(完整word版)數(shù)列專題錯位相減求和

1、實用標準文檔高一數(shù)學第七周周考、解答題1.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1b1 1 ,a3 b27 , d 13 .(1)求數(shù)列an , bn的通項公式；(2)設 Cnan_-，求數(shù)列Cn的前 n項和Sn .bn2 .已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn , a5 5, S5 15 .(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 求數(shù)列2 n an的前n項和為Tnn 13. 已知數(shù)列an滿足 q 2, an 12()2 K(n N*)n(1) 求證：數(shù)列 粵 是等比數(shù)列，并求其通項公式；n2(2) 設bn 3log2(電)26，求數(shù)列 bn 的前n項和；n4. 已知等差數(shù)列

2、 an的公差大于0,且a3,a5是方程x2 14x 45 0的兩根，數(shù)列bn的前n項的和為Sn，且 Sn 1 2bn. ( 12 分)(1) 求數(shù)列an , bn的通項公式；(2) 記Cn an bn ,求數(shù)列Cn的前n項和Tn5. 已知數(shù)列a n的前n項和Sn滿足S=2 n2- 13n (n N*).(1) 求通項公式an；(2) 令，求數(shù)列c n的前n項和6 等差數(shù)列an的首項a11，其前n項和為Sn，且a3a5a47 .(I)求an的通項公式；(n)求滿足不等式 Sn 3an 2的n的值.7.已知數(shù)列a n的前n項和為S, a1 = 2.當n2時，S-1 + 1, an, S+ 1成等差

3、數(shù)列.(1)求證：Sn+ 1是等比數(shù)列；求數(shù)列na n的前n項和Tn.1 *8已知數(shù)列 an的前n項和為Sn ,且a, - , Sn n(2n 1)an (n N ).3(1) 求 a2, as 的值；(2) 猜想an的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明9已知Sn為等差數(shù)列 an的前n項和，且a3 5, S3 9.(I)求 an的通項公式；1(n)求數(shù)列的前n項和Tn.anan 110 已知Sn為數(shù)列an的前n項和，若 印 2且Sn 1 2Sn.(1) 求數(shù)列 an的通項公式；1(2) 設bn log 2an 1，求數(shù)列的前n項之和.b d 111 已知等差數(shù)列an的前3項和為6，前8項和為 4.(

4、1) 求數(shù)列 an的通項公式；n 1(2) 設bn4 an 2 ，求數(shù)列bn的前n項和Sn12 已知數(shù)列一：的各項均是正數(shù)，其前 丁項和為-,滿足. 一-.(I )求數(shù)列：的通項公式；bK 二-= _V*X(II )設 -數(shù)列的前丁項和為，求證：r .13.等比數(shù)列an中，已知a1 = 2, a4= 16.(1)求數(shù)列a n的通項公式； 若a3, as分別為等差數(shù)列bn的第3項和第5項，試求數(shù)列bn的通項公式及前 n項和S.14 .(本題滿分12分)已知公差不為零的等差數(shù)列an的前4項和為10,且a2,a3,a7成等比數(shù)列.(I)求通項公式an ；(n)設bn 2an,求數(shù)列bn的前n項和Sn

5、.15已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1 2 , a1 a? a3 12.求數(shù)列an的通項公式;n*令bn an 3 (n N )，求數(shù)列bn的前n項和.31 ,1anan 1bn 116.已知數(shù)列an , bn滿足a12, b 1,且44(n 2).13,bnan 1bn 1144(1)令Cn an bn，求數(shù)列 Cn的通項公式；(2)求數(shù)列an的通項公式及前 n項和公式Sn.17 .(12分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，點n,Snn*N均在二次函數(shù)2f x 3x 2x的圖象上.(1) 求數(shù)列 an的通項公式；3(2) 設bn，求數(shù)列 bn的前n項和Tanan 118 .已知公差不為零的等差數(shù)

