天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本模型與方法

1、天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本模型與方法 天體運(yùn)行問(wèn)題的分析與求解， 與求解的關(guān)鍵是建模能力。一、基本模型 計(jì)算天體間的萬(wàn)有引力時(shí)，是牛頓第二定律與萬(wàn)有引力定律的綜合運(yùn)用,問(wèn)題的分析將天體視為質(zhì)點(diǎn)，天體的全部質(zhì)量集中于天體的中心；一天研究天體的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，將天體視為均勻球體。體繞另一天體的穩(wěn)定運(yùn)行視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)；二、基本規(guī)律1.天體在軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，具有向心加速度，需要向心力。所需向心力由中心天體對(duì)它的萬(wàn)有引力提供。設(shè)質(zhì)量為m的天體繞質(zhì)量為 M的天體，在半徑為r的軌道上以速度 v勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律及萬(wàn)有引力定律有:就是分析與求解天體運(yùn)行問(wèn)題的基本關(guān)系式，由于有線速度與角速度關(guān)系

2、2?r0 二與周期關(guān)系,這一基本關(guān)系式還可表示為：宀 Mm* 2tt.Lt二 rar 或2.在天體表面,物體所受萬(wàn)有引力近似等于所受重力。設(shè)天體質(zhì)量為M半徑為R其表面的重力加速度為g,由這一近似關(guān)系有:GM卞=噸，即汁茁。這一關(guān)系式的GM應(yīng)用，可實(shí)現(xiàn)天體表面重力加速度 g與的相互替代，因此稱(chēng)GM丈為“黃金代換”。3 .天體自轉(zhuǎn)時(shí)，表面各物體隨天體自轉(zhuǎn)的角速度相同，等于天體自轉(zhuǎn)角速度，由于赤道上物體軌道半徑最大，所需向心力'丄：二 最大。對(duì)于赤道上的物體，由萬(wàn)有引力定律及牛頓第二定律有：E，式中N為天體表面對(duì)物體的支持力。如果天體自轉(zhuǎn)角速度過(guò)大，赤道上的物體將最先被“甩”出，“甩”出的臨

3、界條件是:N=0,此時(shí)有:人，由此式可以計(jì)算天體不瓦解所對(duì)應(yīng)的最大自轉(zhuǎn)角速度；如果已知天體自G轉(zhuǎn)的角速度，由 匸弊二曲/ M = -p及*可計(jì)算出天體不瓦解的最小密度。三、常見(jiàn)題型1 .估算天體質(zhì)量問(wèn)題由關(guān)系式亠 可以看出，對(duì)于一個(gè)天體，只要知道了另一天體繞它運(yùn)行的軌道半徑及周期，可估算出被繞天體的質(zhì)量。例1.據(jù)媒體報(bào)道，嫦娥一號(hào)衛(wèi)星環(huán)月工作軌道為圓軌道，軌道高200km,運(yùn)行周期為127分鐘。若還知道引力常量和月球半徑，僅利用以上條件不能求出的是A. 月球表面的重力加速度B.月球?qū)πl(wèi)星的吸引力C.衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速度D.衛(wèi)星繞月運(yùn)行的加速度解析：設(shè)月球質(zhì)量為 M半徑為R,月面重力加速度為 g,

4、衛(wèi)星高度為h,運(yùn)行周期為T(mén), 線速度為v,加速度為a,月球?qū)πl(wèi)星的吸引力為F。對(duì)于衛(wèi)星的繞月運(yùn)行，由萬(wàn)有引力定律及牛頓第二定律有：二用（R十肋（竺-，由此式可求知月球的質(zhì)量GMg M。由“黃金代換”有：二,2玳R+捫V 二由這兩式可求知月面重力加速度 g。由線速度的定義式有：了，由此式可求知GMmy 二 ma衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速度。 由萬(wàn)有引力定律及牛頓第二定律有：丁,由此式可求知繞月運(yùn)行的加速度。由萬(wàn)有引力定律有：1 ，由于不知也不可求知衛(wèi)星質(zhì)量 m因此，不能求出月球?qū)πl(wèi)星的吸引力。故，本題選Bo2 .估算天體密度問(wèn)題若已知天體的近“地”衛(wèi)星（衛(wèi)星軌道半徑等于天體半徑）的運(yùn)行周期，可以估算出天

