。解決圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題，注意初中平面幾何中結(jié)論的運(yùn)用。11.已知函數(shù)，點(diǎn)、為函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，且過(guò)、兩點(diǎn)的切線互相垂直，若，則的最小值為（ ）a. 1b. c. d. 2【答案】a【解析】【

7、分析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可知，再將變形為，根據(jù)均值不等式，求解即可.【詳解】，過(guò)、兩點(diǎn)的切線互相垂直.，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立的最小值為1.故選：a【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及均值不等式，屬于難題.12.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，并且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】將變形為，根據(jù)均值不等式可知，由題意可知，解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所?所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，若使得恒成立則需，即，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：d【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式，屬于較難題.第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共2

8、0分.13.不等式的解集為_(kāi).【答案】或【解析】【分析】不等式，變形為，求解即可.【詳解】，解得或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式，屬于較易題.14.若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，利用數(shù)形結(jié)合求目標(biāo)函數(shù)的最小值，即可.【詳解】由約束條件畫(huà)出可行域，如圖所示.由圖可知，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問(wèn)題，屬于較易題.15.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，若的內(nèi)切圓的面積為，則橢圓方程為_(kāi).【答案】【解析】【分析】由題意可知，為等腰三角形，根據(jù)面積相等，確定，再根據(jù)，求解即可.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，

9、則其內(nèi)切圓面積為，解得由題意可知，為等腰三角形，且，即，得又 ，橢圓方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，等面積轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，在第一象限交拋物線于、兩點(diǎn)，則的值為_(kāi).【答案】8【解析】【分析】由題意可知圓的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，整理的，設(shè)，確定，求解即可.【詳解】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為則，即圓的方程為則，變形整理得，設(shè)，則、為方程的兩根.即由拋物線定義可知，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì)，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

10、17.為了解某班學(xué)生喜好體育運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對(duì)本班60人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：喜好體育運(yùn)動(dòng)不喜好體育運(yùn)動(dòng)合計(jì)男生5女生10合計(jì)60已知按喜好體育運(yùn)動(dòng)與否，采用分層抽樣法抽取容量為12的樣本，則抽到喜好體育運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為7.（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜好體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由；下面的臨界值表供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中）【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析；（2）能，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析

11、】（1）根據(jù)分層抽樣可知喜好體育運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為，其中男生人數(shù)為，則不喜好體育運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為，其中女生人數(shù)為，本班女生人數(shù)為，本班男生人數(shù)為，填表即可.（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式，求解，與比較，得出結(jié)論，即可.【詳解】（1）設(shè)喜好體育運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為人，由已知得解，.列聯(lián)表補(bǔ)充如下：喜好體育運(yùn)動(dòng)不喜好體育運(yùn)動(dòng)合計(jì)男生25530女生102030合計(jì)352560（2）.能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為喜好體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于中檔題.18.已知數(shù)列中，且滿足.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）由題意可知，

12、則，解方程即可.（2）由（1）可知，則，分別用，替換上式中的，再將這些等式相加，運(yùn)用累差疊加法，求解即可.【詳解】（1）由，得.即.所以，所以，化簡(jiǎn)得，解得或.（2）在（1）的情況下，若則，即將上述各式相加：數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【點(diǎn)睛】本題考查累差疊加法求數(shù)列通項(xiàng)公式.屬于中檔題.19.已知拋物線焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線的方程【答案】（1）；（2）或【解析】【試題分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，結(jié)合拋物線的定義可求得，拋物線方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去，寫(xiě)出韋

13、達(dá)定理，代入，化簡(jiǎn)可求得，即求得直線方程.【試題解析】（1）由點(diǎn)在拋物線上，有，解得，由拋物線定義有：，解：，故拋物線的方程為（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，消去得：，故有：， ，則，故，解得：，所求直線方程為：或20.已知函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為2.（1）求函數(shù)的極值；（2）求證：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）極小值為，沒(méi)有極大值；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先求定義域?yàn)?，再求?dǎo)數(shù)為，由題意可知，解得，則，確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求解即可.（2）由（1）可知的單調(diào)性，分別確定、的正負(fù)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可.【詳解】（1）解：定義域?yàn)?是的極值點(diǎn) 時(shí)，；時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.有極

14、小值為，沒(méi)有極大值.（2）證明：由（1）知的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.有1個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，有1個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，只有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，屬于較難的題.21.在平面直角坐標(biāo)系中，四個(gè)點(diǎn)，中有3個(gè)點(diǎn)在橢圓：上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（，不是橢圓的頂點(diǎn)），點(diǎn)在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，證明：存在常數(shù)使得，并求出的值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，關(guān)于軸對(duì)稱的，在橢圓上.分類討論，當(dāng)在橢圓上時(shí)，當(dāng)在橢圓上時(shí)，分別求解，根據(jù)

15、確定，即可.（2）設(shè)，由題意可知，設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，變形整理得，確定，從而，直線的方程為，分別令、確定點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線，的斜率分別為，求解即可.【詳解】（1），關(guān)于軸對(duì)稱.這2個(gè)點(diǎn)在橢圓上，即當(dāng)在橢圓上時(shí)，由解得，.當(dāng)在橢圓上時(shí)，由解得，又，橢圓的方程為.（2）設(shè)，則.因?yàn)橹本€的斜率，又.所以直線的斜率.設(shè)直線的方程為，由題意知，.由可得，所以，.由題意知，所以，所以直線的方程為，令，得，即，可得，令，得，即，可得，所以，即，因此，存在常數(shù)使得結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難的題.22.已知函數(shù)，.（1）若曲線與在點(diǎn)處有相同的切線，求函數(shù)的極值；（2）若，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）的極大值，極小值為；（2）時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，沒(méi)有減區(qū)間；時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)，分別求導(dǎo)，根據(jù)曲線與在點(diǎn)處有相同的切線，可知，解得，從而得到，求，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求極值