6、列an，若ai 1，且ai,a2,a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設bn2n，求數(shù)列anbn的前n項和Sn.19 已知數(shù)列 an滿足a1 4 , an4-an 1,令bn1an2(1)求證：數(shù)列 bn是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項公式.文案大全實用標準文檔參考答案1.( 1)an 2n 1 ,62n 1Sn2 . ( 2)2n 32n【解析】試題分析：(1 )求等差與等比數(shù)列通項公式,般方法為待定系數(shù)法，即根據(jù)條件列關于公1 2d q 7,差與公比的方程組:21 4d q13,解得q 2, d2，再代入通項公式即得 2n 1bn2n 1Cn2.( 2)因為anbn2n 12

7、* 1,所以利用錯位相減法求和,注意作差時，錯項相減,文案大全2d由題意得14dq 7,2q13,解得q(舍去)，.an 2n1bn2n(2 )由題意得anbn2n 12* 1最后一項的符號變化，中間等比項求和時注意項數(shù)，最后不要忘記除以1 q試題解析：(1)設等差數(shù)列9n的公差為d ,等比數(shù)列bn的公比為q( q °),2n 1所以Sn & C2C3Cn3222nn2n2n ,2Sn22222* 12n12n1 ) 2n 11 丿 2*2n 32n2n 32n1考點：錯位相減法求和n 12. (1) an n ； (2) Tn (n 1) 26【解析】試題分析：(1)利用等

8、差數(shù)列的通項公式，前n項和公式，得到關于 a1,d的二元一次方程組，解之，即可得到 a1,d，則數(shù)列an通項公式可求;（2）由（1）可知2n an的通項為n 2n，則利用錯位相減法即可求出其前n項和Tna11,d1, an(2)Tn2 1 22232Tn2n(nn 11)2 nTn(22 232n)2n2(2n 14) n 2n 1 (n1)2n 1 6Tn(n1) 2n 1 6考點：等差數(shù)列的通項公式,n項和公式，錯位相減法3. (1) an2 nn 2 (2) Tn49n 3n223n2 49n2(n 8)400(n 9)試題解析：(1)等差數(shù)列an, a5 5, S5 15 .10d15

9、5a1a5a1 4d 5, S5【解析】試題分析:(1)由 a12 , an2(n 】)2 an(nnN ），變形為an 1(n 1)2三，利用等n比數(shù)列的定義及其通項公式即可得出.(2)由 bn 3n 26 ,可得 b 23 .當 n< 8 時，bnv 0，當n9時，bn > 0 對n分類討論，去掉絕對值符號，利用等差數(shù)列的求和公式即可 得出1 2 *試題解析：(1) Q a1 2 , an 1 2(1) an(n N )n2, n N*an為等比數(shù)列(n 1) nnan a1 n 1 n2 nan n 2n 1a(2) Qbn 3log2( 2) 26 3log22n 26 3

10、n 26 ,023n當 n 8時，bn 3n 26 0,當 n 9時，bn 3n 26 0。設數(shù)列bn的前n項和為Sn,則8時,Tn所以,Tn(b1Tnb2b1S8所以,T(b1I nbnbj ( b2)( bn)(b1 b2bn)Sn(bi bn) nb2(b2)(Sn S8)bn) nQ| |b9(b8) bSn 2S8(bib8)(23 3n 26)bnbn(b1(23 3n綜上，Tn3n2223n 49n249n400(n 8)(n 9)49n 3n22t8)(b9bn)3n249n 4002考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項公式及其求和公式4. (1) ana5 (n 5)d 2n1

11、.，bn dqn23n（2）Cnanbn專,2(1【解析】解：（I）： a3,a5是方程x214x450的兩根，且數(shù)列an的公差d>0.-33=5 ,35a3a5=9,公差d5 32.a5(n5)d 2n 1.又當n=1時，有b1=S=1- 1b1,2b1SnSn2(bn1 bn ),bnbn 11丄(n 2).3數(shù)列bn是等比數(shù)列，b123，q bndqn3n()由(I)知 cn anbn 2(2 ° 所以 Tn 2(1 邛)12分335. ( 1) an=4n- 15 (2) Tn= - 7-垮)叫4口-丁)【解析】解：(1)當n=1時，a1=S = - 11,當 n2 時