5、體的密度。例2天文學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽(yáng)系外的一顆行星。這顆行星的體積是地球的4.7倍，質(zhì)量是地球的25倍。已知某一近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期約為1.4小時(shí)，引力常量 G=6.67 x 10-11N- m/kg2,由此估算該行星的平均密度約為333343A. 1.8 x 10 kg/mB. 5.6 x 10 kg/mC. 1.1 x 10 kg/ mD. 2.439x 10 kg/mMm”斗 “rG =泗咫 ）Af = 一 7K解析：對(duì)于近地衛(wèi)星饒地球的運(yùn)動(dòng)有：，而; ，代入已知數(shù)據(jù)解得：P =2.9 x 104kg/m3。本題選D3 .運(yùn)行軌道參數(shù)問(wèn)題對(duì)于做圓周運(yùn)動(dòng)的天體，若已知它的軌道半徑，可以計(jì)

6、算它的運(yùn)行線速度、角速度、周期等運(yùn)行參數(shù)，并且可以看出，這些參數(shù)取決于軌道半徑。例3 最近，科學(xué)家在望遠(yuǎn)鏡中看到太陽(yáng)系外某一恒星有一行星，并測(cè)得它圍繞該恒星運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間為1200年，它與該恒星的距離為地球到太陽(yáng)距離的100陪。假定該行星繞恒星運(yùn)行的軌道和地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道都是圓周，僅利用以上兩個(gè)數(shù)據(jù)可以求出的量有A.恒星質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量之比B 恒星密度與太陽(yáng)密度之比C.行星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比D .行星運(yùn)行速度與地球公轉(zhuǎn)速度之比解析：由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有:，解得：二由題意可知，能求出恒星質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量之比。由 及題意可知，能求出行星運(yùn)行速度與地球公轉(zhuǎn)速度之比。本題選 AD。4 .

7、人造地球衛(wèi)星問(wèn)題人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道的中心與地球球心重合。同步通信衛(wèi)星的軌道與赤道平面重合，運(yùn)行的角速度（或周期）與地球的自傳角速度（或周期）相同，距地面的高度一定。近地衛(wèi)星的軌 道半徑與地球半徑相等。例4.已知地球半徑為 R,地球表面重力加速度為 g,不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響（1）推導(dǎo)第一宇宙速度 vi的表達(dá)式；（2） 若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離地面高度為h,求衛(wèi)星的運(yùn)行周期解析：（1）第一宇宙速度等于近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度。設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m地球的質(zhì)量宀MmG7-=啊為M在地球表面附近滿(mǎn)足匸” -，衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于它受到的萬(wàn)有引G 二杭丄rr力，即，解得（2）對(duì)于衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)

8、，由萬(wàn)有引力定律及牛頓第二定律有：ri Mm _2衛(wèi)+初T=（尺我廠盼幻，而,解得：5 g例5某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽(yáng) 照射的此衛(wèi)星。試問(wèn)春分那天（太陽(yáng)光直射赤道）在日落后12小時(shí)內(nèi)有多長(zhǎng)時(shí)間該觀察者看不見(jiàn)此衛(wèi)星？已知地球半徑為R地球表面處的重力加速度為g,地球自轉(zhuǎn)周期為 T,不考慮大氣對(duì)光的折射。圖1解析：如圖1所示，E為地球赤道，S表示衛(wèi)星，A表示觀察者，0表示地心。由圖知春分那天日落后，當(dāng)衛(wèi)星由位置 S運(yùn)動(dòng)到S位置過(guò)程中，恰好處于地球的陰影區(qū)域， 衛(wèi)星無(wú)法反射陽(yáng)光，觀察者看不到衛(wèi)星。設(shè)地球質(zhì)量、衛(wèi)星質(zhì)量分別為m m衛(wèi)星軌道及地球半徑分Cr=籾

9、叫）別為r、R由萬(wàn)有引力定律及牛頓第二定律有：丁 ，由幾何關(guān)系有：”三工F二一：，觀察不到衛(wèi)星的時(shí)間為:，在地球表面有：'。解得:7 一4打牛?律t - ji csiiiC)'。5“相遇”問(wèn)題若某天體有兩顆軌道共面的衛(wèi)星，從某次它們?cè)谔祗w中心同側(cè)與天體中心共線（兩衛(wèi)星相距最近）到下次出現(xiàn)這一情形的時(shí)間與兩衛(wèi)星角速度間滿(mǎn)足關(guān)系：（對(duì)叫）血=2顧，舟三123。例6如圖2所示，A是地球的同步衛(wèi)星。另一衛(wèi)星 B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離 地面高度為 h。已知地球半徑為 R地球自轉(zhuǎn)角速度為 3。，地球表面的重力加速度為 g, O 為地球中心。（2）由題意應(yīng)有：'一一：-,而，由

10、于衛(wèi)星A是同步衛(wèi)星，故:（1）求衛(wèi)星B的運(yùn)行周期。（2）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時(shí)刻 A B兩衛(wèi)星相距最近（O B、A在 同一直線上），則至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱?？解析：?）對(duì)衛(wèi)星B繞地球的運(yùn)行，由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有：G謄廠噸+佯&轡=池 入十糾'衛(wèi)，在地面有：，解得：At 二- 一，解得:6 .外星上的物理問(wèn)題若已知某天體的半徑及質(zhì)量，由黃金代換式可求出天體表面的重力加速度，此后可運(yùn)用有關(guān)物理規(guī)律求解在外星表面的進(jìn)行的與重力加速度有關(guān)的物理問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題的另一形式是由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，根據(jù)運(yùn)動(dòng)量求解出天體表面的重力加速度，然后由黃金代換式及基本

11、關(guān)系式求解天體的其它參量。例7在“勇氣號(hào)”火星探測(cè)器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過(guò)多次 彈跳才停下來(lái)。假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)高度為h,速度方向是水平的，速度大小為V。,求它第二次落到火星表面時(shí)速度的大小，計(jì)算時(shí)不計(jì)火星大氣阻力。已知火星的一個(gè)衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r,周期為T(mén)?；鹦强梢暈榘霃綖閞。的均勻球體。解析：以M表示火星的質(zhì)量，m表示火星表面處某一物體的質(zhì)量，以g表示火星表面附近的重力加速度，由于在火星表面的重力等于火星對(duì)它的萬(wàn)有引力，故有：；以冷m表示火星的衛(wèi)星的質(zhì)量，由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有：rT設(shè)著陸器第二次落到火星表面時(shí)的速度為V,它

12、的豎直分量為 V1,則水平分量仍為 Vo,由于著陸器第一次反彈后在最高點(diǎn)時(shí)的豎直分速度為零,解以上各式解得7 .變軌問(wèn)題飛船或衛(wèi)星從地面發(fā)射時(shí)，一般先將其發(fā)射到距地球較近的軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)， 再在適 當(dāng)位置實(shí)施變軌，使其離開(kāi)原來(lái)的圓周軌道，在半長(zhǎng)軸較大的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)， 當(dāng)運(yùn)行至橢圓 軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)再次實(shí)施變軌， 使其在以橢圓半長(zhǎng)軸為半徑的圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)， 這個(gè)軌 道就是飛船或衛(wèi)星的穩(wěn)定運(yùn)行或工作軌道。還有一類(lèi)變軌問(wèn)題： 在某確定軌道（半徑一定）上圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，由于某種原因的影響，若速度發(fā)生了變化，由基本關(guān)系式=m八出:可以得出:GM由此可以看出，當(dāng)衛(wèi)星速度變化時(shí)，軌道半徑隨之變化。例8.

13、 2008年9月25日至28日我國(guó)成功實(shí)施了 “神舟”七號(hào)載人航天飛行并實(shí)現(xiàn)了航天員首次出艙。如圖3所示，飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠(yuǎn)地點(diǎn)343千米處點(diǎn)火加速，由橢圓軌道變成高度為 343千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船運(yùn)行周期約為90分鐘。下列判斷正確的是：A.飛船在變軌前后的機(jī)械能相等A錯(cuò)；飛船在圓軌道B對(duì)；飛船在此圓軌271赤道半徑是 R,對(duì)于中子星赤道上質(zhì)量為m的部分物質(zhì)，有關(guān)系式M二農(nóng)二？品戸而，代入數(shù)據(jù)解得:B. 飛船在圓軌道上時(shí)航天員出艙前后都處于失重狀態(tài)C. 飛船在此圓軌道上運(yùn)動(dòng)的角速度大于同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的角速度D. 飛船變軌前通過(guò)橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的加速度大于變軌后圓軌道運(yùn)動(dòng)的加速