12、，an=S-S-1=2 n2- 13 n-2 (n - 1) 2- 13 ( n- 1) =4n - 15, n=1時，也適合上式.an=4n 15.(2) Cn=jr2n2n-:- :+ +i 1 ? (4n- 15),n+1護4-15)u4n - 15)1 Tn=-+422:卩2n- 1 '1 -2丄+4?(1A+-4 _-(4n- 15)?(丄)n+1n+1耳-和嚴-切叫鋅15），I Tn= 7 【點評】本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用.6.(I) an 2n 1 ； (n) 2, 3, 4【解析】d，可把已知條件試題分

13、析：（I）已知 a1，要求等差數(shù)列的通項公式，可先求得公差 a3 a5 a4 7用d表示出來，然后寫出通項公式；（n）由等差數(shù)列前n項和公式寫出S.,再解不等式Sn 3an 2即可.試題解析：（I）設數(shù)列an的公差為d .因為 a3 a5 a47，所以 2a1 6d a1 3d 7因為ai 1，所以3d 6，即d 2 ,所以 an ai (n 1)d 2n 1 .ai an2Snn n(n)因為 ai 1, an 2n 1，所以2,所以n 3(2n 1) 2，所以6n 50,解得1 n 5，所以n的值為2,3,4 .考點：等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.7. ( 1)見解析2n 13n 1(

14、2 ) Tn =2【解析】解：(1)證明：T Sn -1+ 1 , an, $+ 1成等差數(shù)列，2an= Sn+ S-1 + 2(n2).I 2(S n Sn- 1)= Sn+ Sn- 1 + 2,即卩 Sn= 3S -1 + 2,- Sn+ 1 = 3(Sn- 1 + 1)(n2). Sn+ 1是首項為S+ 1 = 3,公比為3的等比數(shù)列.(2)由(1)可知 Sn+ 1= 3n,. Sn= 3n- 1.當 nA 2 時，an= Sn Sn-1 = 2 x 3.n 一 1*n 一 1又 a1 = 2, an= 2x 3 (n N) . nan= 2n 3Tn= 2 + 4X 3+ 6X 32+

15、 2(n - 1) x 3n-2+ 2nx 3n-：3Tn = 2X 3+ 4x 32+ 6x 33+ 2(n - 1) x 3n-1+ 2nx 3n， 由一得，-2Tn= 2 + 2x 3 + 2x 32+-+ 2x 3n-1 -2nx 3n=2 1 3n1 3-2n x 3n= 3n- 1- 2nx 3n,2n 13n 1 Tn =2& (1) a2,a315 3丄(2)通項為an35證明：當n 1時，由條件知(2n 1)(2n1)等式成立，假設當n k ( k > 1且k N*)等式成立，即:1ak(2 k 1)(2k 1)那么當 n k 1 時，Sk k(2k 1)akk

16、2k 1Sk 1(k 1)(2k 1)ak1，由 Sk 1 Sk得ak 1n N都成立由可知，命題對一切(2 k 1)(2k 3)【解析】試題分析： Sn1 n(2 n 1)an，且 a13二當n 2時，S2a1 a22(22 1)a2，解得:a2當 n 3 時，S3 a1a2 a33(2 3 1底，解得:a313 515 7丄.;15135由可以猜想 an的通項為an(2n 1)(2n1)用數(shù)學歸納法證明如下：當n 1時，由條件知等式成立;假設當n k（ k > 1且k N等式成立，即:(2 k 1)(2k1)那么當n k 1時，由條件Snn(2n 1)an 有:Skk(2k 1)ak