14、度 解析：飛船變軌前后，由于推進(jìn)火箭的做功，飛船的機(jī)械能不守恒，上運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)萬(wàn)有引力來(lái)提供向心力，航天員出艙前后都處于失重狀態(tài)，道上運(yùn)動(dòng)的周期 90分鐘小于同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期 24小時(shí)，根據(jù) $可知，飛船在此圓 軌道上運(yùn)動(dòng)的角度速度大于同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的角速度，C對(duì)。飛船變軌前通過(guò)橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)只有萬(wàn)有引力來(lái)提供加速度，變軌后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)也是只有萬(wàn)有引力來(lái)提供加速度，沿兩軌道運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)該點(diǎn)時(shí)，所受萬(wàn)有引力相等，有牛二定律知加速度相等，D錯(cuò)。本題選BCo8自轉(zhuǎn)天體不瓦解問(wèn)題天體自轉(zhuǎn)時(shí)，天體表面的各部分隨天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于赤道部分所需向心力最大，赤道上質(zhì)量為 Am的一部分將離未離天體的臨界條件是：

15、天體對(duì)該部分的支持力為零。 此時(shí)G r =對(duì)Am這部分運(yùn)用萬(wàn)有引力和牛頓第二定律有：£或&業(yè)二脅因竺）-,若已知天體的質(zhì)量和半徑或天體的平均密度，可求出天體自轉(zhuǎn)的最 大角速度；若已知天體的最大自轉(zhuǎn)角速度或最小周期，可求出天體的最小平均密度。例9中子星是恒星演化過(guò)程的一種可能結(jié)果，它的密度很大?，F(xiàn)有一中子星，觀測(cè)到它Is的自轉(zhuǎn)周期為工。問(wèn)該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星體的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解？計(jì)算時(shí)星體可視為均勻球體。 解析：設(shè)中子星的質(zhì)量為 M9 雙星問(wèn)題天文學(xué)上，把兩顆相距較近，以共同的角速度或周期繞它們連線上的某一固定點(diǎn)做圓周 運(yùn)動(dòng)的天體稱(chēng)為雙星。雙星運(yùn)行中，兩

16、星體間的萬(wàn)有引力提供每個(gè)星體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力， 兩天體的周期、角速度相等。例10.天文學(xué)家將相距較近，僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆行星稱(chēng)為雙星。雙星系 統(tǒng)在銀河系中很普遍。 利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)行特征可推算出他們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞他們連線上某一固定點(diǎn)分別作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T(mén),兩顆恒星之間的距離為r,試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。解析：設(shè)兩星的質(zhì)量分別為 m、m,軌道半徑分別為ri、2,運(yùn)行周期為T(mén)。對(duì)m的運(yùn)G丁 =G忑=）行有：（尸1 +弓）廠，對(duì)m的運(yùn)行有：（勺+尸?）T ，依題意有:4護(hù)盧丄楓-亠I '。解以上三式得：雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量為10 .黑洞問(wèn)題

17、宇宙空間的大質(zhì)量恒星演化到末期，在其自身引力作用下發(fā)生急劇塌縮，形成密度極大，引力場(chǎng)特強(qiáng)的特殊星體。它的引力場(chǎng)強(qiáng)得使外界物質(zhì)也只能進(jìn)入星體內(nèi)而不可能逃離，就連射向它的光線也只能乖乖被俘無(wú)法反射，看上去它就像宇宙中的無(wú)底洞，天文學(xué)上稱(chēng)這類(lèi)星體叫黑洞。若取無(wú)限遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零位置，在它的引力作用范圍內(nèi)，物體的引力勢(shì)能總是負(fù)值。例11. 2008年12月，天文學(xué)家們通過(guò)觀測(cè)的數(shù)據(jù)確認(rèn)了銀河系中央的黑洞“人馬座A”的質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量的倍數(shù)關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)。有一星體S2繞人馬座A做橢圓運(yùn)動(dòng)，其軌道半2長(zhǎng)軸為9.50 X 10天文單位（地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個(gè)天文單位），人馬座A就處在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。觀測(cè)到S2星的運(yùn)行周期是15.2年。（1）若將S2星的運(yùn)行軌道視為半徑 r=9.50：102天文單位的圓軌道。試估算人馬座A的質(zhì)量M是太陽(yáng)質(zhì)量 M的多少倍（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）；（2）黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不 足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質(zhì)量為 m的粒子具有的勢(shì)能為（設(shè)粒子在離黑洞無(wú)限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零），式中M R分別表示黑洞的質(zhì)量和O半徑。已知引力常量 G=6.7 ： 10-11Nm2/kg2，光速 c=3.0，108m