17、k(2k1)(2k 1)(2k 1) 2k 1 'Sk 1(k1)(2k1)ak 1Sk 1Skak 1(kk1)(2k 1)ak1 冇，即k(2k3)ak 1ak 1(2 k 1)(2k 3)'即：當n k 1時等式也成立.由可知，命題對一切n N都成立.考點：數(shù)列求通項及數(shù)學歸納法證明點評：已知條件是關于 an,Sn的關系式，此關系式經(jīng)常用到anSnSn 5 1 n 2有關于正整數(shù)的命題常用數(shù)學歸納法證明，其主要步驟：第一步 成立，第二步，假設9. (I)an 2nn k時命題成立，借此來證明nnn取最小的正整數(shù)時命題1時命題成立【解析】試題分析：（I）求知可知a35,S3

18、1 ；(n)Tn 2n 1an的通項公式,關鍵是求等差數(shù)列an的首項及公差即a1,d，由已9，即a1 2d3c 3d59，解方程組得a11,d2，有等差數(shù)列的通項公11式即可寫出 an的通項公式；（n）求數(shù)列的前n項和，首先求出數(shù)列anan 1an an 1的通項公式,由（I）可知1,an 2 n 1，從而可得11，分母是等差anan 12n 1 2n 1數(shù)列 an的連續(xù)兩項的積，符合利用拆項相消法求和，故12n 1 2n 12 2n 11，即可求出.2n 1試題解析：（I）設等差數(shù)列an的公差為d .因為3a 5, S3所以a1 2d3a1 3d解得a11,d所以an 2n(n) Tn(2n

19、 1) (2n 1)12n丄（1 123丄（1 -,2 2n 1 2n 1考點：等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列求和.1l71 2n 1)1210 - K2 ,n數(shù)列bA 1前n項之和為【解析】試題分析：（1）由Sn 12Sn可得數(shù)列 Sn是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，然根據(jù)數(shù)列的通項與前 n項和之間的關系，即可求數(shù)列an的通項公式；（2）根據(jù)（1）求出bn log 2an 1的通項公式，利用裂項相消法即可求數(shù)列的前n項和.bA 1試題解析:（1）由題設得：數(shù)列 &是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.2* 12*an S，n 1Si Sn 1, n 2,n 1 2 2n1,n 2(2 )由(1)

20、知：bn log2an1log22nn, -b-bnbn 1數(shù)列前n項之和為1-bA 1211. (1) an 4 n (2) Snn 1 2n 1【解析】試題分析:（1）由等差數(shù)列an的前3項和為6,前8項和為-4，利用等差數(shù)列的前n項和公式建立方程組求出a1 3, d 1 由此能求出數(shù)列an的通項公式.（2 ）由an 4 n ,知bn n?2n 1 ,所以數(shù)列 bn 的前 n 項和Sn 1 2?21 3?22 L n ?2n 1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列bn的前n項和Sn試題解析：（1）設等差數(shù)列 an的公差為d .由已知得 3a1 3d 6 ，解得a1 3 .18a1 28d4xd

21、1故 an 3 n 1 ? 14 n.（2）由（1）得，bn n ?2n ISn 12?213?22 L n ?2n 1，兩邊同乘以 2 得23n2Sn 22?23?2 L n ?2，兩式相減得Snn 1 2n 1點睛：求解由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項的積構成的數(shù)列的前項和，一般采用錯位相消法，用錯位相減法求和應注意的問題 （1）要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為 負數(shù)的情形；（2）在寫出“與“ qSn ”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“ sn qSn”的表達式；（3）在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比 為參數(shù)，應分公比等于 1和不等于1兩種情況求解

22、.n 2112. （I） an.（n）詳見解析.2【解析】試題分析：（I）首先令n 1求出首項a1，-'；S =4一乙由兩式相減，得.所以J.數(shù)列是首項為2,公比為-的等比數(shù)列由等比數(shù)列的通項公式便可得數(shù)列的通項公式（n）證明有關數(shù)列前項和的不等式，一般有以下兩種思路：一種是先求和后放縮，一種是先放縮后求和在本題中，由（I）可得：一 -,1方時2 =-這顯然用裂項法求和，然后用放縮法即可證明試題解析：（I）由題設知'一 -"：,2分由凡產(chǎn)4 一口41兩式相減，得7二礙-% %=耳一礙41 如 1= 5所以- 4分丄可見，數(shù)列 是首項為2,公比為匚的等比數(shù)列。匚二3&#

23、174;-鼻直一比 +打號*考點：1、等比數(shù)列；2、裂項法；3、不等式的證明.313. 設an的公比為q，由已知得16= 2q，解得q = 2. 數(shù)列a n的通項公式為an= 2 2n1= 2n.(2)由(1)得 as= 8, as= 32,則 bs= 8,b5 32.b1 + 2d 8b1 16設b n的公差為d，則有解得b1 + 4d 32d 12從而 bn = 16 + 12(n 1)12n 28,所以數(shù)列bn的前n項和n 16+ 12n 28Sn26n 22n.【解析】略14. (1) an=3n 5. (H)4(1Sn4-8n)8 1;Jn 1828【解析】本試題主要是考查了等差數(shù)列

24、的通項公式的求解以及等比數(shù)列求和的綜合運用。(1) 因為公差不為零的等差數(shù)列an的前4項和為10,且a2,a3,a7成等比數(shù)列，聯(lián)立方程組得到首項和公差得到結(jié)論。(2) 在第一問的基礎上可知，bn 2an 23n 5 1 8n 14,禾U用等比數(shù)列的求和公式得到結(jié)論。(1 )由題意知4a1 6d 10,2 3分佝 2d)2 d)16d).a12解得a12 5分d 3所以 an=3n 5.(fl)： bn 2an 23n 51 8n 141數(shù)列b n是首項為-，公比為8的等比數(shù)列， 41n；(1 8n) 所以SnA1 815. (1) 2n8n 1.28 ；12分(2)5 1)3n1【解析】試題

25、分析：解：(1) Q a1 2,耳 a2 a3 12 3a1 3d 12,即 d 2an 2 (n 1) 22n.(2)由已知:bn 2n 3nQS.4 326 33+2n 3n3 Sn-得-2 Sn2 332332 3n 2n3n1=6(1 2n 3m3 3n(n-)3n12考點:點評:等差數(shù)列，錯位相減法主要是考查了等差數(shù)列的通項公式以及求和的運用，屬于中檔題。1 n21116 - (1) cn2n 1 (2) ann n , Sn22【解析】試題分析：(1)兩式相加得an bn (an 1 bn 1) 2，即cncn 1 2( n 2)，根據(jù)等差數(shù)2n 1 (2)兩式相減得an1bn2(

26、an1"52)，根據(jù)等1anbnn 1，又 anb22n 1，解方程組得an11 n2列定義及通項公式得 4 比數(shù)列定義及通項公式得最后根據(jù)分組求和得 Sn試題解析：解：(1 )由題設得an bn(an 1 bn 1) 2，即 cn Cn 1 2(n2)，易知Cn是首項為a, a 3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為Cn 2n 11(2)由題設得 an bn(an 1 bn1),(n 2),21令 dn an bn ,則 dn dn 1, (n 2)，2易知dn是首項為a1 b 1，公比為丄的等比數(shù)列，通項公式為 dn h2 2an bn 2 n 1111 解得 ann an bn 尹22求和得Sn1 n2歹7考點：等差數(shù)列及等比數(shù)列定義及通項公式，分組求和17-（1）an 6n 5 （2） Tn 6n 1 【解析】解決（2）2試題分析：（1）由數(shù)列前n項和求通項時主要借助于公式 an3將通項bn整理后根據(jù)特點采用裂項相消的方法求和an an 1試題解析：（1） Q點n,Snn均在二.次函數(shù)f x23x 2x的圖象上，（1）Sn3n22n （2 分）當n2時，an13n22n3n212 n16